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动力吸振器

作者：高考题库网
来源：https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2021-02-13 16:00
tags:

-

2021年2月13日发(作者：发展方向)



分类号


:U27;U46


10710- 2009122042





硕



士



学



位



论



文




变质量动力吸振器及其控制策略研究



房祥波





导师姓名职称



申请学位级别



论文提交日期



学位授予单位



工学硕士



高强






教授



学科专业名称



车辆工程



年




月




日



年




月




日



论文答辩日期



长安大学































Study of Tuned Vibration Absorber Based on


Variable Mass and It


’


s Control Strategy



A Dissertation Submitted for the Degree of Master






Candidate: Fang Xiangbo



Supervisor: Prof. Gao Qiang







Chang’an University, Xi’an, China











论文独创性声明



本人声明：


本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，


独立进行

研究工作所取得的成果。


除论文中已经注明引用的内容外，


对论文的


研究做出重要贡献的个人和集体，


均已在文中以明确方 式标明。


本论


文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已 经公开发表的成


果。



本声明的法律责任由本人承担。




论文作者签名：


























年





月





日





论文知识产权权属声明



本人在导师指 导下所完成的论文及相关的职务作品，


知识产权归


属学校。学校 享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请


专利等权利。

本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的


学术论文或成果时，署名单位 仍然为长安大学。



（保密的论文在解密后应遵守此规定）




论文作者签名：


























年





月





日



导



师



签



名：




























年





月





日



摘






要




自适应 动力吸振器是振动控制领域的研究热点，其通过调整自身参数改变固有频


率，以跟踪外界 激励频率，从而在较大的带宽上减小主系统振动，克服了传统动力吸振


器有效带宽过窄的 缺点。与当前常用的通过改变刚度调整自身固有频率的方法不同，本


论文提出了一种新的 基于变质量调谐的吸振器


—


变质量动力吸振器，


通过在传统吸振器


中引入一个液体箱作为变质量单元，改变其中液体体积，就可 以改变吸振器质量及固有


频率，从而获得较大的有效带宽。



本论文研究内容如下：



（

< p>
1


）在研究二自由度系统振动理论的基础上，研究了传统动力吸振器基本原 理，


包括定点设计理论及吸振器参数优化理论，


并通过仿真分析 了参数变化对吸振器减振效


果的影响。



（


2


）提出了新型变质量动力吸振器，研究了变质量动力吸振 器工作原理，建立了


动力学模型及运动微分方程。根据运动微分方程，

< br>建立了


Simulink


仿真模型，对变质量

< p>
动力吸振器减振性能进行仿真研究，分析了其有效带宽。



（


3


）搭建实验系统，对变质量动力吸振器减振性能进 行了实验研究。选择一个玻


璃瓶作为变质量单元，通过改变玻璃瓶内水的体积改变吸振器 质量及固有频率，以实现


对外界激振频率的追踪，从而达到最优减振效果。实验结果表明 ，随着质量的变化，吸


振器可以在


8.125Hz~9.297 Hz


范围内使主系统振动减小约


14dB


，


说明相对于传统动力吸


振器，所设计的吸振器能够获得较大 的有效带宽。




（

< br>4


）为解决使用吸振器后，主系统频率响应出现新的共振峰，从而可能增大主系< /p>


统振动的缺点，提出了一种新的基于规则的变质量动力吸振器控制策略。通过仿真和实


验研究了所提控制策略的减振效果。结果表明，使用新控制策略后，吸振器不仅能够在


较宽的频带上明显减小主系统振动，而且能够有效防止主系统出现共振，因而具有重要


的工程应用价值。




关键词：


振动控制，动力吸振器，自适应动力吸振器，变质量动力吸振器，吸振器


控制




i


Abstract


Vibration is a common phenomenon in nature and our life, but in most cases it is harmful,


so


it


is


significance


to


do


research


on


vibration


control


technologies


which


can


suppress


vibration and reduce the harmful effect vibration causes. There are many kinds of methods to


reduce vibration, a commonly used method among which is tuned vibration absorbers(TVAs).


TVA,


especially


adaptive


tuned


vibration


absorbers(ATVAs),


are


widely


used


not


only


because they are ease to implement


but


also


because they work effectively. A new kind


of


ATVA based on variable mass(VM) is studied in this paper, which can track the frequency of


exciting force by changing the mass of absorber to tune its natural frequency. The VM ATV


A


is semi-active.



Operation principle of traditional TVA is studied, design theory and optimization of


TVA parameters are discussed based on theory of vibration system with two degrees of


freedom. The new VM TVA is proposed and its working principle is studied, also an


implementation scheme is proposed. In order to study the performance of VM TVA, a


numerical simulation is made according to the dynamic differential equation of VM TVA ,


also some experiments are implemented to test the performance. There is disadvantage when


using TVA, i.e. using the absorber can result in the resonance of the primary system. a novel


control strategy based on VM ATVA to reduce the resonance of the primary system is


suggested.


The results of simulation and experiments show that VM TVA can effectively suppress


the vibration of the primary system across a wider frequency range. The resonance of the


primary system can be suppressed when the mass of absorber is changed according to the


strategy. The VM TVA, which is simple and easy to control, can be used in various fields,


such as transportation, machinery manufacturing, and buildings. It’s popularization will be


valuable for society.


Key words


: vibration control; variable mass tuned vibration absorber; resonance reduction



ii


目






录



第一章




绪 论


...................................... .................................................. ........................


1



1.1



振动控制技术研究的意义< /p>


........................................ ....................................


1



1.2



振动控制技术分类及特点


................. .................................................. .........


2



1.2.1



按控制手段分类


......... .................................................. .......................


2



1.2.2



按振动控制是否需要外 部能量分类


.................................. ................


3



1.3



动力吸振技术的发展现状< /p>


........................................ ....................................


5



1.3.1



动力吸振器分类


......... .................................................. .......................


5



1.3.2



被动式动力吸振器


......................................... .....................................


6



1.3.3



自适应动力吸振器


........ .................................................. ....................


9



1.3.4



主动式动力吸振


.......................................... ........................................


8



1.4



本文的课题来源和主要内容


................ .................................................. ....


1


3


1.4.1



课题来源


............ .................................................. ..............................


1


3


1.4.2



主要内容


............ .................................................. ..............................


1


3


第二章




动力吸振器的基本原理


...... .................................................. ......................


1


5


2.1



引言


................................................. .................................................. ...........


1


5


2.2



二自由度系统振动


........................................... ...........................................


1


5


2.2.1



系统运动微分方程


........ .................................................. ..................


1


5


2.2.2



自由振动


............................................. ...............................................


1


6


2.2.3



强迫振动


............ .................................................. ..............................


2


0


2.3


动力吸振器基本原理



....... .................................................. .......................


2


2


2.4



动力吸振器设计理论及参数 优化


..................................... .........................


2


4


2.4.1



动力吸振器设计定点理 论


...................................... ..........................


2


4


2.4.2



最优同调频率


.......... .................................................. ........................


2


7


2.4.3



最优阻尼比

< p>
............................................ ............................................


2


8


2.5



传统动力吸振器减振性能仿真研究


. .................................................. .......


2


9


2.5.1



MATLAB/Simulink


简介


.................................................. ................


2


9


2.5.2



Simulink


的仿真算法



.


.............................. .........................................


3


0


2.5.3



传统动力吸振器仿真


....... .................................................. ...............


3


4


2.6



本章小结

< br>............................................... .................................................. .....


3


7


第三章




变 质量动力吸振器原理及性能仿真研究


....................... ...........................


3


8


3.1



引言


.............. .................................................. ..............................................


