-
中考数学锐角三角函数综合经典题含答案
一、锐角三角函数
1
．
图
1
是一种折叠式晾衣架．
晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图
2
所示，两
支脚
OC
＝
OD<
/p>
＝
10
分米，展开角
∠
COD
＝
60°
，晾衣臂
OA
＝
OB
＝
10
分米，晾衣臂支架
HG
＝
FE
＝
6
分米，且
HO
＝
< br>FO
＝
4
分米．当
∠
AOC
＝
90°
时，点
A
离地面的距离
AM
为
_______
分米；当
OB
从水平状态旋转到
OB′
（在
CO
延长线上）时，点
E
绕点
F
随之旋转至
OB′
上
的点
E′
处，则
B′E′
﹣
BE
为
_________
分米．
【答案】
5
?
5
3
4
【解析】
【分析】
如图，作
< br>OP
⊥
CD
于
< br>P
，
OQ
⊥
AM
于
Q
，
FK
⊥
OB
于
K
，
FJ
⊥
OC
于
J
．解直角三角形求出
MQ
，
AQ
即可求出<
/p>
AM
，再分别求出
BE
< br>，
B′E′
即可．
【详解】
解：如图，作
OP
⊥
CD
于
P
，
OQ
⊥
AM
于
Q
，
< br>FK
⊥
OB
于
< br>K
，
FJ
⊥
OC
于
J
．
∵
AM
⊥
CD
，
∴
∠
QMP
＝
∠
M
PO
＝
∠
OQM
＝
90°
，
∴
四边形
OQMP
是矩形，
∴
QM
＝
OP
，
∵
OC
＝
OD
＝
10
，
∠
COD
＝
60°
，
∴
△
COD
是等边三角形
，
∵
OP
⊥
CD
，
∴<
/p>
∠
COP
＝
1<
/p>
∠
COD
＝
30
°
，
2
∴<
/p>
QM
＝
OP
＝<
/p>
OC?cos30°
＝
5
3
（分米），
∵
∠
AOC
＝
∠
QOP
＝
90°
，
∴
∠
AOQ
＝
∠
COP
＝
30°
，
∴
AQ
＝
1
OA
＝
5
（分米），
<
/p>
2
∴
AM
＝
AQ
＋
MQ
＝
5
＋
5
3
．
∵
OB
∥
CD
，
∴
∠
BOD
＝
∠
ODC
＝
60°
在
Rt
△
OFK
中，
KO
＝
OF?cos60°
＝
2
（分米），
FK
＝
OF?sin6
0°
＝
2
3
（
分米），
在
Rt
△
PKE
中，
EK
＝
EF
2
?
< br>FK
2
＝
2
6
（分米），
∴
BE
＝
10?2?2
6
＝（
8?2
6
）（分
米），
在
Rt
△
OFJ
中，
OJ
< br>＝
OF?cos60°
＝
2
（分米），
FJ
＝
2
3
（分米），
2
＝
2
在
Rt
△
FJE′
中，
< br>E′J
＝
6
2
< br>?
6
，
（
2
3
）
∴
B′E′
＝
10?
（
2
6
?
2
）＝
12?2
6
，
∴
B′E′?BE
＝
4
．
故答案为：
5
＋
5
3
，
4
．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题，属于中考常考题型．
2
．
（
6
分）某海域有
A
，
B
< br>两个港口，
B
港口在
A
港口北偏西
30°
方向上，距
< br>A
港口
60
海
< br>里，有一艘船从
A
港口出发，沿东北方向行驶一段距离后
，到达位于
B
港口南偏东
75°
方
向的
C
处，求该船
与
B
港口之间的距离即
CB
的长（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
．
试题分析：作
AD
⊥
BC
于
D
，于是有
∠
ABD=45°
，得到
AD=BD=
正切的定义求出
CD
的长，得到答案．
，求出
∠
C=60°
，根据
试题解析：作
AD
⊥
BC
于
D
，
∵
∠
EAB=30°
，
< br>AE
∥
BF
，
< br>∴
∠
FBA=30°
，又
∠
FBC=75°
，
∴
∠
ABD=45°
，又
AB=60
，
∴
AD=BD
=
，
∵
∠
BA
C=
∠
BAE+
∠
CAE=75°
，
∠
ABC=45
°
，
∴
∠
C=
60°
，在
Rt
△
ACD
中，
∠
C=60°
，
AD=
∴
BC=
，则
tanC=
，
∴
CD=
=
海里．
，
．故该船与
B
港口之间的距离
CB
的长为
考点：解直角三角形的应用
-
方向角问
题．
3
．
如图（
9
）所示（左图为实景侧视图，
右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太
阳能热水器：先安装支架
AB
和
CD
（均与水平面垂直
），再将集热板安装在
AD
上
.
