学术诚信

2021年3月2日发(作者：痴)

数学模型

是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一 门科学。它将

现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理 论进行深入

的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题 提供精确

的数据或可靠的指导。

根据研究目的，

对所研究的过程和现象

(

称为现实原型或原型

)

的主要特征、

主要关系、

采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的 一种结构，所谓

“

数学化

”

< p>
，指的就是

构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称 为数学模型方法．简称

为

MM

方法。< /p>

数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可

以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、

如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具

体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：

(1)

描述客体必然现象的确定性

模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差 分方程等，

（

2

）描述客体

< p>
或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。在体育实

践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型

为身高

1.80

米左右、体重

70

公斤左右，

100

米成绩

10

秒左右或更好等。

用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不 等式，或用图表、图像、框图、数理

逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系 的模型。它是真实系统的一种抽象。

数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它 是分析、设计、预报或预测、控制

实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不 同的分类方法。

静态和动态模型

静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化

而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变< /p>

化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系

统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的（见拉普拉斯

变换）

。

分布参数和集中参数模型

分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特

性，而集中参数模型 是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况

下，分布参数模型借助 于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。

连续时间和离散时间模型

模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连

续时间模型，上述各 类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型

时，也可以将时间变量 离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差

分方程描述的。

随机性和确定性模型

随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式

给出的，而在确定性 模型中变量间的关系是确定的。

参数与非参数模型

用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模

型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析< /p>

总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，

例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的

方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨

识可以直接得到参数模型。

线性和非线性模型

线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即

几个不同的输入量 同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性

模型简单，应用广泛 。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在

允许的情况下，非线性 模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点

邻域内展成泰勒级数，保 留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。

数学模型的分类有哪些？

数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种．

1.

按照模型的应用领域

< p>
(

或所属学科

)

分：如人 口模型、交通模型、环境模型、生态模型、

城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模 型、污染模型等．范畴更大一些则形成许

多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、 数量经济学、数学社会学等．

2.

按照建立模型的数学方法

(

< p>
或所属数学分支

)

分：

如 初等数学模型、

几何模型、

微分方程

模 型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等．

按第一 种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，

而按第二 种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧

的应用．在 本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中

建模．

3.

按照 模型的表现特性又有几种分法：

确定性模型和随机性模型

取决于是否 考虑

随机因素的影响．

近年来随着数学的发展，

又有所谓突变性模型和模糊性模型．

静

态模型和动态模型

取决于是否考虑时间因素引起的变化．

线性模型和非线性模型

取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的．

离散模型和连续模型

指模型

中的变量

(

主要是时间变量

)

取为离散还是连续的．

虽然从 本质上讲大多数实际问题

是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性 模型容易处理，并且往

往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、 静态、线性模型．连

续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计 算机上作数值计算，

所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型 离散化，或将离散

变量视作连续，也是常采用的方法．

4.

按照 建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模

型等．< /p>

5.< /p>

按照对模型结构的了解程度分：有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对

象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙．白箱主要包括用力学、热学、

电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大

多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、

气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同

< p>
程度地有许多工作要做．至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理

< br>(

数量

关系方面

)

很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因

素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑

之 间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变

亮的

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< p>
，

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什么是数学模型？就是对于一个特定的对象 ，为了一个特定目标，根据特有的内在规律，