3


8


3.2



变质量动力吸振器原理及设计


... .................................................. .............


3


8


3.2.1



变质量动力吸振器原理


....................................... .............................


3


8


3.2.2



变质量动力吸振器设计


...... .................................................. ............


4


0


3.3



变质量动力吸振器


Simulink


仿真



.


..................................... .......................


4


1


3.3.1



变质量动力吸振器


Simulink


建模


< br>.


................................... ...............


4


2


3.3.2



变质量动力吸振器仿真 结果


..................................... .......................


4


3


3.4



本章小结

< br>............................................... .................................................. .....


4


6


第四章




变 质量动力吸振器实验研究


............................ ..........................................


4


8


4.1



引言


.............. .................................................. ..............................................


4


8


4.2



实验方案设计


.......... .................................................. ..................................


4


8



iii


4.2.1



实验设备


.............................. .................................................. ............


4


8


4.2.2



实验方案设计


........................................... .........................................


5


1


4.2.3



实验结果预测


.......... .................................................. ........................


5


2


4.3



实验及结果分析

< p>
............................................ ..............................................


5


3


4.3.1



主系统振动频率响应


....... .................................................. ...............


5


3


4.3.2



变质量动力吸振器减振 性能


..................................... .......................


5


4


4.4



本章小结

< br>............................................... .................................................. .....


5


5


第五章




基 于变质量动力吸振器的主系统共振控制策略研究


.................. ............


5


6


5.1



引言


................................................. .................................................. ...........


5


6


5.2



基于规则的控制方法


.......................................... ........................................


5


6


5.2.1



动力吸振器共振缺点


....... .................................................. ...............


5


6


5.2.2



基于规则的控制方法< /p>


........................................ ................................


5


7


5.2.3



基于规则控制方法的振动控制


... .................................................. ...


5


8


5.3



变质量动力吸振器质量控制仿真


.. ............................


错


误！未定义书签。



5.4



变质量动力吸振器质量控制 实验


..................................... .........................


6


0


5.5



基于规则控制方法的适用性


....................................... ...............................


6


3


5.6



本章小结


............ .................................................. ........................................


6


3


第六章




结论与展望


........... .................................................. .....................................


6


4


6.1



全文总结


............ .................................................. ........................................


6


4


6.2



工作展望


............ .................................................. ........................................


6


5


参考文献


................................................. .................................................. ...................


6


6

< p>
攻读学位期间取得的研究成果


.................... .................................................. ............


6


9


致






谢


............... .................................................. .................................................. ...


7


0























iv


长安大学硕士学位论文



第一章




绪论



1.1



振动控制技术研究的意义



振动广泛的存在于自然界和人们的日常生产生活中。地震、大风等会给建筑物带

< br>来振动，工业生产中的机床、转轴，生活中的按摩器、洗衣机，都存在着振动。从一般

意义上说，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种


运动为振动


[1]


。振动虽然有有利的一面，如振动筛、振动 沉桩、地震仪的发明和应用，


但更多情况下会引起负面影响，带来不必要的麻烦甚至危害 。振动的危害一般包括以下


几个方面：


（


1


）共振、冲击引起对机械或结构材料的疲劳，加快设备磨损，大大缩短其

< p>
寿命，甚至会造成非常危险的事故。振动还会引起建筑物的损坏，如路面激振引起大桥


垮塌，风的冲击导致高层建筑摇摆振幅过大。


（


2< /p>


）降低车床或工具的加工精度，降低仪


器的测量精度。

< p>
（


3


）引起噪声，污染环境。研究表明，人体对于 环境振动非常敏感，不


明显（


3mm


） 的振动位移和振动加速度都会引发人的烦躁情绪，影响人的心理和生理健


康。

< p>


除了上述振动导致的危害，随着现代工业的发展以及人民生活水平的提高 ，人们


对减振和降噪的要求越来越高，促使振动控制技术进一步发展。随着技术的进步， 几乎


所有工业的发展，如汽轮机、水轮机、燃气轮机等动力机械，汽车、火车、飞机、运 载


火箭，以及挖掘机、推土机等工程机械，都向着高速重载的方向发展，导致振动越来越


显著，如果振动问题不加以适当控制往往会引起重大事故，造成设备损毁，并伴随着巨< /p>


大的生命财产损失。如


1988


年陕西秦 岭发电厂的“


2.12


”事故，当天下午


16


时，电厂


200MW


5


号汽轮发电机组进行提升转速的危急保安器动作试验，过程中由油膜失稳引

起突发性、综合性强烈振动造成轴系严重破坏，其中


7


处对 轮螺栓、轴体中


5


处发生断


裂，共断为


13


段，主机基本毁坏，这次事故造成


1


名工人腰部被飞出的残片击伤，并


引起发电机端部火灾。在制 造业，制造零件的精度越来越高，难度越来越大，尤其是精


密仪器、宇航零件等的加工， 对振动环境的要求越来越严格。在建筑业，各式高楼不断


刷新世界纪录，跨海大桥不断涌 现，高大建筑物受风载激励后，其振动幅度可能达到几


米，


要求 工程师在设计施工时必须考虑可能带来的安全问题和舒适度问题。


在军工领域，


战斗机、导弹等通常工作在过载荷、多振动情形，必须做好减振措施。尤其是潜艇，由

< p>
于潜艇的优势在于隐蔽性，所以要不断提高减振降噪水平，否则就可能被敌方发现并歼



1


第一章



绪论



灭。如影片《猎杀红色十月》中 ，前苏联叛逃核潜艇“红色十月”号正是凭借无声喷水


推进系统避过美国海军的监视网和 前苏联派出的追击潜艇，顺利逃脱。



综合以上各方面来看，振 动与我们息息相关，降低振动和噪声无论对人们的生产


生活，还是技术发展、社会的进步 都有着非常重要的现实意义。



1.2



振动控制技术分类及特点



振动控制是振动工程领域内的一个重要分支，是振动研究的出发点与归宿。从广

< br>义上说，振动控制包括两方面的内容：一方面是振动的利用，如各类振动机械的研发利

用；


另一方面是振动的抑制，


即尽量减小有害的振动


[2]


，


因为振动加速运转机械的磨损，


缩短了产品寿命，


使人易疲劳，


仪器易失灵 。


一般的振动控制指的是对有害振动的抑制。


振动控制的任务是 通过一定的技术手段使受控对象的振动水平满足人们的预定要求


[2]

< br>。


振动控制技术一般有两种分类方法，一是按控制手段分类，有抑制振源强度、隔 振、吸


振、阻振、修改结构五种方法


[2-5]


；另一种是按振动控制过程中是否需要外部能量分类，


分为有源控制和无源控制


[2]


，


而有源控制又称为主动控制，


无源控制也称为被动控制


[6]