为使
集热板吸热率更高，公司规定：
AD
与水平面夹角为
?
1
，且在水平线上的射影
AF
为
1.4
m
.
现已测量出屋顶斜面与水平面夹角
为
?
2
，并已知
tan
?
1
?
1.082
，
tan
?
2
?
0.412
．如果安装
工人确定支架
AB
高为
25
cm
，求支架
CD
的高（
结果精确到
1
cm
）？
【答案】
【解析】
过
A
作
AF
?
C
D
于
F
，根据锐角三角函数的定义用<
/p>
θ
1
、
θ
2
表示出
DF
、
EF
的值，又可证
四边形
< br>ABCE
为平行四边形，故有
EC=AB=25cm
，再再根据
DC=DE+EC
进行解答即可
．
4
．<
/p>
如图，在
△
ABC
中，
∠
ABC=
∠
< br>ACB
，以
AC
为直径的
⊙
O
分别交
AB
、
BC
于点
M
、
N
，点
P
在
AB
的延长线上，且
∠
CAB=2
∠
BCP
．
（
< br>1
）求证：直线
CP
是
⊙
O
的切线．
（
2
）若<
/p>
BC=2
，
sin
∠
BCP=
，求点
B
到
AC
的距离．
（
3
）在第
（
2
）的条件下，求
△
ACP
的周长．
【答案】（
1
）证明见解析（
< br>2
）
4
（
3
）
20
【解析】
试题分析：（
1
）利用直径所对的圆周角为直角，
2
∠
CAN=
∠
CAB
，
∠
CAB=2
∠<
/p>
BCP
判断出
∠
ACP=90°
即可；
（
2
）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．
试题解析：（
1
）
∵
∠
ABC=
∠
ACB
，
∴
AB=AC
，
∵
< br>AC
为
⊙
O
的直径，
∴
∠
< br>ANC=90°
，
∴
∠
CAN+
∠
ACN=
90°
，
2
∠
BAN=2
∠
CAN=
∠
CAB
，
∵
∠
CAB=2
∠
BCP
，
∴
∠
BCP=
∠
CAN
，<
/p>
∴
∠
ACP=
∠
ACN+
∠
BCP=
∠
ACN+
∠
CAN=90°
，
∵
点
D
在
⊙
O
上，
∴
直线
CP
是
⊙
O
的切线；
（
2
）如图，作
BF
⊥
AC
∵
AB=AC
，
∠
AN
C=90°
，
∴
CN=
CB=
，
，
∵
∠
BCP=
∠
CAN
，
sin
∠
BCP=
< br>∴
sin
∠
CAN=
∴
∴
AC=5
，
∴
AB=AC=5
，
设
AF=x
，则
CF=5
﹣
x
，
，
在
Rt
△
AB
F
中，
BF
2
=AB
2
﹣
AF
2
=25
﹣
x
2
，
在
R
t
△
CBF
中，
BF
2
=BC
2
﹣
CF
2
=2O
< br>﹣（
5
﹣
x
）
2
，
∴
25
﹣
x
2
=2O
﹣（
5
﹣
x
）
2
，<
/p>
∴
x=3
，
∴
BF
2
=2
5
﹣
3
2
=1
6
，
∴
BF=4
，
即点
B
到
AC
的距离为
4
．
考点：切线的判定
5
．
如图，在
⊙
O
的内接三角形
ABC
中，
∠
ACB
＝
9
0°
，
AC
＝
2BC
，过
C
作
AB
的垂线
l
交
⊙
O
于另一点
D
< br>，垂足为
E.
