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沿着“大长河”露营问题
摘要
游客在
“大长河”
可以享受到秀丽的风光和令人兴奋的白色湍流，
因此
许多
游客选择在这条长河上露营几天。
对于此问题，
我们归结为两个：
一个是安排一个最优的混合旅
行方案，
使得
最大限度的利用露营地，
并且要使船只尽可能少的接触到河上其它的船只，
二是
把我们发
现的问题在模型中提出来，以便管理者作为改进经销的意见参考。
我们把所有旅游时间分为忙时和闲时。
在忙时，
由于游客旅游次数比较多，
而两个露营者又不能在同
一时间占据同
一个露营地，
所以我们考虑
“大长河”
上露营地的利用率越高，
总的旅游时间越
短，那么“大长河”的管理者就会获利越大。我们采用“平移模型”对整个旅游
< br>模式进行设计，
最终达到最大限度地利用露营地。
所谓<
/p>
“平移模型”
就是指每天
都选择同一种漂
流工具，
然后对每条橡胶筏
（或机动帆船）
都设定好当天的露营
地点，
就好像每天所有的游客都向前平
移一样，
这样我们就可以最大限度
（全部）
地利用
“大长河”
上的露营地，
并
且在河上的所有船只都不会碰面。
但是此种模
型在很好地符合条
件的同时也是存在着问题的，
那就是按照这种模式，
所有旅客<
/p>
从头至尾都只能乘坐一种漂流方式进行游览，
显得有些单调，
最终使游客的满意
度降低。
所以我们又对该
模型做了一些改进。
对所有人征集意见，
如果大多数的
游客都愿意换漂流工具，
那管理者就在第二天同时对所有人换漂流工具，
这样就
可以使所有旅客体验到不同的漂流方式。
在闲时，
由于来游玩的游客不是很多，
所以可以更大程度的按照游客自己的
意愿来旅游。
游
客可以自由选择自己想的旅游时间，
我们假设游客对旅游天数的
选择服从泊松分布。
根据搜集到的资料，
我们可以得到机动船和
橡胶筏的数量关
系，
因此我们可以得到游客选择机动帆船和橡胶
筏的旅游天数的概率，
对其归一
化后，
得到游客选择旅行的平均时长。
假定游客可以自由选择每天的旅行路程长
度，我们观察数据得到这个长度符合正态分布规律，则可得到计划旅行
i
天的游
客每日旅行的路程，
那么平均每日所有
游客的旅行路程也可以得出。
游客在河道
上行驶，可以将问题模
拟成流体在罐子中的流动，最终可以得到
X
与
< br>Y
的关系
式。
对于给管理者的备忘录，
我们主要针对在论文的写作中出现的一些问题及发
现做一个总结性的概括，然后提出一些改进的方法。
关键词：
平移法
满意度
计算机模拟
泊松分布
正态分布
一、
问题重述
游客在“大长河”
（
225
英里）可以
享受到秀丽的风光和令人兴奋的白色湍
流。
这条河对于背包客来
说是进不去的，
因此畅游这条河的唯一办法就是在这条
河上露营
几天。
这次旅行从开始的下水点到最终结束点，
共
225
英里，
且是顺流
而下
的。乘客可以选择平均
4
英里
/
小时的以浆作为动力的橡胶筏或者平均
8
英<
/p>
里
/
小时的机动帆船旅行。
整个旅行从开始到结束会经历
6
至
< br>18
个夜晚。
负责管
理这条河的
政府机构希望到这里的每一次旅行都能够享受到野外经历，
以最少的
接触到河上其它的船只。
目前，
每年在六个月期间
（一年的其余部分的天气对于
河流旅行来说太冷）
，共有
X
次旅行，有
Y
出露营地，露营地均匀的分布整个河
道。
由于漂流的
受欢迎程度的上升，
公园管理者已经被要求允许更多的旅游次数。
问题一：
他们想确定怎样可能安排一个最优的混合的旅行方
案，
不同的时间
（单位为夜）和推动方式（马达或浆）
，最大限度的利用露营地。换句话说，在
长河的漂流季，
将会有多少更多的乘船旅行可以加进来？河流的管理者现在雇佣
你，
为他们提出最佳排程方式和河流承载能力的建议，
记住两个露营者不能在同
一时间内占据同一个露营地。
问题二：准备一页备忘录，对河流的管理者描述你的主要发现。
二、
模型假设
1.
假设每次旅行在当天行驶过程中不考虑换船的问题。
2.
假设在这六个月中的游客数量可分为忙时和闲时。
3.
假设每天的行船时间定为
9:00-15:00
，即每天行船
6
个小时，其余时间在露
营地游玩或休息。
4.