。



1.2.1



按控制手段分类



1


、抑制振源强度


< br>抑制振源强度又称之为消振，这是消除振动的根本方法。由于受控对象的响应是由


振源（激励）引起的，外因消除或减弱时，振动响应随之消除或减弱。如对不平衡的刚


性 或柔性转子，


采用动平衡的方法消除或减弱他们在转动时因质量不平衡出现的离心力


及力矩；如高烟囱、热交换器等结构，由于卡门涡旋引起的流激振动，可通过加扰流器


的方法破坏卡门涡旋的生成，因而使涡激强度减弱，又如车刀的颤振，可通过加冷却剂


的方法减小切削时的车刀与工件之间的摩擦力，破坏出现颤振的条件。



2


、隔振



隔 振是指在振源和受控对象之间串加一个子系统，该子系统称之为隔振器，用来减


小主系统 对外界激励的响应。这是一种广泛应用的减振技术，如飞机座舱内仪表板通过


隔振器与机 体相连，从而减小机体振动向仪表板的传递；动力机械通过隔振器与基础件


相连，从而减 小机械运转时产生的交变激励力和力矩向基础件的传递。



3


、吸振



吸 振又称动力吸振，即在受控对象上附加一个子系统，用它产生的反作用力减小或



2


长安大学硕士学位论文



消除受控对象对振源激励的响应，子系统为动力吸振器。这是一种在各领域广泛应用的

< p>
减振技术，


如为减小直升飞机在飞行中机体振动水平而采用的连于驾驶舱内 的弹簧


—


质


量块型吸振器，连在桨毂处 的双线摆型激振器及连在桨叶根部的摆式吸振器；高层建筑


顶部安装的有阻尼动力吸振器 （也称为调谐质量阻尼器）



4


、阻振



阻 振，又称阻尼减振。其方法为，在受控对象上附加阻尼器或阻尼元件，通过消耗


能量而使 响应减小，


如粘贴阻尼材料的汽车壁板能有效地降低车辆在不平路面上行驶引

< p>
起的随机激励响应，直升机增加桨叶减摆器的阻尼以防止出现动不稳定现象。



5


、修改结构


< br>通过修改受控对象的动力学特性参数（如质量、刚度以及阻尼特性参数，惯性原件


的质量、转动惯量及分布等）以使其振动满足预定要求，这是一种不需要附加任何子系


统 的振动控制方案。对于实际存在的受控对象来说，这是个修改结构的问题，对于初始


设计 阶段的受控对象来说，是个动态设计问题，在工程应用中的产品设计阶段，主要对


结构进 行修改和优化以降低对外界激励的响应。如在转子系统中，改变转子材料、形状


来改变临 界转速以满足使用要求。




虽然振动 控制技术种类繁多，实施技术手段复杂多样，但是对于一个已经设计完成


并生产出成品的 产品来说，


要想修改它的固有结构或者改变系统动力学特性就要进行重

< br>新设计，从而造成相关部件的关联改动，会严重影响产品经济效益，并不可行。在一些

振源附近，


比如汽车发动机，


振动的产生不可避免，


采用抑制振源强度的方法并不可行，


在实际生产中，对于已有机械或产 品，应用动力吸振器是一种有效的减振方法。以上所


述的五种减振方法作用阶段如图


1.1


所示。









图


1.1



五种减振方法



振源



受控对象



吸振



抑制振源强度



隔振



阻振



修改结构



1.2.2



按振动控制是否需要外部能量分类




3


第一章



绪论



1


、无源控制



无源控制又称被动控制，是指不需要外部提供能量，仅靠结构的相对运动产生力的


作用 就能实现对振动和冲击进行控制的技术。由于其具有结构简单，容易安装，经济性


好，可 靠性高，无需外部能源支持等特点，在工程实际中得到广泛应用。但被动控制往


往作用频 率范围小，且作用对象振动频率必须已知。



2


、有源控制



有源控制又称主动控制，是利用外部能源，通过向被控对象按一定规律实施调整结


构参 数或施加主动控制力达到控制振动的目的。它是自动控制理论、计算机及机械振动


理论等 现代科学技术的综合产物。振动主动控制包括开环控制与闭环控制两类，常用的


是闭环控 制，其结构如图


1.2


所示。





控制器



作动器





（


a


）开环控制



子系统



受控对象



能源










（


b


）闭环 控制



图


1.2


两类主动控制



控制器



作动器



子系统



受控对象



测量系统



能源



从图


1 .2


可以看出，振动主动控制系统一般包括以下几个环节：


< /p>


（


1


）受控对象：这是控制对象（产品、 结构或系统）的总称，可以由单自由度系


统、多自由度系统或连续体构成。



（


2


）作动器：也称执行 器，是一种能够提供作用力或力矩的装置。作用力可以直


接施加在受控对象上。常用的作 动器有伺服液压式、伺服气动式、电磁式、电动式和电


压式。




4


长安大学硕士学位论文



（

< p>
3


）控制器：它是主动控制系统的核心环节，用以实现所需的控制律。控制 律是


指控制器输入与输出之间的传递关系。开环控制中，控制器的输入是按一定的程序预 先


设定的；闭环控制中，控制器的输出来自从测量系统感受到的受控对象振动信息。



（


4


）测量系统 ：包括传感器、适调器、放大器乃至滤波器等将受控对象的振动信


息转换并传输到控制器 输入端的各个环节。常用的传感器有压电式和压阻式加速度计、


电位计式位移传感器、光 电式位移传感器等。



（


5

< p>
）能源：它是用来供给作动器工作所需的外界能量，与作动器形式相对应的有


液压油源、气源、电源等。



（


6< /p>


）附加子系统：


:


这是附加的控制子结构 或子系统的总称，有时作动器不直接施


力于受控对象上，而是先施力

(


或运动


)


于附加子系统，通过附 加子系统的运动进而产生


施加于受控对象的作用力。当然，不是任何的振动主动控制系统 都必须有附加子系统，


而前面五个环节却是必不可少的。



1.3



动力吸振技术的发展现状



动力吸振技 术始于


1909


年


Frahm


在德国邮船上安装的防摇水箱，这是动力吸振器


最早的工程应用


[10]


。但直到


1928

年


royd


和


才推导出了动力吸


振原理


[11]


,


首先提出了吸振器优化设计的不动点理论，


Hahnkam m


基于无阻尼单自由度


系统和附加在其上的无阻尼吸振器推出了 最优调谐比设计公式


[12]


。



Brock


最终在


1946


年推导出了最优阻尼的关系，


至此，


动力吸振器发展形 成了一个较为完整的体系。


此后，


随着工程建设及科学研究的需 要，动力吸振器不断发展，至今已经在各领域广泛应用。



动力吸振器


(Dynamic Vibration Absorber, DV


A)


是通过弹性元件把辅助质量连接 到振


动系统上的一种减振装置


[7]



，


一般可简化为一个由质量、


弹簧、< /p>


阻尼元件组成的单自由


度振动系统。动力吸振器工作时通过调节自 身结构形式、动力参数以及与主系统的耦合


关系来改变主系统的振动状态，


以达到在预期频段上减小主振系强迫振动响应的目的


[8]

< br>。


通过辅助质量的动力作用，


使吸振器弹性元件在主系统 上产生的作用力可以抵消部分或


大部分作用在主系统上的外界激振力来削弱主系统振动。


相当于把主系统的振动能量转


移到了动力吸振器上。

< p>


1.3.1



动力吸振器分类



动力吸振器按是否需 要外界能量分为被动式动力吸振器、


半主动式动力吸振器和主



5


第一章



绪论



动式动力吸振器，半主动式动力 吸振器又称为自适应动力吸振器，按照参数调节方式又


分为阻尼可调式动力吸振器和频率 可调式动力吸振器。


其中频率调节方式一般通过改变


弹性元件刚 度来实现，弹性元件刚度的调节方式一般由机械调节、应用智能材料以及应


用电磁材料等 。动力吸振器的分类如图


1.3


所示。












主动式动力吸振器



图


1.3



动力吸振器分类



动

< br>力


吸


振


器



被动式动力吸振器



半

< p>
主


动


式


动


力


吸


振


器

（自适应


动


力


吸

< br>振


器）



阻尼可调式动力吸振器



机械式



电磁式



频


率


可


调


式


动


力


吸


振


器



智能材料式



1.3.2



被动式动力吸振器



传统的动力吸振器 属于被动式动力吸振器，


当其固有频率与外界激振频率相同时减


振效果非常明显，而且制造成本低、结构简单、易于安装、性能稳定。但是其各项参数


一 经设定，就不可再改变，当外界激振频率发生变化，偏离吸振器的固有频率时，减振


效果 迅速下降。被动式动力吸振器为了在吸振频率处获得较好的减振效果，要求其阻尼


要尽可 能小，这样有效频段就较窄。



被动式动力吸振器从发明以来已 经发展了一百多年，种类繁多，可以分为单自由度


动力吸振器、


组合式动力吸振器、


多自由度连续参数动力吸振器和非线性动力吸振器

< br>[8]


