-
2014
年全国
1
卷<
/p>
理科数学试题
一．选择题：
1.
< br>已知集合
A={
x
|
x
?
2
x
?
3
?
0
}
，
B=
x
?
2
?
x
?
2
，则
A
?<
/p>
B
=
（
）
2
?
?
A
.[-2,-1]
B
.[-1,2
）
C
.[-1,1]
D
.[1
,2
）
【答案】
：
A
【解析】
：
∵
A={
x
|
x
?
2
x
?
3
?
0
}=
x
x
?
?
1
或
x
?
3
，
B=
x
?
2
?
x
?
2
，
∴
A
?
B
=
x
?
2
?
x
?<
/p>
1
，选
A..
2
?
?
?
?<
/p>
?
?
(1
?
i
)
3
2.
=
（
）
2
(1
?
i
)
A
.
1
?
i
B
.
1
?
i
C
.
?
1
?<
/p>
i
D
.
?
1
?
i
(1
?
i
)
3
2
i
(1
?
i
)
【答案】
：
D
【解析】
：
∵
=
?
?
1
?
i
，选
D..
2
?
2
i
(1
?
i
)
3.
设函数
f
(
x
)
，
g
(
x
)
的定义域都为
R
，且
f
(
x
)
是奇函数，
g
(
x
)
是偶函数，则下列结论正确的是（
）
A
.
f
(
x
)
g
(
x
)
是偶函数
B
.|<
/p>
f
(
x
)
|
g
(
x
)
是奇函数
C
.
f
(
x
)
|
g
(
< br>x
)
|
是奇函数
D
.|
< br>f
(
x
)
g
(
x
)
|
是奇函数
【答案】
：
C
【解析】
：
设
F
(
x
)
?
f
(
x
)
g<
/p>
(
x
)
，则
F
(
?
x
)
?
f
(
?
x
)
g
< br>(
?
x
)
，∵
f
(
x
)
是奇函数，
g
(
x
)
是偶函数，∴
F
(
?
x
)
< br>?
?
f
(
x
)
g
(
x
)
?
?
F
(
x
)
，
F
(
x
)
为奇函数，选
C.
4.
已
知
F
是双曲线
C
：
x
?
my
?
3
m
(
m<
/p>
?
0)
的一个焦点，则点
F
到
C
的一条渐近线的距离为
（
）
2
2
A
.
3
B
.3
C
.
3
m
D
.
3
m
x
2
y
2
?
?
1
，
< br>c
2
?
3
m
?
3,
c
?
3
m
?
3<
/p>
【答案】
：
A
【解析】
：
由
C
：
x
?<
/p>
my
?
3
m
(
m
?
0)
，得
3
m
3
2
2
设
F
?
3
m
?
< br>3,0
，一条渐近线
y
?
?
3
x
，即
x
?
m
y
?
0
，则点
F
到
C
的一条渐近线的距离
3
m
d
?
3
m
?
3
=
3
，选
A. .
1
?
m<
/p>
5.4
位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则
周六、周日都有同学参加公益活动的概率
1
< br>3
5
7
A
.
B
.
C
.
D
.
8
8
8
8
【答案】<
/p>
：
D
【解析】
：
4
位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有
2
?
16
种，
1
1
2
周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有
C
4
A
2
?
8
种；②每天
2
人有
C
4
?
6
4
8
?
6<
/p>
7
?
；或间接解法：
4
位同学都在周六或周日参加
16
8
16
?
2
7
公益活动有
2
种，则周六、周日都有同
学参加公益活动的概率为
?
；选
D.
16
8
种，
则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
6.
如图，
圆
O
的半径为
1
，
A
是圆上的定点，
P
是圆上的动点，
角
x
的始边为射线
OA
，
终边为
射线
OP
，过点
P
作直线
OA
的垂线，垂足为
M
，将点
M
到直线
O
P
的距
离表示为
x
的函数
f
(
x
)
，则
y
=
f
(
x
)
在
[0,
?
]
上
的图像大致为（
）
【答案】
：
B
【解析】
：
如图：
过
M
作
M
D
⊥
OP
于Ｄ，
则
< br>
PM=
sin
x
，
OM=
cos
x
,
在
Rt
?