做出一些必要的简化假设，得到的有数字、 字母或其他数学符号组成的，描述特定对象

数量规律的数学公式、算法或图形等。假设后 边可以这么说运用适当的数学工具，得到

的一个数学结构分类按模型的应用领域分类：生 物学数学模型、医学数学模型、地质学

数学模型、气象学数学模型、经济学数学模型、社会学数学模型、物理学数学模型、化

学数学模型、天文学数学模型、工程学数学模

按模型的应用领域分类：

生物数学模 型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模

型

数学社会学模型

按是否考虑随机因素分类：

确定性模型

随机性模型

按是否考虑模型的变化分类：静态模型、动态模型

按应用离散方法或连续方法分类：

离散模型、连续模型

按建立模型的数学方法分类：几何模型、微分方程模型、图论 模型、规划论模型、马氏

链模型

按人们对是物发展过程的了解程度分类：

白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、 电学以及相关的工程技术

问题。

灰箱模型：指那些内部规律尚不十 分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许

多工作要做的问题。如气象学、生态 学经济学等领域的模型。

黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面

的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。

摘自数学建模爱好

者

结构模型

_

百度文库

共有

15100000

篇和结构模型相关的文 档。

类别：结构方程模型

解释结构模型

建筑结构模型

层次结构模型

分析模型

编辑

分析模型是对客观事物或现象的一种描述。

< br>分析模型

是对客观事物或现象的一种描述。

模型是被研究 对象的一种抽象。

客观事物

或现象，是一个多因素综合体。因素 之间存在着相互依赖又相互制约的关系，通常是复

杂的非线性关系。为了分析其相互作用 机制，揭示内部规律，可根据理论推导，或对观

测数据的分析，或依据实践经验，设计一 种模型来代表所研究的对象。模型反映了对象

最本质的东西，略去了枝节，是被研究对象 实质性的描述和某种程度的简化，目的在于

便于分析研究，模型可以是数学模型或物理模 型。前者不受空间和时间尺度的限制，可

进行压缩或延伸，利用计算机进行模拟研究，故 得到广泛应用；后者根据相似理论来建

立模型。在地理学物质、能量和信息传递和转换的 研究中，已建立了许多分析模型。借

助模型进行分析，是一种有效的科学方法。

二元结构模型

编辑

“

刘易 斯

-

费

-

拉尼 斯模型

”

。这一理论被西方许多经济学家认为是第三世界劳动剩 余国

家发展过程的

“

普遍真理

”

。刘易斯二元结构理论的三个假设前提：

< /p>

一）不发达经济分为两个部门，即城市以制造业为中心的现代部门和农村以农业，手

工业为主的传统部门。

二）劳动无限供给。

三）工资水平不变。

刘易斯划分了资 本主义部门和自给农业部门。这就是所谓二元结构问题。资本越多，

就可以将更多的劳动 者从自给农业部门吸收到城市工业部门中来。当剩余劳动完全吸收

到现代工业部门中去， 这时二元结构变成了一元结构，也就完成了不发达经济的发展问

题。刘易斯认为资本积累 和技术进步是同一方向的，二者密切相关。经济发展的关键就

是资本积累。

在刘易斯的二元结构模型中，很显然地将农业视为一个被动的过程。在模型 的整个运

行过程中看不到农业劳动生产率的提高，收入的增加。费景汉和拉尼斯就针对这 一点提

出了修正意见。他们认为刘易斯的模型存在着两点缺陷：第一，不重视农业在工业 生产

中的重要性，这会造成农业的停滞。第二，忽视农业生产率的提高而出现剩余产品， 应

该是农业中的劳动力向工业流动的先决条件。

对二元结构模型的评价：

（

1

）推理过程所建立的三个假设前提与目前许多发展中国家的现实相去甚 远。

（

2

） 刘易斯片面夸大了城市资本主义部门吸收剩余劳动的能力。

（

3

）忽视农村的技术进步，劳动生产率的提高以及农村收入提高 的可能性，将城市

工业部们当作农村剩余劳动力的惟一出路，必然会导致城市化，大城市 人口过于集中的

弊端。

（

< p>
4

）刘易斯的模型当然是一个发展资本主义的模型，他回避了城市资本主义 部门扩

大过程中，资产阶级和小农之间，城乡，工农之间生产关系的分析。新马克思主义 者指

出，二元结构部门的演变，实质上是资产阶级掠夺农民，进行原始积累的过程。

（

5

）它同样也 回避了发达国家与发展中国家在对外贸易中的不等价交换，以及维护

国际经济旧秩序的问 题。

（

6

） 没有涉及高积累，高速发展问题的倾向，会造成国民收入中积累与消费之间的

矛盾，扩大 收入分配的不平等。

二元结构理论的由来和发展（

< p>
1

）

20

世纪

50

年代以来，各国发展经济学家、现代化理论 家、区域科学家，不约而同地

注重研究经济增长模式和现代化道路，特别是发展中国家或 地区的经济增长模式和现代

化道路。二元结构的概念和理论，逐步形成、发展和完善。最 初提出的二元结构，主要

是二元经济结构和社会结构。后来，研究的重点完全转向了二元 经济结构，取得了一系

列重大成果。

70

年代以后，二元结构研究延伸并且拓展到经济以外的政治、文化、社会

等各个领域。扩 大了的二元结构概念和理论脱颖而出，很快引起国际社会的关注和认同。

荷兰社会学家

J·

< br>伯克调查研究了印度尼西亚的社会经济状况，

在

1953

年出版了专著

《二元社会的经济学和经济政策》

，最早提出了二元结构的概念和理论。伯克认为，摆脱

荷兰殖民统治的印度尼西 亚社会，是一个典型的二元结构社会。一方面，广大农村依然

是工业革命以前的没有实现 西方工业化的传统社会，农业部门主要依赖土地、使用劳动

力生产

;