设
P
是
PD
，
PD
交
AB
于点
G.
(1)
求证：
△
PAC
∽
△
PDF<
/p>
；
(2)
若<
/p>
AB
＝
5
，
，求
PD
的长；
＝
x
，
tan
∠
AFD
＝
y
，求
y
与
x<
/p>
之间的函数关系式．
(
不要求写出
上异于
A
，
C
的一个动点，射线
AP
交
l
于点
F
，连接
< br>PC
与
(3)
在点
P
运动过程中，设
x
的取值
范围
)
【
答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
【解析】
；（<
/p>
3
）
.
试题分析：（
1
）应用圆周角定理证明
∠
APD
＝
∠
FPC
，得到
∠
AP
C
＝
∠
FPD
，又由
∠
PAC
＝
∠
PDC
，即可证明结论
.
（
2
）由
AC=2BC
，设
，应用勾股定理即可求得
BC
，
AC
的长，
则由
AC=2BC
得
可知
△
APB
是等腰直角三角
，
由
△
ACE
∽
△
ABC
可求得
AE
< br>，
CE
的长，由
形，从而可求得
PA
的长，由
△
AEF
是等腰直角三角形求得
EF=AE=4
，从而求得
DF
的长，
由（<
/p>
1
）
△
PAC<
/p>
∽
△
PDF
得<
/p>
，即可求得
PD
的长
.
，由角的转换可得
，由
△
AGD
∽
△
PGB
可得
，两
（<
/p>
3
）连接
BP
，
BD
，
AD
，
根据圆的对称性，可得
，由
△
AGP<
/p>
∽
△
DGB
可得
式相乘可得结果
.
< br>试题解析：（
1
）由
APCB<
/p>
内接于圆
O
，得
∠
FPC
＝
∠
B
，
又
∵<
/p>
∠
B
＝
∠
ACE
＝
90°
－<
/p>
∠
BCE
，
∠<
/p>
ACE
＝
∠
AP
D
，
∴
∠
AP
D
＝
∠
FPC.
∴
∠
APD
＋
∠
DPC
＝
∠
FPC
＋
∠
DPC
，即
∠
APC
＝
∠
FPD.
< br>
又
∵
∠
PAC
＝
∠
PDC
< br>，
∴
△
PAC
< br>∽
△
PDF.
（
2
）连接
BP
，设
∴
∵
△
ACE
∽
△
ABC
，
∴
∵
AB
⊥
CD
，
∴
如图，连接
BP
，
∵
，
∴
△
APB
是等腰直角三角形
.
∴
∠
PAB
＝
45°
，
.
.
，
∵
∠
ACB=90°
，
AB=5
，
.
∴
，即
.
.
∴
.
∴
△
AEF
是等腰直角三角形
.
∴
EF=AE=4.
∴
DF=6.
由（
1
）
△
PAC
∽
△
PDF
得
∴
PD
的长为
< br>.
，即
.
（<
/p>
3
）如图，连接
BP
，
BD
，
AD
，
∵
AC=2BC
，
∴
根据圆的对称性，得
A
D=2DB
，即
∵
AB
⊥
CD
，
BP
⊥
AE
，
∴
< br>∠
ABP
＝
∠
< br>AFD.
∵
，
∴
.
.
.
.
∵
△
AGP
∽
△
DGB
，
∴
∵
△
AGD
∽
△
PGB
，
∴
∴
∵
，
∴
，即
.
.
.
∴
与
之间的函数关系式为
考点：
1.
单动点问题；
2.
