-
三角公
式及
推导
（祥尽解释）
1-----
诱导公式：
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设
α
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin
（
2kπ
＋<
/p>
α
）＝
sinα
cos
（
2kπ
＋
α
）＝
cosα
< br>
tan
（
2kπ
＋
α
）＝
tanα
cot
（
2kπ
＋
α
）＝
cotα
公式二：
设
α
为任意角，
π+α
的三角函数值与
α
的三角函数
值乊间的关系：
sin
（
π
＋
α
）＝－
sinα
cos
（
π
＋
α
）＝－
cosα
tan
（
π
＋
α
）＝
tanα
cot
（
π
＋
α
）＝
cotα
公式三：
任意角
α
与
-
α
的三角函数值乊间的关系：
sin
（－
α
）＝－
sinα
cos
（－
α
）＝
cosα
tan
（－
α
）＝－
tanα
cot
（－
α<
/p>
）＝－
cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到
π
-
α<
/p>
与
α
的三角函数值乊间的关系：
sin
（
π
－
α
）＝
sinα
cos
（
π
－
α
）＝－
cos
α
tan
（
π
－
α
）＝－
tanα
cot
（
< br>π
－
α
）＝－
< br>cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得
到
2π
-
α
与
α
的三角函数值乊间的关系：
sin
（
2π
－
α
）＝－
sinα
cos
（
2π
－
α
）＝
cosα
tan
（
2π
< br>－
α
）＝－
tanα
cot
（
2π
－
α
）＝－
cotα<
/p>
公式六：
π/2±α
及
3π/2±α
与
α
的三角函数值乊间的关系：
< br>
sin
（
π/2
＋
α
）＝
cosα
cos
（
π/2
＋
α
）＝－
sin
α
tan
（
π/2
＋
α
）＝－
cotα
cot
（
π/2
＋
α
）＝－
tanα
sin
（
π/2
－<
/p>
α
）＝
cosα
cos
（
π/2
－
α
）＝
sinα
< br>
tan
（
π/2
－
α
）＝
cotα
cot
（
π/2
－
α
）＝
tanα
sin
（
3π/2
＋
α
）＝－
cosα
cos
（
3π/2
＋
α
）＝
sinα
tan<
/p>
（
3π/2
＋
α
）＝－
cotα
cot
（
3π/2
＋
α
）＝－
tanα
sin
（
3
π/2
－
α
）＝－
cosα
cos
（
3π/2
－
α
）＝－
sinα
tan
（
3π/2
－
α
）＝
cotα
cot
（
3π/2
－
α
）＝
tanα
(
以上
k
∈
z)
诱导公式记忆口诀
※
规律总结
※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于
k·
π
/2±
α
(k
∈
z)
的个三角函数值，
①
当
k
是偶数时，得到
α
的同名
函数值，即函数名不改变；
②
当
k
是奇数时，得到
α
相应的余函数值，即
sin→cos;cos→sin;t
an→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把<
/p>
α
看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边
的符号为把
α
视为锐角时，
角
k·
360°
+
α
（
k
∈
z
）
，
-
α
、
180°
±
α
，
360°
-
α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种
三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀
“
一全正
；二正
弦；三为切；四余弦
”
．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是
“
＋
”
；
第二象限内只有正弦是
“
＋
”
，其余全部是
“
－
”
；
第三象限内切函数是
“
＋
”
，弦函数是
“
－
< br>”
；
第四象限内只有余弦是
“
＋
”
，其余全部是
“
－
”
．
公式七：额外的定义
sin
2
?
?
(sin
?
)
2
cos
2
?
?
(cos
?
)
2
tan
2
?
?
(tan
?
)
2
2---
同角三角函数基本关系
⒈
同角三角函数的基本关系式
倒数关系
:
tanα
·cotα
＝
1
sinα
·cscα
＝
1
cosα
·secα
＝
1
商的关系：
sinα/cosα
＝
tanα
＝
se
cα/cscα
cosα/sinα
＝
cotα
＝
cscα/secα
平方关系：
s
in^2(α)
＋
cos^2(α)
＝
1
1
＋
ta
n^2(α)
＝
sec^2(α)
<
/p>
1
＋
cot^2(α)
< br>＝
csc^2(α)
证明：
?
在
?
ABC
中
,
?
ABC
?
9
0
?
?
a
2<
/p>
?
b
2
?
c
2
a
2
b
2
?
2
?
2
?
1
c
c
?
sin
2
B
?
sin
A
?
1
?
sin
2
?
?
cos
2
?
?
1
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以
上弦、中切、下割；左正、右余、中间
1
的正六边形为模型。
（
1
）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（
2
）商数关系：六边形
任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上
函数值的乘积。（主要是两条虚线两端
的三角函数值的乘积）。由此，可得
商数关系式。
（
3
）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面
两个顶点上的三角函数值
的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
3---
两角和差公式
⒉
两角和与差的三角函数公式
sin
（
α
＋
β
）＝
sinαcosβ
＋
cosαsinβ
sin
（
α
－
β
）＝
si
nαcosβ
－
cosαsinβ
cos
（
α
＋
β
）＝
cosαcosβ
－
s
inαsinβ
cos
（
α
－
β
）＝
cosαcosβ
＋
si
nαsinβ
<
/p>
tanα
＋
tanβ
tan
（
α
＋
β
）＝
——————
--
1
－
tanα
·tanβ
tanα
－
tanβ
tan
< br>（
α
－
β
）＝
——————
1
＋
tanα ·tanβ
和差公式的证明：
(1)
两
角差的余弦
A
B
y
(α
-
β
α
β
β
O
β
?
AOC
?
?
?
?
BOC
?
?
?
?
AOB
?