，


现分别介绍如下。



（


1


）



单自由度动力吸振器研究



通常说的单 自由度动力吸振器是吸振器只有一个质量块的形式。



提出的


不动点理论，


Hahnkamm


推出的最优 调谐比设计公式，以及


Brock


推导出的最优阻尼的


关系式虽然是振动领域的经典结论，但它们实际上只是有阻尼动力吸振器的近似最优


解，为了进一步深入研究，李新兴等从惯性激振力的观点，研究了吸振原理，对经典吸


振器参数优化公式进行了修正


[13]


，


宋孔杰从四端参数技术方面研究了振源特性对动力吸



6


长安大学硕士学位论文



振器优化设计的影响


[14]


。


2002


年，


Nishihara

等推导了有阻尼动力吸振器运动方程的精


确解析解


[15]


，但是解析解与近似最优解在质量比较小（小于


0.2


）的情况下相差非常小。


近年来，王全娟等研究了基于功率流策略的无阻 尼式


DV


A


的宽带优化设计

< p>
[16]


。丁文镜


研究了有阻尼多自由度主振系< /p>


DV


A


参数的优化设计问题，提出了基于 传递函数的优化


设计方法


[17]


。梁 艳春采用了


Lagrange


差值算法，解决了计算系统传递函 数的困难


[18]


。


伍良生等基于最优 控制理论，


研究了动力吸振器的优化设计方法


[19]


。


张洪田建立了通过


直接求解多自由度系统在单 位力作用下的振动响应，优化了动力吸振器的参数设计


[20]


。



被动式动力吸振器的一种典型应用是建筑领域的调谐质量阻 尼器（


Tuned


Mass


Dam per


）


，调谐质量阻尼器由质量块、弹簧、阻尼器组成，吸振 器设计时使得吸振器固


有频率与建筑物的自振频率相等或相近。质量块由弹簧和阻尼器悬 挂在建筑物上，当主


振动结构受到外界激振力作用时，质量块随之产生惯性运动，通过质 量块的惯性运动将


主体建筑物的振动能量转移到吸振器，变为吸振器动能。调谐质量阻尼 器在国外的典型


应用有一下事例。上世纪


70

< br>年代，美国纽约


274


米高的世界贸易中心大楼顶部安装 了


重达


360


吨的吸振器


[21]


，


很好的减小了大楼对风振的反应，


降低大楼内工作人员在大风


时的不舒适感，波士顿

244


米高的汉考克大厦在第


58


层安装了两个重


300


吨的调谐质


量阻 尼器，


降低了风振，


防止了玻璃幕墙的脱落。

< br>澳大利亚悉尼的


Centerpoint


塔安装了


调谐质量阻尼器后，


由风引起的加速度响应减小了

40%


—


50%


[22]


，同样在澳大利亚的悉


尼电视塔分别在其顶端和下部悬吊了


180


吨重的水箱结构和质量结构，


有效改善了室内


人体的舒适度。


迪拜的七星级风帆酒店也在侧翼护栏上安装了多 个吸振器以调高抗风能


力


[23]


。< /p>


在国内的典型应用有，


台北著名地标性建筑


101


大厦顶端也安装了调谐质量阻尼


器来减振，

< p>
101


大厦共


101


层， 屋顶高


448


米，加上塔尖共有


508


米，且位于环太平洋


地震带的高地震区和台风区。为了降低其风 振和地震反应，设计人员为其设计了一个世


界上最大的球形


TM D


装置，重


662


吨，直径

< p>
5.5


米，通过不同直径片状半圆钢板焊接


而成， 安装在


87-91


层，使得大楼风振作用下的摆动量减少约


40%


[24]


。



（


2


）组合式动力吸振器的研究



人们在研究和工程应用中发现，


同时应用多 个单自由度动力吸振器能够得到很好的


减振特性，多个单自由度动力吸振器不但能更好的 适应安装空间的限制，得到更宽的减


振频带和更好的减振效果，而且设计失调时具有更好 的鲁棒性和长期稳定性。



Snowdon

在


20


世纪


60

< br>年代研究了把质量为


m


的动力吸振器分为三个质量均等的


动力吸振器的情况


[25]


，计算结果 显示，可以稍许拓宽减振频带。


1992


年，

< br>Xu


等通过研



7


第一章



绪论



究认为，组合式动力吸振器质量应该非线性分布


[26]


。


Joshi


等通过数值搜索和曲线拟合


的方法得到了一些设计公式


[27]


。


在国内，


李俊等比较了不同数目的动力吸振器组合对船


体尾部振动的减振效果


[28]


，

< br>李春祥等指出各个动力吸振器刚度和阻尼都相等的组合式多


自由度减振器能提供更 好的减振效果和鲁棒性


[29]


。


西北 工业大学的研究组研究了基于功


率流理论的组合式多自由度减振器的优化设计问题


[30]


。



（


3


）多自由度及连续参数动力吸振器研究



1968


年


Snowdon

< p>
写了《阻尼机械系统中的振动》一书


[25]


，标 志着人们正式开始了


多自由度连续参数动力吸振器的研究。


Ja cquot


等研究了固定的双向悬臂梁吸振器


[31]


，


Snowdon


进一步研究了十字悬臂梁吸振 器


[32]


，


并在两端附加了可调位置 的质量块调节吸


振器固有频率。


Dahlbe

< br>证明了悬臂梁吸振器比单自由度动力吸振器能更有效的抑制主系


统振动

< p>
[33]


。



（


4


）非线性动力吸振器



在早期，动力吸振器的减振频带宽度往往比较窄，所以人们开始探索利用非线性弹


簧< /p>



来改善吸振器性能的可行性。


Arno ld


研究了一个无阻尼立方非线性弹簧的理想情况


[34]


，并首次证明了非线性特性可以拓展动力吸振器的减振带宽。


Hun t


等研究表明，非


线性吸振器的减振带宽在强非线性时是相应线 性吸振器带宽的两倍


[35]


。



非线性特点的存在给动力吸振器以及附加吸振器后的主系统带来稳定问题，

< br>并可能


产生周期交叉、逆周期、混沌振动等非线性动力学行为，对吸振器的正常工 作有严重影


响，需要进行有效规避。


Natsiavas


用平均法研究了非线性动力吸振器的稳定性问题


[36]


，


指出了合理选择吸振器参数可以规避不稳定现象并能得到良好的减振效果。


Zhu


等讨论


了弹簧和阻尼都具有非线 性的单自由度动力吸振器安装在单自由度主振动系统时的非


线性行为

[37]