圆周
角定理；
3.
相似三角形的判定和性质；
4.
勾股定理；
5.
等腰直
角三角形的判定和性质；
6.
垂径定理；
7.
锐角三角函数定义；
8.
由实际问题列函数关系式
.
6
．
如图，
抛物线
y=
﹣
x
2
+3x+4
与
x
< br>轴交于
A
、
B
< br>两点，与
y
轴交于
C
点，点
D
在抛物线上
且横
坐标为
3
．
（
1
）求
tan
∠
DBC
的值；
< br>（
2
）点
P
为抛物线上一点，且
∠
DBP=45°
，求点
P
的坐标．
【答案】（
1
）
tan
∠
DBC=
（
2
）
P
（﹣
【解析】
，
）．
；
试题分析：（
1
）连接
CD
，过点
D
作
DE
⊥
BC
于点
E
．利用抛物线解析
式可以求得点
A
、
B
< br>、
C
、
D
的坐标，则可得
CD//AB
，
OB
=OC
，所以
∠
BCO=
∠
BCD=
∠
ABC=45
°
．由直角三角形
的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可
得
BC=4
tan
∠
< br>DBC=
；
，
BE=BC
﹣
DE=
．由此可
知
（
2
）过点
P
作
PF
⊥
x
轴于点
F
．由
∠
DBP=45°
及
∠
ABC=45°
可得
∠
PBF
=
∠
DBC
，利用（
< br>1
）中
的结果得到：
tan
∠
PBF=
=
试题
解析：
（
1
）令
y=0
，则﹣
x
< br>2
+3x+4=
﹣（
x+1
）（
x
﹣
4
）
=0
，
解得
x
1
=
﹣
1
，
x
2
=4
．
∴
A
（﹣
1
，
0
），
B
（
4
，
0
）．
当
x=3
时，
y=
﹣
3
2
+3×3+4=4
，
<
/p>
∴
D
（
3
，
4
）．
如图，连接
CD
，过点
D
作
DE
⊥
B
C
于点
E
．
．设
P
（
x<
/p>
，﹣
x
2
+3x
+4
），则利用锐角三角函数定义推知
，
）．
，通过解方程求得点
P
的坐标为（﹣
∵
C
（
0
，
4
），
∴
CD//
AB
，
∴
∠
BCD=
∠
ABC=45°
．
在直角
△
OBC
中，
∵
OC=OB
=4
，
∴
BC=4
．
在直角
△
CDE
中，
CD=3
．
< br>∴
CE=ED=
∴
BE=BC<
/p>
﹣
DE=
∴
ta
n
∠
DBC=
，
．
；
（
2
）过点
P
作
PF
⊥
x<
/p>
轴于点
F
．
<
/p>
∵
∠
CBF=
∠
DBP=45°
，
< br>∴
∠
PBF=
∠
DBC
，
∴
tan
∠
PBF=
．
=
，
设
P
（
x
< br>，﹣
x
2
+3x+4
），则
解得
x
1
=
﹣
∴
P
（﹣
，
x
2
=4
（舍去），
，
）．
考点
：
1
、二次函数；
2
< br>、勾股定理；
3
、三角函数
7
．
如图，已知点
从
为顶点作菱形
，使点
出发，以
1
个单位长
度
/
秒的速度沿
轴向正方向运动，以<
/p>
在第一象限内，且
；以
为圆心，
为
半径作圆．设点
运动了
秒，求：
（
1
）点
的坐标（用含
的代数式表示）；
（
2
）当点
在运动过程中，所有使
与菱形
的边所在直线相切的
的
值．
【答案】解：（
1
）过
作
，
，<
/p>
，
点
的坐标为
（
2
）
①
当
与
．
轴于
，
，
相切时（如图
1
），切点为
，此时
，
，
．
②
当
与
，
，即与
轴相切时（如图
2
），则切点为
，
，
过
作
于
，则
，
，
．
交
于
，
③
当
与