假设大河的旅游路线是单程路线，船在河中是匀速旅行。
5.
假设每个月按
< br>30
天计算。
6.
不考虑外界自然因素给船带来的影响；
7.
假设题目中的六个月期间共有<
/p>
X
次旅行，有
Y
出露营地是已知的。
三、
符号说明
S
i
：第
i
天
橡胶筏或机动帆船所行驶的距离；
：两个露营地之间的距离；
X
：六个月期间总的旅行次数；
Y
：露营地的个数
< br>L
V
max
：每天漂流速度的最
大值，即
8
英里
/
小时；
V
i
：第
i
天的漂流速度；
k
i
：第
i
天漂流路程是
L
的
k
i
倍；
；
p
i
：第
i
天某一条船所经过的露营地点的个数
（含此船当天的露营地点）
；
n
：一次旅行的总时间（单位为夜）
t
：每天
的行船时间，即
6
小时；
S
：旅行总路程的长度，即
225
英里。
P
m
：游客选择船的概率；
P
0
：游客选择非机动船的概率；
P
1
?
k
?
：乘机动车游客旅行
k
天的概率；
P
2
?
< br>k
?
：乘橡皮筏游客旅行
k
天的概率；
P
0
?
k
?
：归一
后，乘橡皮筏游客旅行
k
天的概率；
天的概率；
天的概率；
P
m
?
k
?
：
归一后，乘机动车游客旅行
k
P
?
k
?
：所有的游客旅行天数平均为
k
v
m
：机动船的时速
；
v
0
：非
机动船的时速；
~
v
：所有漂流旅客平均漂流时速；
：机动帆船行驶的距离；
s
m
s
0
：橡皮筏行驶的
距离；
?
i
?
k
?
：
i<
/p>
天旅行计划的每日旅客旅行路程；
?<
/p>
?
k
?
：平均每
日所有旅客旅行路程；
?
i
：
i
天旅客每天行程的标准差；
四、
问题分析
4.1
问题一的分析
对于每年
“大长河”
露营旅游开放的六个月期间内，
在最初和快要结束的那
段时间相对于中间时间来说天气还是比较冷的，
所以来
“大长河
”
露营旅游的人
数明显会比较少，也就可以说是对于“大长河”
露营旅游的旅游淡季。因此，对
于每年的
“大长河”
露营旅游的六个月期间，
我们可以把其分为旅游的忙时和闲
时。
然后我们分别就旅游的忙时和闲时不同的时间，
分
别给出两个不同的混合旅
游方案。
由题目可知每年的六个月期间
共有
X
次旅行，
有
Y
处露营地。
我们不妨
假设每个月
共有
30
天，那么平均每天的旅行次数就是
次数大于
X
180
X
180
次。每天游客的旅游
时就定义为忙时，小于<
/p>
X
180
时就定义为闲时。
对于忙时，由于旅游的人数比较多，如果我们能够最大限度的利用露营地，
那么旅游的次数就会越多，
从而达到使更多的乘船旅游加进来的
目的。
我们设计
一个“平移模型”来作为管理者的旅游方案，所
谓“平移模型”就是使所有的旅
客在同一天都使用同一种漂流工具，
然后规定所有船只的速度相同，
出发时间相
同，
行船时间相同，
就好像所有的旅客都是向前平移的一样。
< br>虽然这种模式整体
看上去比较死板，
但是对于每一位游客
来说，
他们在整个旅游过程中都不会遇到
其他的船只，
能够充分享受到野营的快乐，
而且也能够使“大长河”
< br>的露营地得
到最大限度的利用。
后来，
< br>我们又对此模型进行了改进。
就是征求所有旅行中旅
客的
意见，
当大部分的旅客都想换另一种漂流工具的时候，
我们就同
时在第二天
对所有旅行中的旅客换另一种漂流工具，
这样就可以
使旅客在旅行中享受到两种
不同的漂流方式。
最终，
我们算得按照这种模式来旅行，
河流的承载能力就能够
达到最大化为
?
Y
?
1
?
条船只。而在忙时，每天的旅行次数就会比平时
的平均每天
旅行次数多出
?
?
16
Y
?
75
?
X
180
?
16
?
?
次。
75
?