OMP
中，
MD=
OM<
/p>
g
PM
cos
x
g
sin
x
?
?
cos
x
s
in
x
OP
1
?
1
1
si
n
2
x
，∴
f
(
x
)
?
sin
2
x
(0<
/p>
?
x
?
?
)
，选
B. .
2
2
7.
执行下图的程序框图，若输入的
a
,
b
,
k
分别为
1,2,3
，则输出的
M
=
（
< br>
）
A
.
20
16
7
15
B
.
C
.
D
.
3
5
2
8
1
3
3
?
,
a
?
2,
b
?
；
2
2
2
【答案】
< br>：
D
【解析】
：
输入
a
?
1,
b
?
2,
k
?
3
；
n
?
1
时：
M
?
1
?
2
8
3
8
3
3
15
8
15
?
,
a
?
,
b
?
；
n
?
3
时：
M
?
?
?
,
a
?
,
b
?
；
3<
/p>
3
2
3
2
8
8
3
8
15
n
?
4
时：输出
M
?
.
选
D.
8
n
?
2
时：
M
?
2
?
8.
设
?
?
(0,
?
1
?
sin
?
?
，则（
）
)
，
?
?
(0,
)
，且
tan
?
?<
/p>
cos
?
2
2<
/p>
A
.
3
?
?
?
?
【答案】
：
Ｂ
?
2
B
.
2
?
?
?
?
?
2
C
.
3
?
?
?
?
?
2
D
.
2
?
?
?
?
?
2
【解析】
：∵
tan
?
?
sin
?
1
?
sin
?
?
，∴
sin
?<
/p>
cos
?
?
co
s
?
?
cos
?
sin
?
cos
?
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?<
/p>
?
cos
?
?<
/p>
sin
?
?
?<
/p>
?
，
?
?
?
?
?
?
,0
?
?
?
?
2
2
< br>2
2
?
2
?
∴
?
?
?
?
?
2
?
?
，即
2
?
?
?
?
?
2
，选
B
?
x
?
y
?
1
9.
不等式组
?
的解集记为
D
.
有下面四
个命题：
x
?
2
y
?
4
?
p
1
：
?
(
x
,
y
)
?
D
,
x
?
2
y
< br>?
?
2
，
p
2
：
?
(
x
,
y
)
?
D
,
x
?
2
y
?
2
,
P
3
：
?
(
x
,
y
)
?
D
,
x
?
2<
/p>
y
?
3
，
p
4
：
?
(
x
,
y
)
?
D
,
x
?
2
y
?
?
1
.
其中真命题是（
）
A
.
p
2
，
P
3
B
.
p
1
< br>，
p
4
C
.
p
1
，
p
2
D
.
p
1
，
P
3
【答案】
：
C
【解析】
：
作出可行域如图：设
x
?
2
y
?
z
，即
y
< br>?
?
1
z
x
?
，
2
2
当直线过
A
?
2,
?
1
?
时
，
z
min
?
?
2
?
2<
/p>
?
0
，∴
z
?
0
，∴命题
p<
/p>
1
、
p
2
真命题，选
C.
10.
已知抛物线
C
< br>：
y
?
8
x
的焦点为
F
，准线为
l
，
P
是
< br>l
上一点，
Q
是直线
PF
与
C
的一个交点，若
2
u
u
u
r
u
u
u
r
FP
?
4
FQ
，则
|
QF
|
=
（
）
A
.
7
5
B
.
C
.3
D
.2
2
2
【答案】
：
C
u
u
u
r
u
u
u
r
【解析
】
：
过
Q
作<
/p>
Q
M
⊥直线
L<
/p>
于
M
，∵
FP<
/p>
?
4
FQ
∴
PQ
3
QM
PQ
3
?
，又
?
?
，∴
QM
?
3
，由抛物线定义知
QF
?
QM
?
3
PF
4
4
PF
4
选
C
11.
已知函数
f
(
x
)
=
ax
?
3
x
?
1
，若
f
(
x
)
存在
唯一的零点
x
0
，且
< br>x
0
＞
0
，则
a
的取值范围为（
）
3
2
A
.