所在直线相
切时（如图
3
），设切点为
，
则
，
，
．
过
作
轴于
，则
，
，
化简，得
解得
，
，
．
所求
的值
是
【解析】
（
1
）过
作
轴于
,
利用三角函数求得
OD
、
DC
的长，从而求得点
的坐标
< br>
，
和
．
，
⊙
P
与菱形
OABC
的边所在直线相切，则可与
OC
相切；或与
OA
< br>相切；或与
AB
相切，应
分三种
情况探讨：
①
当圆
P
< br>与
OC
相切时，如图
1
所示，由切线的性质得到
PC
垂直于
OC
，再由
OA=+t
，
根据菱形的边长相等得到
OC=1+t
，由
∠
AOC
的度数求出
∠
POC
为
30°
，
在直角三角形
POC
中，利用锐角三角函数定
义表示出
cos30°
=oc/op
，
表示出
OC
，
等于
1+t
列出关于
t
的方程，求出方程的解即可得到
t
的值；
②
当圆
P
与
OA
，即与
x
轴相
切时，过
P
作
PE
垂直于
OC
，又
P
C=PO
，利用三线合一得到
E
为
OC
的中点，
OE
为
OC
的
一半，而
OE=OPcos30°
，列出关于
t
的方程，求出方程的解即可得到
t
的值；
< br>③
当圆
P
与
AB
所在的直线相切时，设切点为
F
，
PF
与
OC
交于点
G
，由切线的性质得到
PF<
/p>
垂直于
AB
，则
PF
垂直于
OC
，由
< br>CD=FG
，在直角三角形
OCD
中，利用锐角三角函数定义由
OC
表
示出
CD
，即为
FG
< br>，在直角三角形
OPG
中，利用
OP
表示出
PG
，用
< br>PG+GF
表示出
PF
，根
据
PF=PC
，表示出
PC
，过
C
作
CH
垂直于
y
轴，在直角三角形<
/p>
PHC
中，利用勾股定理列出
关于
t
的方程，求出方程的解即可得到
t
的值，综上，得到所有满足题意的
t
的值．
8
．
在平面直角坐标系中，四边形
OABC
是矩形，
点
O
?
0,0
?
，点
A
?
3
,0
?
，点
C
?
0,4
?
，
连接
OB
，以点
A
为中心，顺时针旋转矩形
AOCB
，旋转角为
?
?
0
?
< br>?
?
?
360
< br>?
?
，得到
矩形
ADEF
，点
O
,
C
,
B
的对应点分别为<
/p>
D
,
E
,
F
.
(
Ⅰ
)
如图，当点
D
落在对角线
OB
上时，求点
< br>D
的坐标；
(
Ⅱ
)
在
(
Ⅰ
)
的情况下，
AB
与
DE
交于点
H
.
①
求证
?
BDE
?
?
DBA
；
②
求点
H
的坐标
.
(
Ⅲ
)
?
为何值时，
FB
?
FA
.(
直接写出结果即可
).
【答案】
(
Ⅰ
)
点
D
的坐标为
(
(
< br>Ⅲ
)
?
?
60
?
或
300
?
.
【解析】
【分析】
25
54
72
,
)
；
(
Ⅱ
)①
证明见解析；
②
点
H
< br>的坐标为
(3
，
)
；
25
25
8
(
Ⅰ
)
过
A
、
D
分别作
AM
?
OB
,
DN
?
OA
，根据点
A
、点
C
的坐标可得出
OA
、
OC
的
长，根据矩形的性质可得
AB
、
OB
的长，在
Rt
△
OAM
中，利用
∠
BOA
的余弦求出
OM
的
长，由旋转的性质可得
OA=AD
，利用等腰三
角形的性质可得
OD=2OM
，在
Rt
△
ODN
中，利
用
∠
BOA
的正弦和余弦可求出
DN
和
ON
的长，
即可得答案；
(
Ⅱ
)①
由等腰三角形性质可
得
∠
DO
A=
∠
ODA
，根据锐角互余的关系可
得
?