对于闲时，<
/p>
来旅游的人数就会比较少，
而且来旅游的时间也不能确定应该服<
/p>
从泊松分布，
因此我们采用计算机模拟的方法来模拟出每天游客出
发的时间，
然
后再根据具体的模拟情况来做出相应的乘船方案。
由于在闲时游客的数量并不是很多，
所以可以更大程度的按照游客自己的意
愿来旅游。
游客可以自由
选择自己想的旅游时间，
我们假设游客对旅游天数的选
择服从泊
松分布。
根据搜集到的资料，
我们可以得到机动船和橡胶筏的数
量关系，
因此我们可以得到游客选择机动帆船和橡胶筏的旅游天数的概率，对其归一化<
/p>
后，
得到游客选择旅行的平均时长。
假定
游客可以自由选择每天的旅行路程长度，
我们观察数据得到这个长度符合正态分布规律，
则可得到计划旅行
i
天的游客每
日旅行的路程，
那么平均每日所有游客的旅行路程也可以得出。
游客在河道上行
驶，可以将问题模拟成流体在罐子中的流动，最终可以
得到
X
与
Y
的
关系式。
4.2
问题二的分析
在问题二中，
题目要求我们准备一页备忘录，
然后对管理者
描述一下我们在
得出模型的过程中的主要发现。
我们认为这一点
我们主要应该写的就是我们在得
出模型的过程中所考虑到的问题和解决问题的方案，
以及我们对管理者所提出的
一点建议。
最终
得出应该如何改进才能够使管理者既得到较大的收益，
又能够提
高游客的满意度。
五、
模型的建立与求解
5.1
“平移模型”的建立
管理者希望达到的目的是到这里的每一次旅行都能够享受到野外经历，
因此
我们必须使旅客尽可能少的接触到在河上的其他船只。我们建立的“平移模型”
就是让所有的旅行中的旅客全都乘坐同一种漂流方式，
然后规定他们
的每天行船
的时间相同，
那么所有旅客在每天的行进的路程是相
同的，
就不会存在相遇的可
能。
而且这
样所有旅客看似平移的方式也能够让
“大长河”
上的露营地能够
得到
最大化的利用，
而在下水点处，
管
理者可以安排旅客在当天的不同时间进行开船，
以达到当天到达所有空余露营地的目的，
又不至于两个露营者在同一时间占据同
一个露营地。
具体的从下水点出发的船只的出发时间和行船方案如图一所示，
图二为假设
每天出发的第一条船行驶的距离为
8
L
时的行船示意图。
第一条船
第二条船
图一
在下水点的行船示意图
下
水
点
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13 14
15
16
图二
假设每天行船距离为
8
L
时的行船示意
图
假如每天出发的第一条船行驶的距离为
8
L
，那么如图二所示第一条船可到
达第
8
号露营地，
第二条船到达第<
/p>
7
号露营地，
第三条船到达第
6
号露营地，
以
此类推，
则当天可旅行次数为
8
次。
而在第
8
号露营地露营的旅客就会相应的到
达第
16
号露营地，在第
7
号露营地露营的旅客就会相应的到达第
15
号露营地，
以此类推可以得到所有船只的行船方案。
完成从下水点开始出发的船只模型后，
对于河上的船只的行船方
式就会很简
单了，其具体的行船方式如图三所示。
图三
旅途中的行船方案
设某条船在旅游的
第
i
天所行驶的路程为
S
i
，船的行驶速度为
V
i<
/p>
。
因为“大长河”的总长为
225
英里，而总共有
Y
个露营地，所以每两个露营
地之间的距离为：
L
?
225
Y
?
1
设
V
i
?
4
q
i
?
8
(
1
?
q
i
)
（
1
）
其中
q
i
?
?
?
1
?
0
旅客选用橡胶筏
旅客选用机动帆船
（
2
）
5.2
改进后的模型
以上模型虽然最大限度
的利用了露营地，
但是游客从始至终只能选择一种漂
流方式，显
然不能满足游客的要求，因此我们队模型又进行了改进。
在整
个模型中，
我们考虑如果能够让游客能够在旅途中体验到两种不同的漂
< br>流方式，
那么游客的满意度就会上升了。
但是如何才能让
游客既能够体验到两种
不同的漂流方式，
有能够达到尽可能少的
与河上其他船只相遇，
且最大限度地利
用露营地呢？我们考虑，
如果要换漂流方式的话，
那么对于整条河上旅行的游客
全都要换漂流方式才能过达到以上要求。
因此我们采用征集旅客意见的方
式，
如
果有大多数的旅客愿意选择换漂流方式，
那么就由管理者在第二天来统一换漂流
工具，而这只需要管理者在每一个露营地
都能够设立可以换取的漂流工具。
5.3
模型的求解
我们定义
“大长河”
的最大承载量为河流上船只总条数
的最大值。
因为
“大
长河”总共有
Y
个露营地，再加上从最后一个露营地行驶到结束点的一条船只，<
/p>
因此可得此模型中“大长河”的最大承载量为
?
< br>Y
?
1
?
条船只。
由符号的定义及相互关系可得：
-
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