?
?
?
?
?
令
AO=BO=r
点
A
的横坐标为
x
A
?
r
cos
?
C
x
点
A
的纵坐标为
y
A
?
r
sin
?
点
B
的横坐标为
x
B
?
r
c
os
?
点
B
的纵坐标为
y
B
?
r
sin
?
AB
2
?
?
y
A
?
y<
/p>
B
?
?
?
x
A
?
x
B
?
2
2
2
2
?
?
r
sin
?
?
r
sin
?
?
?
?
r
cos
?
?
r
cos
?
?
?
r
2
sin
2
?
?
r
2
sin
2
?
?
2
r<
/p>
2
sin
?
si
n
?
?
r
2<
/p>
cos
2
?
?<
/p>
r
2
cos
2<
/p>
?
?
2
r
2
cos
?
cos<
/p>
?
?
r
2
?
sin
2
?
?
sin
2
?
?
2sin
?
sin
?
?
cos
2
?
?
cos
2
?
?
2cos
?
cos
?
?
?
r
2
?
si
n
2
?
?
co
s
2
?
?
si
n
2
?
?
co
s
2
?
?
2s
in
?
sin
?
?
2cos
?
cos
?
?
?
r
2
?
?
1
?
1
?
2
?<
/p>
s
in
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
?
?
?
?
r
2
?
?
2
?
2
?
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
?
?
?
?
2
r
2
?
?
1
?
?
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
?
?
?
式可得：
AB
2
?
AC
2
?
BC
2
?
2
AC
?
BC
cos
?
ACB
?
r
2
?
r
2
?
2
r
?
r
< br>cos
?
?
?
< br>?
?
?
2
r
2
?
2
r
2
cos
?
?
?
?
?
?
r
2
?
?
2
?
2cos
?
?
?
?
?
?
?
?
2
r
2
?
?
1
?
cos
?
?
?
?
?
?
?
综上得：
cos
?
?
?
?
?
?
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
< br>
(2)
两
角和的余弦
cos
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
sin
?
?
?
?
?
cos
?
cos
?
?
?
?
?
?
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
?
cos
?
cos
?
?
s
in
?
sin
?
(3)
两
角和的正弦
sin
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
90
?
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
cos
?
?
?
90
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
90
?
?
?
?
sin
?
?
cos
?
90
?
?
?
?
cos
?
?
cos
?
sin
?
?
sin
?
cos
?
(4)
两
角差的正弦
由余弦公
sin
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
cos
?
sin<
/p>
?
?
?
?
?
sin
?
cos<
/p>
?
?
?
?
?
?
cos
?
sin
?
?
sin<
/p>
?
cos
?
?<
/p>
sin
?
cos
?
?
cos
?
sin
?
(5)
两
角和的正切
tan
?
?
?
?
?
?
?
s
in
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
cos
?
sin
?
?
sin
?
cos
?
cos
?
cos
< br>?
?
sin
?
< br>sin
?
cos
?
sin
?
?
sin
?
cos
?
cos
?
cos
?
?
cos
?
cos
?
?
sin
?
s
in
?
cos
?
cos
?
sin
?
< br>sin
?
?
cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
1
?
cos
?
cos
?
tan
?
?
tan
?
?
1
?
tan
?
tan
?
(6)
两
角差的正切
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tan
?
?
tan
?
?
?
?
1
?
tan
?
tan
?
?
?
?
tan
?
?
tan
?
1
?
tan
?
tan
?
4---
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
表示一：
sin2α
＝
2
sinαcosα
证明：因为
sin(
?
+
?
)=sin
??
cos
?
+cos
??
sin<
/p>
?
，令
?
=
?
=
?
，
所以，可得：
sin2
?
=2
?
sin
??
cos
?
表示二：（以正切表示二倍角）
2t
an
?
sin2
?
=
1+tan
2
?
證明：
sin
< br>?
1
2tan
?
2
sin2
?
=2sin
?
cos
?
=2<
/p>
cos
?
=
2tan
?
(
2
) =
cos
?
< br>sec
?
1+tan
2
?
余弦二倍角公式：
表示一：
1+tan
2
?
2
?
1
?
tan
2
?
2tan
?
cos2α
＝
cos^2(α)
－
sin^2(α)
＝
2cos^2(α)
－
1
＝
1
－
2sin^2(α)
证明：因为由和
角公式：
cos(
?
+
?
)=cos
??
cos<
/p>
??
sin
??
sin
?
，令
?
=
?
=
?
，
所以，可得：
cos2
?
=cos
2
??
sin
2
?
=2cos
2
??
1=1
?
2sin<
/p>
2
?
表示二：
1
?
tan
2
?
cos2
?
=
1+tan
2
?
證明：
2
2
2
1
?
tan
?
2
cos2
?
=2cos
??
1 =
2
?
1 =
?
1 =
s
ec
?
1+tan
2
< br>?
1+tan
2
?
2tanα
tan2α
＝
—————
1
－
tan^2(α)
tan
?
+tan
?
证明：因为由和角公式：
tan(
?
+
?
)=
，令
?
=
?
=
?
，
1
?
tan
??
tan
?
2tan
?
所以，可得：
tan2
?
=
1
?
tan
2
?
結論：利用
tan
?
可以將
sin2
?
，
cos2
?
，
tan2
?
表示出來，
整理如下：
2tan
?
1
?
tan
2
?
2tan
?
(a)
sin2
?
=
(b)
cos2
?
=
(c)
tan2
?
=
1+tan
2
?
1+tan
2
?
< br>1
?
tan
2
< br>?
用三角形直观表示如下：（图）
6---
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1+tan
2
?
2
?
1
?
tan
2
?
2tan
?
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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