ABD
?
?
BDE
，利用
SAS
即可证明
△
DBA
≌
△
BDE
；
②
根据
△
DBA
≌
△
BDE
可得
∠
BEH=
∠
DAH
，
BE=AD
，即可证明
△
BHE
≌
△
DHA
，可得
DH=BH
，设
AH=x
，在
Rt
△
ADH
中，利用勾股定理求出
x
的值即可得
答案；（
Ⅲ
）如图，过<
/p>
F
作
FO
⊥
AB
，由性质性质可得
∠
< br>BAF=
?
，分别讨论
0<
?
≤180°
时和
180°
<
?
<360°
时两种情况，根据
FB=FA
可得
< br>OA=OB
，利用勾股定理求出
FO
的长，由余弦
的定义即可求出
∠
B
AF
的度数
.
【详解】
0
?
，点
C
?
0
，
4
?
，
(
Ⅰ
)
∵
点
A
?
3
，
∴
OA
?
3,
OC
?
4
.
∵
四边形
OABC
是矩形，
∴
AB=OC=4
，
∵
矩形
DAFE
是由矩形
AOBC
旋转得到的
∴
AD
?
AO
?
3
.
在
Rt
?
OAB
中，
OB
?
OA
2
?
AB
2
?
5
，
过
A
、
D
分别作
AM
?
O
B,DN
?
OA
在
Rt
Δ
OAM
中，
cos
?
BOA
?
∴
OM
?<
/p>
OM
OA
3
?<
/p>
?
，
OA
OB
5
9
5
18
.
<
/p>
5
DN
4
ON<
/p>
3
?
，
cos<
/p>
∠
BOA=
=
，
OD
5
OD
5
∵
AD=OA
，
AM
⊥
OB
，
∴
OD
?
2OM
?
在
Rt
Δ
ODN
中：
sin
?
BOA
?
∴
DN
?
72
54
.
，
< br>ON
?
25
25
?
54
72
?
,
?
.
?
25
25
?
∴
点
D
的坐标为
< br>?
(
Ⅱ
)①
∵
矩形
DAFE
是由矩形
AOBC
旋转得到的，
∴
OA
?
AD
?
3,
?
ADE
?
90
?
,DE
?
AB
?
4
.
∴
OD
?
AD
.
?
DOA
?
?
ODA
.
又
∵
?
DOA
?
?
OBA
?
9
0
?
，
?
BD
H
?
?
ADO
?
90
?
∴
?
ABD
?
?
BDE
.
∴
又
∵
BD
?<
/p>
BD
，
∴
Δ
BDE
?
Δ
DBA
.
②
由
Δ
BDE
?
Δ
DBA
，得
?<
/p>
BEH
?
?
DA
H
，
BE
?
A
D
?
3
，
<
/p>
又
∵
?
BHE<
/p>
?
?
DHA
，<
/p>
∴
Δ
BHE<
/p>
?
Δ
DHA
.<
/p>
∴
DH=BH
，
设
AH
?
x
，则
DH
?
BH
?
4
?<
/p>
x
，
在
Rt
Δ
ADH
中，<
/p>
AH
2
?
AD<
/p>
2
?
DH
2
，
即
x
2
?
3
2
?
?
4
?
< br>x
?
，得
x
?
∴
AH
?
2
25
，
8
25
.
<
/p>
8
?
?
25
?
?
.
8
?
∴
点
H
的坐标为
?
3,
(
Ⅲ
)
如图，过
F
作
FO
⊥
AB
，
当
0<
α
≤180°
时，<
/p>
∵
点
B
与点
F
是对应点，
A
为旋转中心，
∴
∠
BAF
为旋转角，即
∠
BAF=
α
，
AB=A
F=4
，
∵
FA=FB
，
FO
⊥
< br>AB
，
∴
OA=
1
AB=2
，
2
OA
1
=
，
AF
< br>2
∴
∠
BAF=60°
，即
α
=60°
，
当
180°
<<
/p>
α
<360°
时，
∴
cos
∠
BAF=
同理解得：
∠
BAF′=6
0°
，
∴
旋
转角
α
=360°
-60°
=300°
.