，并推导了减振的参数区间。


< br>由于此类动力吸振器参数的非线性特征，实际应用中难以进行精准控制，对非线性


动力吸振器的研究多停留在理论层面，实际应用非常少见。



1.3.3



主动式动力吸振器



主动式动力吸振器 是指利用外部能源在主系统受激振动过程中，


瞬时施加控制力或


改变结构的动力特性，以迅速衰减和控制结构振动反应的减振装置。一般包括计算机控


制 系统、作动器系统和信息拾取与传输系统三大部分。在振动控制过程中，计算机控制


系统 依据主动控制算法处理由信息拾取和传输系统采集到的信息，计算出控制力，由作



8


长安大学硕士学位论文



动器对主系统施加控制力，与外界给主系统的激振力抵消。与被动式动力吸振器相比，

< p>
主动式动力吸振器能够在宽频带范围内有效减振，


可以应用于受控对象振动 频率未知或


变化的情况。



主动式动力 吸振器一开始应用在船舶减振领域。最早的主动式动力吸振器出现在


Lancheste r


的英国专利中提出，


在船舶减振领域的工程应用由

< p>
Dalby


在


1928


年 进行了描


述，这种装置对船舶纵向振动能够有效控制，但是需要人工调节相位，很难根据 船舶的


实时运行状况进行跟踪控制。



独立的主动式动力吸振器是近三四十年才发展起来的。上世纪七八十年代，日本企


业对船 用减振装置进行了大量研究，


1974


年，

石川岛播磨重工业株式会社研究了一种独


立的动力吸振器，这种主动式动力吸振器由 独立电网供电，不需要船舶主机轴驱动，为


以后的主动式动力吸振器提供了典型的开发思 路，具有重要意义。



虽然日本研制的主动式动力吸振器已经能 够有效抑制振动，


但是并不能连续无级调


节控制力的大小，丹麦


FL


史密斯公司针对日本发明吸振器的缺点进行了改进，实现了


无级调整，但仍不能跟踪外界激励响应，上世纪


90

< p>
年代，韩国釜山国立大学研制了一


种可无级连续调节力幅与相位的主动式动 力吸振器，


能够实时跟踪外界激振力的相位与


幅值，克服了前期 主动式动力吸振器的缺点。



在国内，


哈尔滨工程大学张洪田等人研究了一种用在船舶柴油发动机上的主动式减


振器，


是一种典型的电磁式吸振器


[20]


，


西安交通大学胡杰等人研究的一种电磁式主动动


力吸振器


[53]


，


永磁铁安装在被控结构上，


通过电磁铁给永磁铁一个作用力来实现对结构


振动的控制，作用力的大小通过调 节电流的大小来实现。



虽然主动式动力吸振器能够在很宽的频 带范围内实现有效减振，但是结构复杂，工


艺设计要求高，费用昂贵，若要取得较好的减 振效果，主动部件需满足大输出力、长行


程、高控制精度等要求，而且工作过程中需要从 外界源源不断地输入大量能量。当控制


出现偏差，吸振器可能不但不起减振作用，反而加 强主系统振动，给系统带来不稳定问


题。除此之外，一般要求吸振器质量不能太大，不能 有太多冗余，这些都为主动式动力


吸振器的设计和应用带来了困难。


1.3.4



自适应动力吸振器



从以上被动式动力 吸振器和主动式动力吸振器的研究可知，


被动式动力吸振器结构


简单、减振效果好，但是工作频带很窄，主动式动力吸振器虽然工作频带宽，但是结构



9


第一章



绪论



复杂，控制精度要求高，都不适 合大范围推广应用。自适应动力吸振器兼具两者优点，


结构简单、易于实施、减振效果好 ，而且能在一定宽度频率范围内对主系统有效减振。


因此，在工程实际中得到了广泛应用 。



在振动控制的过程中，根据外界激振频率的变化，适时地调 整自身某个（些）参数


（如刚度、阻尼）


，以使得自身固有频率 始终与外界激振频率保持一致，从而将外界作


用于主系统的振动能量转移到吸振器上，以 实现对主系统的减振作用。由于自适应动力


吸振器具有以上特点，因此能够满足激励情况 改变时的减振需求，可以在一定频率范围


内取得满意的减振效果，是近年来振动领域的研 究重点。下面根据其参数调节方式分别


对阻尼可调式动力吸振器和频率可调式动力吸振器 进行介绍。



1


、阻尼可调式半主动动力吸振器


< /p>


阻尼可调式动力吸振器通常分两种方式，一种是调节液体通道节流口面积，另一种


是使用磁流变液。



在第一种途径中，阻尼器件 由带有活塞的活塞杆和油缸组成，活塞上开有节流孔。


阻尼可控器件安装在基座和隔振目 标之间，当有振动激励时，活塞相对于缸壁作直线运


动，具有粘性的油通过节流孔产生阻 力。利用压电晶体来驱动节流口的调节机构，以实


现节流孔开度大小的自动控制。具体过 程为，先用传感器检测振动量，通过控制器按照


一定的控制策略产生控制信号，对压电作 动器施加相应的电流则压电晶体产生应变，虽


然该位移通常很微小，但可以经过机构的放 大来推动节流口变化，从而实现阻尼力的可


控。



磁流变液在没有磁场作用下时，液体的粘度很小，吸振器阻尼力也很小，当给一个

磁场作用时，粘性随着磁场的增加而增大，这种调节是非常迅速的，能在毫秒量级的时


间内完成，在该过程中，液体的粘度保持连续无级变化。利用磁流变效应制成的磁流变


阻尼器，阻尼可控，响应快速，比节流口式可靠性高，且体积小、


结构简单、阻尼力大、


功耗小。因此，在振动控制领域具有广泛的应用前景。汪建晓等人研制了一种基于磁流< /p>


变液的变阻尼减振器


[38]


，


当磁流变液有外部磁场时，


通过磁场的作用迅速改变填充液体

< p>
粘度，从而改变吸振器的阻尼系数。



2


、频率可调式半主动动力吸振器


< /p>


频率可调式半主动动力吸振器通常是通过调节吸振器刚度来改变自身固有频率的，


其调节方式又有多种，包括机械式调节、电磁式调节和应用新型智能材料调节等。



（


1


）机械式调节方法




10


长安大学硕士学位论文



Franch ek


等人设计了一种吸振器


[39]


，


其调节方式是通过齿轮推动弹簧实现的，


弹性

< br>元件为螺旋弹簧，弹簧通过一个卡圈，通过驱动齿轮往复运动来改变弹簧有效圈数，从

而改变弹簧吸振器刚度。


另一种原理和思路与之相近的机械式调节刚度减振器是


Nagaya


发明的通过电机驱动改变悬臂梁长度来实现刚度调节的 减振器


[40]


。


Walsh


提出了一种通


过改变吸振器弹性元件之间的间距来改变吸振器刚度的调节 方法


[41]


,


其结构方式是吸


振器弹性元件由两个弯曲梁两端连接在一起构成，两个梁中间部位有一定的可调间距，


吸振器的质量由放在梁两端的质量块构成，在吸振器工作时，通过步进电机作用，改变


两个作为弹性元件的弯曲梁中间的距离，从而改变两质量端对中心点的刚度。国内，孙

< p>
建民也基于这种思想设计了一种应用于内燃机减振的吸振器


[42]


，


但只是进行了简单的原


理讨论和初步概念设 计。




（


2


）电磁式调节方法



电磁式调节刚度的 方法，是通过控制励磁电流，来改变电磁式吸振器的刚度值，从


而改变吸振器固有频率。 图


1.4


所示为张洪田等研究的一种通过改变电流而改变电磁弹


簧刚度值的吸振器设计方案


[43]


。




1


轴，< /p>


2


弹簧盖板，


3


弹簧，


4


端盖，


5

壳体（动子部分）


，



6


励磁线圈，


7


铁芯（定子）

，


8


轴承



图


1.4



电磁式半主动吸振器结构图



图中，定 子


7


与动子


5


由弹簧构成可动弹性联结。当励磁线圈


6


通电后，磁力线通


过气隙在定子和动子之间形成闭合磁路。


此时当定子和动子有相对编 移时便会产生轴向


复位力，力的大小与偏移量成正比，力的方向与偏移方向相反。从而在 定、动子之间形


成电磁弹簧。改变励磁电流值，电磁弹簧刚度值便会改变，从而达到调整 吸振器固有频


率的目的。




11


第一章



绪论



（


3< /p>


）应用新型智能材料方法



近年来，新型 智能材料得到了快速发展，这也体现在了振动控制领域，多种新材料


被应用作吸振器弹性 元件，目前研究比较深入的是磁流变材料和形状记忆合金。



①



磁流变材料



磁流变现象在上世纪


40


年代就已经被


Rabinow


J


发现


[44]


