-
函数名
正弦
余弦
正切
余切
正割
余割
<
/p>
在平面直角坐标系
xOy
中，从点
O
引出一条射线
OP
，设旋转角为
θ
，设
OP=r
，
P
点的
坐标为（
x
，
y
）有
正弦函数
sinθ=y/r
余弦函数
cosθ=x/r
正切函数
tanθ=y/x
余切函数
cotθ=x/y
正割函数
secθ=r/x
余割函数
cscθ=r/y
（斜边为
r
，对边为
y
，邻边为
x
。）
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数
versinθ
=1
-
cosθ
余矢函数
coversθ
=1
-sin
θ
正弦（
s
in
）
:
角
α
的对边比上斜边
余弦（
c
os
）
:
角
α
的邻边比上斜边
正切（
t
an
）
:
角
α
的对边比上邻边
余切（
c
ot
）
:
角
α
的邻边比上对边
正割（
s
ec
）
:
角
α
的斜边比上邻边
余割（
c
sc
）
:
角
α
的斜边比上对边
[
< br>编辑本段
]
同角三角函数间的基本关系式：
·
平方关系：
sin?(α)+cos?(α)=1 cos?(a)=(1+cos2a)/2
tan?(α)+1=sec?(α)
sin?(a)=(1
-cos2a)/2
cot?(α)+1=csc?(α
)
·
积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·
倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三
角形
ABC
中
,
角
A
的正弦值就等于角
A
的对边比斜边
,
余弦等于角
A
的邻边比斜边
正切等于对边比邻边
,
·
三角函数恒等变形公式
·
两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·c
osβ
-
sinα·sinβ
cos(α
-
β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+
tanβ)/(1
-
tanα·tanβ)
tan(α
-
β)=(tanα
-
tan
β)/(1+tanα·tanβ)
·
三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα
·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ
-
sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ
-
cosα·sinβ·sinγ
-
sinα·cosβ·sinγ
-
sinα·
sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ
-
tanα·tanβ·tanγ)/(1
-
tanα
·tanβ
-
tanβ·tanγ
-<
/p>
tanγ·tanα)
·
辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A?
+B?)^(1/2)sin(α+t)
，其中
sint=B/(A?
+B?
)^(1/2)
cost=A/(A?
+B?
)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A?+B?)^(1/2)cos(α
-t)<
/p>
，
tant=A/B
·
倍角公式：
sin(2α)=2sinα·c
osα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos?(α)
-
sin?(α)=2cos?(α)
-1=1-
2sin?(α)
tan(2α)=2tanα/[1
-
ta
n?(α)]
·
三倍角公式：
sin(3α)=3sinα
-
4sin?(α)
cos(3α)=4cos?(α
)
-
3cosα
·
半角公式：
sin(α/2)=±√((1<
/p>
-c
osα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1<
/p>
-
cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα
)=(1
-
cosα)/sinα
·
降幂公式
sin?(α)=(1
-
cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos?(α)=(1+cos(
2α))/2=covers(2α)/2
tan?(α)=(1
-
cos(2α))/(1+cos(2α))
·
万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan?(α/2)]
cos
α
=[1
-
tan?(α/2)]/[1+tan?(α/2)]
tan
α=2tan(α/2)/[1
-
tan?(α/2)]
·
积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)
[sin(α+β)+sin(α
-
β)]
cosα·sinβ=(1
/2)[sin(α+β)
-
sin(α
-
β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+co
s(α
-
β)]
sinα·sinβ=
-
(1/2)[cos(α+β)
-
cos(α
-
β)]
·
和差化积公式：
sin
α+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α
-
β
)/2]
sinα
-
sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[
(α
-
β)/2]
cosα+cosβ=2cos[
(α+β)/2]cos[(α
-
β)/2]
< br>
cosα
-
cosβ=
-
2sin[(
α+β)/2]sin[(α
-
β)/2]
·
推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα
-
cotα=
-
2cot2α
1+cos2α=2cos?α
1-
cos2α=2sin?α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)?
·
其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2
/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n
-1)/n]=
0
cosα+cos(α+2π
/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n
-1)/n]=0
以及
sin?(α)+sin?(α<
/p>
-
2π/3)+sin?(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-
sinx]/2sinx
证明：
左边
=2sinx(cosx+cos2x+...+cosn
x)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+
sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx
（积化
和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-
sinx]/2sinx=
右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx= -
[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明
:
左边
=-2sinx[sinx+s
in2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-
cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=-
[cos(n+1)x+cosnx-
cosx-1]/2sinx=
右边
等式得证
[
编辑本段
]
三角函数的诱导公式
公式一：
设
α
为任意
角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin
（
2kπ
＋
α
）
＝
sinα
cos
（
2
kπ
＋
α
）＝
cosα
tan
（
2
kπ
< br>＋
α
）＝
tanα
cot
（
2kπ
＋
α
）＝
cotα
公式二：
设
α
为任意角，
π+α
的三角函数值与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
π
＋
α
）＝－
sinα
cos
（
π
＋
α
）＝－
cosα
tan
（
π
＋
α
）＝
ta
nα
cot
（
π
＋
α
）＝
cotα
公式三：
任意角
α
与
-
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（－
α
）＝－
sinα
cos
（－
α
）＝
cosα
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