综上所述：
α
?
60
?
或
300
?
.
【点睛】
本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知<
/p>
识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键
.
9
．
如图，在
⊙
O
的内接三角形
ABC
中，
∠
ACB
＝
90°
，
AC
＝
2
BC
，过
C
作
AB
的垂线
l
交
⊙
O
于另一点
D
，垂足
为
E
．设
P
是
?
AC
上异于
A
，
C
的一个动点，射线
AP
交
l
于点
F
，连接
PC
与
PD
，
PD
交
AB
于点
G
．
（
1
）求证：
△
PAC
∽
△
PDF
；
（
2
）若
AB
＝
5
，
?
?
，求
PD
的长．
AP
?
BP
【答案】
(1)
证明见解析；（
2
）
【解析】
【分析】
3
10
．
<
/p>
2
?
?
AC
?
，
∠
ACD
＝
∠
B
，由
∠
FPC
＝
∠
B
，得
（
1
）根据
AB
⊥
CD
，
AB
是
⊙
O
的直径，得到
AD
到
∠
ACD
＝
∠
FPC
，可得结论；
?
?
BP
?
，得到
OP
⊥
AB
，
∠
OPG
＝
∠
PDC
，根据
AB
是
⊙
O
的直径，得
（
2
）连接
O
P
，由
AP
到
∠
ACB
＝
90°
，由于
AC
＝
2BC
，于是得到
tan
∠
CAB
＝
tan
∠
D
CB
＝
BC
，得到
AC
CE
BE
1
< br>OG
OP
?
?
< br>，求得
AE
＝
4BE
，通过
△
OPG
∽
△
EDG
，得到
?<
/p>
，然后根据勾股定
AE
CE
2
GE
ED
理即可得到结果
．
【详解】
（
1
）证明：连接
AD
，
∵
AB
⊥
CD
，
AB
是
⊙
O
的直径，
?
?
AC
?
，
∴
AD
∴
∠
ACD
< br>＝
∠
B
＝
∠
ADC
，
∵
∠
FPC
＝
∠
B
，
∴
∠
ACD
＝
∠
FPC
，
∴
∠
APC
＝
∠
ACF
，
∵
∠
FAC
＝
∠
CAF
，
∴
△
PAC
∽
△
CAF
；
（
2
）连接
OP
，则
OA
＝
OB
＝
OP
＝
1
5
AB
?
，
2
2
?
?
BP
?
，
∵
AP
∴
OP
⊥
AB
，
∠
OPG
＝
∠
PDC
，
∵
AB
是
⊙
O
的直径，
∴
∠
ACB
＝
90°
，
∵
AC
＝
2BC<
/p>
，
∴
tan<
/p>
∠
CAB
＝
ta
n
∠
DCB
＝
BC
，
AC
CE
BE
1
?
?
，
AE
C
E
2
∴
AE
＝
4BE
，
∵
AE+BE
＝
AB
＝
5
，
∴
∴
AE
＝
4
，
BE
＝
1<
/p>
，
CE
＝
2
，
∴
OE
＝
OB
﹣
BE
＝
2.5
﹣
1
＝
1.5
，
∵
∠
OPG
＝
∠
PDC
，
∠
OGP
＝
∠
DGE<
/p>
，
∴
△
OPG
∽
△
EDG<
/p>
，
∴
∴
OG
OP
?
，
GE
ED
OE
?
GE
OP
2.5
?
?
，
GE<
/p>
CE
2
2
5
∴
GE
＝
，
OG
＝
，
3
6
∴
PG
＝
OP
?
OG
?
GD
＝
DE
?
GE
?
∴
PD
＝
PG+GD
＝
2
2
2
2
5
，
6
2
，
3
3
10
．
2