，但 由于没有受到足够重


视，


一直发展非常缓慢，

< br>到


20


世纪


80


年代末期，


电流变材料遇到一些不能解决的问题，


磁流 变材料才又引起人们的重视，


并得到较大发展。


磁流变现象是指 在外界磁场作用下，


某些流体的表观粘度会发生改变，从而改变其流变特性，当去掉外界 磁场时流体的表观


粘度又回到原来的状态，其响应时间只有几毫秒


[45]


。磁流变材料一般分为磁流变液


(Magnetor heological


Fluid


，


MR

< br>F)


和磁流变弹性体


(


Magn etorheological


elastomer


，


MR


elastomers)


两种。磁流变液是一种由磁性悬浮粒子


(


粒子的平均直径在


1


—


10


um)


、载液


和添加剂组成的智能材料。磁流变弹性体是磁流变材料的新分支，它由高分子聚合物


(


如橡胶等


)


和铁磁性颗粒组成


,


混合有铁磁性颗粒的聚合物在外加磁场作用下固化


,


利


用磁流变效应


(


即铁磁性颗粒在磁场方向形成链或柱状聚集结构


)


,


使颗粒在基体中形


成有序结构


[46]


，


其弹性模量可由外加磁场来控制 。


龚兴龙等研制了一种以磁流变弹性体


为弹性元件的减振器


[58]


，其两端固定，质量加载于弹性体中间，通过控制弹性体周 围


线圈电流来改变弹性体周围磁场的大小，从而控制弹性体剪切模量，以此达到改变吸振


器刚度的目的。


倪正超等人设计了一种动态调节刚度的磁流变弹 性体吸振器


[47]


，


在这种


吸振器中，


采用了两块电陶瓷挤压磁流变弹性体来动态调节沿着铁颗粒方 向的剪切储能


模量。


这种吸振器可以减小阻尼对减振效果的限制 。


Holdhuse


等人设计了一种拉压式的

< br>磁流变弹性体吸振器


[48]


,


以磁流变弹性材料作为吸振器弹簧单元。



基于磁流变液的减振 器多是改变吸振器阻尼参数，


已归类到阻尼可调式半主动动力


吸 振器范畴。



②


形状记忆合金



形状记忆合金（


Shape Memory Alloy


，


SMA


）也是一种近几十年才发展起来的新 型


智能材料，其在高温情况下定形，冷却到低温施加变形并使之残存，当再次加温到某一


温度后，能恢复到变形前的形状。


Rogers


首次将人工合成的


NiTi


合金应用到复合材料


层中，进行了振动控制实验研究，提出


SMA


产生回复力可增加结构的等效刚度，进而


可以改变吸振器的固有频率

[49]


。


Williams


发明 了一种基于形状记忆合金动力吸振器


[50]


,


弹性元件为镍钛合金构成的悬臂梁，通过给合金材料导电、断电以及改变电流大小来调

< br>


12


长安大学硕士学位论文



节


SMA


材料温度，温度变化引起吸振 器弹性元件刚度变化，从而调节吸振器的固有频


率。


Rusti ghi


以吸振器质量与主系统运动速度的相位差为对象研究了形状记忆合金动力


吸振器的实时控制问题


[51]


,

< p>
Rustighi


针对形状记忆合金构成的吸振器试验了包括


PID


控


制和模糊控制在内的多种控制算法，对吸振 器进行了数值仿真和实验研究，并在


PD


控

制器控制下得出了接近最优减振效果的减振表现，


但是由于形状记忆合金的加热降温 需


要一定时间，还存在一些缺点。韩玉林等设计了一种用于框架结构振动控制得


SMA


装


置，实验表明这种装置可以显著改变吸 振器的固有频率


[52]


。



1.4



本论文的课题来源和论文主要内容



1.4.1



课题来源



本课题

“


基于磁流变液变质量调谐的自适应动力吸振技术研究


”< /p>


是国家自然科学基


金项目（项目编号：


5 1175049


）



1.4.2



主要内容


本文在二自由度系统振动理 论基础上，研究了传统动力吸振器的工作原理，讨论了


动力吸振器的设计理论和参数优化 ，提出一种全新的变质量动力吸振器，建立运动学系


统模型，推导其运动微分方程，重点 讨论了吸振器在不同质量条件下的减振性能。通过


MATLAB/Simulink


仿真和实验对减振效果进行研究。对于应用动力吸振器后引起主系


统 共振的问题，提出了一种基于规则的新型控制策略。



（


1


）根据振动理论，研究了动力吸振器与主系统构成的二自由度系统运 动规律，


通过分析自由振动推导了二自由度系统固有频率、主振型和主振动，通过分析强 迫振动


推导了两个质量的振幅。根据两自由度的振幅，推导动力吸振器工作条件。研究了 定点


设计理论及吸振器参数优化，分析了吸振器参数变化对减振效果的影响。

< p>


（


2


）提出了新型变质 量动力吸振器，研究了变质量动力吸振器工作原理，并根据


其运动微分方程推导了吸振器 的有效工作频率范围。设计了一种实施方案，并详细阐述


了工作方式。为了研究变质量动 力吸振器的减振性能，根据其运动方程，运用


MATLAB/Simulink


工具建立了仿真模型，对变质量动力吸振器在不同质量条件下的减


振性能 进行仿真。



（


3

）为了研究变质量动力吸振器的减振性能，并与仿真结果比较，建立了变质量


动力吸 振器减振实验系统，主系统与减振器均为悬臂梁振动系统。通过测量主系统在不



13


第二章



动力吸振器的基本原理



加动力吸振器 以及吸振器在不同质量下的振动情况来研究吸振器减振效果。



（


4


）针对应用动力吸振器会引起主系统共振这一缺点，提出了 一种基于规则控制


方法的新型控制策略，并通过


Simulin k


仿真和实验研究其对共振峰的实际减振效果。




14


长安大学硕士学位论文



第二章




动力吸振器基本原理



2.1



引言



动力 吸振器问世以来，由于其具有结构简单、性能稳定、减振效果显著等优点，在


不同领域得 到了广泛应用。但是由于传统动力吸振器存在效频带窄，易引起主系统共振


等缺点，严重 制约了吸振器的应用。近些年，许多学者对吸振器的结构、性能及控制理


论进行了创新与 研究，取得了一定成果，但让有许多问题值得深入探讨。动力吸振器的


基本原理及设计理 论是进一步研究的基础。



本章的主要工作将是通过讨论受外界 激励的二自由度系统振动来阐述动力吸振器


基本原理，并根据传统动力吸振器的不足，进 一步研究动力吸振器的设计理论以及参数


优化，并通过对传统动力吸振器仿真分析了参数 变化对吸振器减振效果的影响。



2.2



二自由度系统振动



在工程实际中进行振动控制时，许多问题不能简化为单自由度问题来处理，而是应


简化为两个或两个以上的多自由度系统，


这样，


问题才更符合 实际，


结论也才更加准确。


传统动力吸振器与需要减振的振动系 统构成二自由度系统，


故首先讨论二自由度系统的


振动原理。< /p>




2.2.1



二自由度系统运动微分方程



二自由度系统如图


2.1


所示，振动系统两质 量分别为


m


1


、


m


2


，其对应的阻尼元件


为


c


1


、


c


2


，对应的刚度元件为


k


1


、


k


2


，主系 统的质量为


m


1


，

m


1


受激振力


F

< br>1


sin


?