（
2
，
+
∞）
B
.
（
-
∞，
-2
）
C
.
（
1
，
+
∞）
D
.
（
-
∞，
-1
）
【答案】
：
B
2
【解析
1
】
：
由已知
a
?
0
，
f
?
(
x
)
?
3
ax
?
6
x
，令
f
?
(
x
)
?
0
，得
x
?
0
或
x
?
2
，
a
当
a
?
0
时，
x
?
?
??
,0
?
,
f
?
(
x
)
?
0;
x
?
?
0,
?
?
2
?
?
2
?
< br>?
?
,
f
(
x
)
?
0
;
x
?
,
??
?
?
?
,
f
(
x
)
?
0
；
a
?
a
?
< br>?
且
f
(0)
< br>?
1
?
0
，
f
(
x
)
有小于零的零点，不符合题意。
当<
/p>
a
?
0
时，
x
?
?
??
,
?
?
2
?
?
2
?
?
?
,
f
(
x
)
?
0;
x
?
?
?
,0
?
,
f<
/p>
(
x
)
?
0;
x
?
?
0,
??
?
,
f
?
(
x
)
?
0
< br>a
?
?
a
?
2
a
2
要
使
f
(
x
)<
/p>
有唯一的零点
x
0
且
x
0
＞
0
，只需
f
(
)
?
0
，即
a<
/p>
?
4
，
a
?
?
2
．选
B
【解析
2
】
：
由已知
a
?
0
，
f
(
x
)
=
ax
?
3
x
?
< br>1
有唯一的正零点，等价于
a
?
3
g
?
有唯一
的正零根，令
t
?
3
< br>2
1
x
1
x
3
1
3
3
，则问题又等价于
a
?
?
t
?
3
t
有唯一的正零根，即
y
?
a
与
y
?
?
t
?
3
t
有唯一
x
3
2
的交点且交点在在
y
轴右侧记
f
(
t<
/p>
)
?
?
t
?
3
t
，
f
?
(
t
)
?
?
3
t
?
3
，由
f
?
(
t
)
?
0
，
t
?
?
1
，
t
?
?
??
,
?
1
?
,
f
?
(
t
)
?
0;
t
?
?
?
1
,1
?
,
f<
/p>
?
(
t
)
?
0;
，
t
?
?
1
,
??
?
,
f
?
(
t
)
?
0
，要使
a
?
?
t
3
?
3
t
有唯
一的正零根，只需
a
?
f
(
?
1)
?
?
2
，选
B
12.
如图，网格纸上小正方形的边
长为
1
，粗实线画出的是某多面体的三视图，
< br>则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A
.
6
2
B
.
4
2
C
.6
D
.4
【答案】
：
C
【解析】
：
如图所示，原几何体为三棱锥
D
?
AB
C
，
其中
A
B
?
BC
?
4
,
AC
?
4
2
,
DB
?
DC
?
2
5
，
DA
?
?
4
2
?
2
?
4
?
6
，故最长的棱的
长度为
DA
?
6
，选
C
二．填空题：
13.
(
x
?
y
)(
x
?
y
)
的展开式中
x
y
的系数为
.(
用数字填写答案
)
【答案】
：
?
20
r
8
?
r
r
8
【解析】
：
(
x
?
y
)
展开式的通项为
T
r
?
1
?
C
8
x
y
(
r
?
0,1,
L
,8)
，
7
7
7
6
2
6
2
6
∴
T
8
?
C
8
xy
?
8
x
y
，
T
7
?<
/p>
C
8
x
y
?
28
x
y
8
2
2
8
xy
?
y
g
28
x
y
< br>?
?
20
x
y
，故系数为
?
20
。
∴
(
< br>x
?
y
)(
x
?
y
)
的展开式中
x
y
的项为
x
g
14.
甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
A
，
B
，
C
三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过
B<
/p>
城市；
乙说：我没去过
C
城市；
丙说：我们三人去过同一个城市
.
由此可判断乙去过的城市为
.
【答案】
：
A
【解析】
：
∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过
B
城市，乙说：我没去过
C
城市
∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过
Ａ，若乙再去城市
B
，甲去过的城市至多两个，不可能比
乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ
.