另一方面，为数不多的城市却是殖民主义输入以后逐步进行西方工业化的现代社

会，工业部门主要依赖资本、使用机器和技术生产。在他看来，一个社会及其基本特征

是由相互依存的社会精神、组织形式和生产技术共同决定的。当传统社会引进西方工业

化的同时，也引进了西方的社会精神、组织形式和生产技术，以往的经济结构和社会结

< p>
构由于同质性的破裂而呈现出二元性。现代城市社会和现代工业部门同传统农村社会和

传统农业部门，在经济制度和社会文化等各个方面，都存在着巨大的差别。这些差别直

接或间接地导致了城市和农村、工业和农业中的资源配置方式、个人效用函数以及人的

< br>行为准则的迥然不同。所以，在二元结构的社会中，社会矛盾的实质，在于工业社会及

其现代性同农业社会及其传统性两种文化的冲突。

各国发 展经济学家、现代化理论家、区域科学家，系统地丰富、深化、完善了二元结

构特别是二 元经济结构的概念和理论。大体上构建了五大研究流派或理论模型，诸如工

业化带动论、 产业结构转变论、现代要素引入论、诱导技术变迁论、核心

——

边缘关系

论等。

第一，工业化带动论。

从

< p>
19

世纪下半叶到

20

世 纪上半叶，

德国社会学家迪尔凯姆和韦伯已经注意到现代社

会的 工业化特征和变革。他们认为，工业化的生产方式带动了社会化的分工协作、取代

了自然 化的自给自足，推动和促进了传统社会向现代社会的转变。所以，发展机器大工

业生产方 式，把农民转变为工人，也就同时发展了现代工业社会。

美国 经济学家、诺贝尔经济学奖获得者

W·

刘易斯，集中地研究了二 元经济结构问题，

提出了工业化带动论。他认为发展中国家存在两大经济部门。一是工业 发展的现代部门，

一是维护生计的传统部门。两大部门的主要差异，表现在五个方面。其 一，资本运用完

全不同。现代部门使用再生产性资本，而传统部门不使用再生产性资本。 其二，生产方

式完全不同。现代部门采用机器大工业的生产方式，而传统部门采用手工劳 动。其三，

生产规模完全不同。现代部门生产规模较大，而传统部门生产规模较小。其四 ，生产率

完全不同。现代部门因为生产规模较大，又使用再生产性资本，遵循规模报酬递 增规律，

而传统部门因为生产规模较小，又不使用再生产性资本，受到土地规模报酬递减 规律的

约束。其五，收入水平完全不同。现代部门生产率较高，因此收入水平较高，其中 产出

的一部分可以用于积累和扩大再生产，而传统部门生产率较低，因此收入水平较低， 产

出仅够维持生存。在刘易斯看来，二元经济发展的核心问题，是传统部门的剩余劳动力

向现代工业部门和其他部门转移。现代部门扩张，通过提供就业机会、分享物质设施、< /p>

传播现代思想和制度、相互贸易等途径，即使传统部门剩余劳动力转移，又使传统部门

获益并且得以改造更新而转化为现代部门，也使现代部门促成再生产性资本的进一步增

长、生产规模的进一步扩大、生产率和收入水平的进一步提高。以现代部门扩张为主，

现代部门和传统部门互联互动并且循环往复，不仅推动和促进了二元经济转变为一元经

< p>
济，而且推动和促进了不发达经济转变为发达经济。

第二，产业结构转变论。

20

世纪上半叶，不少经济学家觉察到，工业化过程既是整个社会结构从传统型向现

代型转变的过程，又是社会经济结构从农业型向工业型转变的过程。他们进而发现，整

< br>个社会结构和社会经济结构的转变过程，取决于社会产业结构的转变和革新，也就是传

统农业主导的产业结构向现代工业主导的产业结构的转变和革新。

美国经济学家、世界银行经济顾问

H ·

钱纳里，凋查研究了

101

个发达国 家和发展中

国家或地区的二元经济结构问题，提出了产业结构转变论。他认为经济发展就 是经济结