1

< br>t


作用，


m


2

< br>受激振力


F


2


sin

< p>
?


2


t


作用，理想条件下 ，主系统和吸振器只做垂直方向的直线运动，


在系统静止时


m< /p>


1


、


m


2


的平衡位置为运动原点，向上为正，主系统和吸振器的位移分别


为


x


1


、


x


2


。







15


第二章



动力吸振器的基本原理






F


2


sin


?


2


t


t




m


2



x


2





k


2





c


2





F


1


sin


?


1


t




m


1



x


1






c


1






k


1






图


2.1



二自由度系统结构



则此系统的运动微分方程为



?


1


?


(


c

< p>
1


?


c


2


)


x


?


1

?


c


2


x


?


2


?


k


1< /p>


x


1


?


k


2


(


x


1

< p>
?


x


2


)


?


F


1


s

i


n


x


?


1


t


?


m


1< /p>


?





?









（


2.1


）




?


?


?


?


m


x


?


c


(


x


?


x


)


?


k

< br>(


x


?


x


)


?


F


s


i


n


?


t


2


2


1


2


2


1


2


2


?


2


2


将式（


2.1


）化为矩阵形式



?


1


?


?


c


1


?


c


2


x


?


m


1


0


?


?


?


?

< br>0


m


?


?


?


?


?


?


2


?


?


?


c


2


x


2


?


?


?


?


2.2.2



自由振动



?


1


?


?


k< /p>


1


?


k


2


?


k


2


?

< p>
?


x


1


?


?


F


1


sin


?


1


t


?

?


c


2


?


?


x


?


?


+< /p>


?


?


?


?


?


?



（


2.2


）










?


?


?


c


2


?


?


x


2


?


?


?


k

< br>2


k


2


?


?


x


2


?


?


F


2


sin


?


2


t


?


二自由 度系统根据是否受外界激励可以分为自由振动和强迫振动，


自由振动不受外


界激振力影响，振动情况简单，强迫振动受外加持续激振力作用，振动情况复杂。自由


振动分为有阻尼自由振动和无阻尼自由振动，无阻尼自由振动不受外界激振力影响，做

< br>简谐振动，能够反应振动典型规律，故首先研究无阻尼自由振动，通过对无阻尼自由振

动的讨论来研究二自由度系统的固有频率、主振型及主振动等特性。



1


、无阻尼自由振动



根据公式（


2.1


）


，二自由 度无阻尼自由振动运动微分方程为



?


1


?


(


k


1< /p>


?


k


2


)


x


1


?


k

< p>
2


x


2


?


0


x


?


m

1


?























（


2.3


）



?


?


?


m


x


?


k


(


x


?


x


)


?


0


2


2

< br>1


?


2


2


将式（


2.1


）化为矩阵形式



?


m


1


0


?


?


0


m


?


2


?


?

< br>?


x


1


?


?


k


1


?


k


2


?


k


2


?


?


x


1


?


?


0


?


?


?


+


?

< br>?


?


?


?


?











（


2.4


）



?


?


?


x


k


2


?


?


x


2


?


?


0


?


?


2

< br>?


?


?


k


2



16


长安大学硕士学位论文



引入中间变量 ，


a


?


k


1< /p>


?


k


2


k


k


，


b


?

< p>
2


，


c


?


2


，方程简化为



m


1


m


1


m


2


?


1


?

< br>ax


1


?


bx

< br>2


?


0


x


?


?



?






















（


2.5


）



?


?


x


?


c


(


x


?


x


)


?


0


2


1


?


2

< br>（


1


）系统固有频率



二自由度系统的一、二阶固有频率对研究振动控制有着重要意义，下面将讨论二自


由度系统的固有频率。无阻尼自由振动为简谐振动，故设在振动时，两个质量按相同的

< br>频率


?


和相同相位


?

< p>
做简谐运动，则方程组的特解可设为


[7]



?


x


1


?


A


1


sin(


?


t


?


?


)

< p>




















（


2.6


）



?


?


x


2


?


A


2


sin(< /p>


?


t


?


?


)


把特解分别取一、二阶导数带入式（


2.5


）


，消去公因子整理后，可得振幅


A< /p>


1


、


A


2


的


线性齐次代数方程组为


< br>2


?


?


(


a


?


?


)


A


1


?


bA


2< /p>


?


0


















（


2.7


）



?


2


?


?


?


cA


1


?


(


c


?


?

< p>
)


A


2


?


0


当系统平衡时，


A


1


=


A


2


=0


，对于


A


1


、


A


2


具有非零解的情况，式（

< br>2.7


）的系数行列


式等于


0< /p>


，即



a


?


?


2


?


b


?


0



2


?


c


c


?

< br>?


上式展开可得，



?


4


?


(


a


?


c


)


?

< br>2


?


ac


?

bc


?


0



















（


2.8


）



是关于


?


2


的 一元二次方程，称为频率方程或特征方程，它的两个特征根为



?


2


1


,


2< /p>


a


?


c


?


a


?


c


?

< p>
?


?


?


?


?


(


ac


?

< br>bc


)


2


2

?


?


?


a


?


c


?


a


?< /p>


c


?


?


?


?


?


bc


2


?


2


?


2


2













（


2.9


）



将中间变量


a


?


k


1


?


k


2


k


k


，


b


?


2


，


c


?


2


带入式（


2.9< /p>


）得



m


1


m


1


m


2



17


第二章



动力吸振器的基本原理



?

< p>
1


,


2


?


m


2


(


k

1


?


k


2


)


?


m


1


k< /p>


2


?


2


m


1


m


2


?

< p>
m


2


(


k


1


?


k


2

)


?


m


1


k


2


?


k


2< /p>


2







（


2.10


）



?


?


?


2


m


m


m


m


1


2


1


2


?


?


2


已知刚度

< p>
k


1


、


k


2


为正，质量


m


1

< p>
、


m


2


为正，所以式中< /p>


a


，


b


，


c


都是正数，根号项恒


为正，且


ac


?


bc


，所以


?


1


、


?


2


为方程的两个正实根。


?


1


、


?


2


只与 振动系统本身的


物理性质有关，故称为系统的固有频率，


也称为 主频率。数值较小的


?


1


为第一阶固有 频


率，又称为基频，数值较大的


?


2< /p>


为系统的第二阶固有频率。由此可见，两自由度系统有


二阶固有频 率。


理论证明，


n


自由度系统的频率方 程在无阻尼情况下必定有


n


个正实根，


所以振动系统固有频率阶数与系统自由度数相同。



（


2


）系统主振型和主振动


二自由度系统在一、二阶固有频率处的振动决定着共振特性，固有频率处的振型为


系 统主振型，固有频率处的振动为系统主振动。



将上述解得的固 有频率


?


1


、


?


2


带回方程组


（

2.6


）


可以得到对应于


?


1


和


?


2

< p>
振幅


A


1


和


A


2


之间有确定的振幅比值，比值称为振幅比，用< /p>


?


1


和


?


2


表示，则有



?< /p>


?


?


1


?


?


?


?


?

< p>
?


2


?


?


A


21


a


?

< br>?


2


1


c


?


?


A


22


b


c


?


?


2< /p>


1


A


22


a


?


?


?


A


12


b


2


2

< p>
?


c


c


?


?


2


2
















（


2.11


）



式中，


A


11


、


A


21


分别是对应于


?