8
2
7
7
2
6
2
7
r
u
u
u
< br>r
1
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
15.
已知
A
，
B
，
C
是圆
O
上的三点，若
AO
?
(
AB
?
AC
)
，则
AB
与
AC
的夹角为
.
2
【答
案】
：
90
0
u
u
u
r<
/p>
1
u
u
u
r
u
u
u
r
【解析】
：
∵
AO
?
(
AB
?
AC
)
，∴
O
为线段
BC
中点，故
BC
为
e
O<
/p>
的直径，
2
r
u
u
u
r
u
u
u
0
0
∴
?
BAC
?
90
，∴
AB
与
AC
的夹角为
90
。
16.
已知
a
,<
/p>
b
,
c
分别为<
/p>
?
ABC
的三个内角
A
,
B
,
C
的对边，
a
=2
，且
(2
?
b
)(sin
A
?
sin
B
)
?
(
c
?
b
)sin
C
，
则
?
< br>ABC
面积的最大值为
.
【答案】
：
3
【解析】
：
由
a
?
2
且
<
/p>
(2
?
b
)(s
in
A
?
sin
B
)
?
(
c
?
b
)sin
C
，
即
(<
/p>
a
?
b
)(si
n
A
?
sin
B
)
?
(
c<
/p>
?
b
)sin
C
，由及正弦定理得：
(
a
?
b
)(
a
?
b
)
?
(
c
?
b
)
c
b
2<
/p>
?
c
2
?
a
2
1
?
，∴
?
A
?
60
0
，∴
b
2
?
c
2
< br>?
4
?
bc
∴
b
?
c
?
a
?
bc
，故
cos
A
?
2
bc
2
2
2
2
1
4
?
b
2
?
c
2
?
bc
?
bc
，∴
S
?
ABC
?
bc
sin
A
?
3
，
2
三
.
解答题：
17.(
本小题满分
12
分
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=1
，
a
n
?
0
，
a
n
a
n
?
1
?
?
S
n
?
1
< br>，其中
?
为常数
.
(
Ⅰ
)
证明：
a
n
?
2
?
a
n
?
?
；
（Ⅱ）是否存在
?
，使得
{
a
n
}
为等差数列？并说明理由
.
【解析】
：
(
Ⅰ
)
由题设
a
n
a
n
?
1
?
?
S
n
?
1
，
a<
/p>
n
?
1
a
n
?
2
?
?
S
n
?
1
?
1
，两式相减
a
n
?
1
?
a
n
?
2
?
a
n
?
?
?
a<
/p>
n
?
1
，由于<
/p>
a
n
?
0
，所以
a
n
?
2
?
a
n
?
?
…………
6
分
（Ⅱ）由题设
a
1
=1
，
a
1
a
2
?
?
S
1
?
1
，可得
a
2
?
?
1
?
1
，由
(
Ⅰ
)
知
a
3
?
?
?
1
假设
< br>{
a
n
}
为等差数列，则
a
1
,
a
2
,
a
< br>3
成等差数列，∴
a
1
?
a
3
?
2
a
2
，解得
?
?
4
；
< br>
证明
?
?
4
时，
{
a
n
}
为等差数列：由
a
n
?
2
?
< br>a
n
?
4
知
数列奇数项构成的数列
?
a
2
m
?
1
?
是首项为
1
，公差为
4
的等差数列
a
2
m
?
1<
/p>
?
4
m
?
3
令
n
?
2
m
?
1,
则
m
?
< br>n
?
1
，∴
a
n
?
2
n
?
1
(
n<
/p>
?
2
m
?
1)
2
数列偶数项
构成的数列
?
a
2
m
?
是首项为
3
< br>，公差为
4
的等差数列
a
2
m
?
4
m
?
1
令
n
?
2
m
,
则
m
?
n
，∴
a
n
?
2
n
?
1
(
n
?
2
m
)
2
*
∴
a
< br>n
?
2
n
?
1
（
n
?
N
）
，
a
n
?
1
?
a
n
?
2
因此，存在存在
?
?
4
，使得
{
a
n
}
为等差数列
.
………
12
分
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