构的成功转变。经济结构成功转变的基本内容就是传统农业主导的经济结构，由 于市场

需要的变化，在城市工业化和农村工业化的工业化过程中，发生资金投入、生产技 术、

资源配置的变化，从而转变为现代工业主导的经济结构。经济结构转变的整个过程， 经

历逐步推进的三个阶段。在经济结构转变启动的第一阶段，由于人们最终需求中食物消

费的需要最多和最大，整个社会主要依赖农业提供初级产品。就国际贸易的需要来说，< /p>

也是这样，比较优势在初级产品的生产方面。随着经济的发展、收入的增加、生活的改

善，总消费中食物消费份额下降的恩格尔定律显现出来。无论国内消费需要，还是国际

贸易需要，都转向了工业制成品。现代城市工业应运兴起，传统农村农业处于发展缓慢

乃至停滞的状态。在经济结构迅速转变的第二阶段，由于工业制成品市场需要的激励，

< p>
资金、劳力等生产要素资源从生产率较低的传统农业部门和其他部门，迅速流向生产率

较高的现代工业部门和其他部门，现代生产技术也在现代工业部门和其他部门迅速发展

起来。现代工业部门和其他部门不仅获得了资源重新配置的直接增长效应，而且获得了

< br>资源在整体经济中重新配置的总体再配置增长效应。在经济结构转变完成的第三阶段，

传统农村农业实现了现代化的改造和发展，现代农业部门从生产率低速增长部门转变为

生产率增长速度较高部门，缩小了同现代工业部门和其他部门的生产率差距。二元经济

结构转变为一元经济结构，经济不发达状态转变为经济发达状态。在钱纳里看来，发展

中 国家的资源转移和再配置，同发达国家相比是更加重要的增长因素。因为发展中国家

二元 经济结构更加突出，市场需要和要素市场的变化幅度更大，产业结构和经济结构的

转变余 地也就更大。

第三，现代要素引入论。

美国经济学 家、

诺贝尔经济学奖获得者

T·

舒尔茨 比较研究了发达国家和发展中国家的

工业化和现代化进程及其现代生产要素的引人和配置 ，提出了现代要素引人论。他认为，

二元经济结构的转变，关键在于传统农业的现代化。 传统农业的现代化，关键在于增加

农业阿

现代生产要素引人，并且合理地配置。农业的现代生产要素，就是适合贫穷农村

和落后 农业的既有利又有效的现代农业科技。合理配置农业的现代生产要素，就是农民

不仅愿意 接受和采用现代生产要素，而且必须懂得如何最好地使用现代生产要素，必须

学习新的有 用知识和新的有用技能。正是这种学习构成了作为现代农业特征的生产率提

高的基础。所 以，这种现代农业的知识和技能，在本质上是向农民的一种投资。增加人

力资本的投人， 促使农民通过教育、培训、健康、迁移、信息获得等方面的投资而形成

驾驭现代农业生产 要素的能力，是农业经济增长的主要源泉。在美国经济发展中，自然

资源的贡献率仅为< /p>

5%

，物质资本的贡献率为

20%

，而人力资本、人的技能的贡献率为

75%

。 美国农业经济的工业化和现代化，主要取决于农业人力资本的投人。不是土地和

资金，而 是人的能力和素质，才是决定贫穷和富裕、落后和发达的关键。在舒尔茨看来，

教育是人 力资本投资的主要形式，

农村初等教育是非常有利的农业人力资本投资。

从

1929

年到

1957

年，美国经济增长约

20%

是与教育增长联 系在一起的。在美国南部农村，追

加初等教育投资

10%

，增加产出高达

30%

。这是因为教育的投人 产出有两大显著特征。

一是长期性，长期投人而长期产出。二是广溢性，比增加物质资本 存量更能加速经济增

长，降低现代生产要素投入成本，提高人的劳动生产率和工资收入。 一个得到并且精通

运用有关土壤、植物、动物、机械的科学知识的现代农民，即使在贫脊 的土地上，也能

生产出丰富的食物。