1


的质量


m


1


、


m


2

的振幅









A


12


、


A


22


分别是对应于


?


2


的质量


m


1


、


m


2


的振幅



系统稳态振动振幅大小受振动开始时振动物体运动位移、速度和加速度影响，但当


系统按照某一固定频率开始振动后，


振幅比和固有频率一样只和系统本 身的物理性质有


关。另外，从式（


2.6


）可以得出，在任一瞬时，两质量的位移比值为



x


1


A


1


sin(


?


t


?


?

< p>
)


A


1


?


?


?


?


x


2


A


2


sin(


?


t


?


?


)


A


2


与


?


1


和


?


2


一样也是确定值，并等于振幅比。其他各点位移都可以由


x


1


、


x


2


决定。


这样，在振动过程中，系统各点的位移的相 对比值都可由振幅比确定，可以看出，振幅


比确定了振动系统的振动形态，所以，振幅比 称为主振型。主振型和固有频率一样，其



18


长安大学硕士学位论文



值取仅决于系 统本身的物理性质，与初始条件无关。


?


1

为第一阶主振型，


?


2


为第二阶< /p>


主振型。



当系统以某一阶固有频率按其 相应的主振型振动称为系统的主振动。


振动系统按第


一阶固有频 率做自由振动，称为第一阶主振动



?


x


11


?


A


1 1


sin(


?


1


t


?


?


1


)


?


?


x


21< /p>


?


A


21


sin (


?


1


t


?< /p>


?


1


)

























（


2.12


）



?


?


?


1


A


11


sin(


?


1


t


?


?


1


)


?


系统按第二 阶固有频率进行振动。称为第二阶主振动



?

< br>x


12


?


A

12


sin(


?


2


t


?


?


2

)


?


?


x


22


?


A


22


sin(


?


2


t


?


?


2


)
























（


2.13


）



?


?


?


2


A


12


sin(


?


2


t


?


?


2


)


?


2


、有阻尼自由振动




以上讨论了系统无阻尼自由振动的情况，


但现实中没有阻尼的纯自由振动通常是不


存在的，如减振器件中的阻尼元件，裸露在空气中的振动系统与空气的摩擦都使得振动


系统存在阻尼，故以下讨论二自由度系统有阻尼情况下的振动。



根据式（


2.1


）二自由度有阻尼自由振动的 运动微分方程为



?


1


?


(


c


1

?


c


2


)


x


?


1


?


c< /p>


2


x


?


2


?


k


1


x

< p>
1


?


k


2


(


x


1


?

x


2


)


?


0


x


?


m


1< /p>


?











（


2.14


）



?


?


2


?


c


2


(


x


?


2


?


x


?


1


)


?

< br>k


2


(


x


2


?


x


1


)


?


0


x


?


m


2


?


化成矩阵形 式为



?


1


?


?


c


1


?


c


2


?


c


2


?


?


x


?


1


?


?

< br>k


1


?


k


2


?


k


2


?


?


x


1


?


?


0


?


x


?


m


1


0


?


?


?


?

< br>?


?


?


?


?


?


?


x


?


0


m


?


?


?


?


?


x


?


?


?


0


?





（


2.15


）



?


?


x


?


c


c


?


k


2


k


2


?


?


?


2


?

< br>?


?


2


?


?


2


?


?


2


2


?


?


2


?


?


设式（


2.1 4


）的解为



?


t


?


?


x


1


?


A


1


e



?


?


t


?


?


x


2


?


A


2


e

< br>带入式（


2.14


）


，由方程组 具有非零解的条件展开得到特征方程的形式为



A


?


4


?


B

< br>?


3


?


c


?


2


?


D


?


?


E


?


0



可得四个特征根


?


1


、


?


2


、


?


3


、


?


4


，如果这些根是实数，运动将是非振荡性的。由于系


统阻尼力总是要消耗能量的，因此，运动将衰减，即特征根必定为负实数，这时的系统


为过阻尼情形。如果特征根为复数，则一定是成对的共轭复根，设为




19


第二章



动力吸振器的基本原理



?

< p>
1


?


?


?


1


?


j


?

1


；


?


2


?


?


?


1


?< /p>


j


?


1


；


?


3


?


?

< p>
?


2


?


j


?


2


；


?

4


?


?


?


2


?


j


?


2< /p>



带入方程，最终可求得方程组解得形式为


?


?


t


?


?


t


?


?


x< /p>


1


(


t


)


?


B


1


e

< p>
1


cos(


?


1


t


?


?


1


)


?


B


2

< br>e


2


cos(


?


2


t


?


?

2


)







（


2.16


）



?


?


?


1


t


?


?


2


t


?


?


x


2


(


t


)

< br>?


?


1


B


1


e


cos(


?

1


t


?


?


1


?


?


1


)< /p>


?


?


2


B


2


e


cos(


?


2


t


?


?


2


?


?


2


)


从以上结果可以看出，


弱阻尼二自由度系统的一般 运动，


是由两个频率为


?


1

< p>
、


?


2


的


衰减自由振动叠加而成，与无阻尼的不同之处在于同一频率的衰减自由振动中，各质量

< br>的运动之间相位不同。



2.2.3



强迫振动



强迫振动是指振动系统受外界持续激振力作用的振动情形。


现实中的振动多为强迫


振动，如汽车在不平路面上行驶车身受到悬架传来的激励，发动机振动引起其他零部件


的激励都是强迫振动，所以对强迫振动的研究更符合现实情况，对解决问题更有实际意

< p>
义。



根据公式（


2.1


）


，二自由度无阻尼系统受相同频率激振力做强迫振动时，运动 微分


方程为



?


1


?


(


c


1


?


c


2


)


x


?


1


?


c


2


x


?


2


?


k


1

< br>x


1


?


k


2


(


x


1


?


x


2


)


?


F


1


sin


?


t


x


?


m


1


?









（


2.17


）



?


?


?


?


?


m


x


?


c


(


x


?


x


)


?


k

< br>(


x


?


x


)


?


F


sin


?


t


2


2


1


2


2


1


2


?


2


2


引入中间变 量，


a


?


k


1


?


k


2


k


k


F


F


，


b


?


2


，


c


?


2


，

< br>q


1


?


1


，


q


2


?


2


，则上式简化为



m

< br>1


m


2


m


1


m


1


m


2


?


1


?


ax< /p>


1


?


bx


2


?


q


1


sin


?


t


x


?


?




















（


2.18


）



?


?


?


x


?


c


(


x


?


x


)


?


q


sin


?


t


2


1


2


?

< br>2


上述二阶线性常系数非齐次微分方程组，通解由两部分组成，一是对应于齐次方 程


组的解，即初始条件引起的自由振动，当系统存在阻尼时将被衰减掉；二是对于上述非


齐次方程组的一个特解，是激振力引起的强迫振动，即系统的稳态振动。



当系统处于稳态时，设式（


2.18


）的特解为



?


x

< p>
1


?


B


1


sin


?


t




























（


2.19


）



?


?


x


2


?


B


2


sin


?


t


对特解分别求一、二阶导数，带入式（


2.18


）可得


2


?


?


(


a


?


?


)


B< /p>


1


?


bB


2


?


q


1



?


2


?


?


?


cB


1


?


(


c


?


?

)


B


2


?


q


2



20


长安大学硕士学位论文



上述方程组的解为



?


(


c


?


?

2


)


q


1


?


bq


2


?


B


1


?


4


?


?


(


a


?


c


)


?


2


?


ac


?


bc


?

















（


2.20


）



?


2


cq


1< /p>


?


(


a


?


?


)


q


2

< p>
?


B


?


2


?


?


4


?

(


a


?


c


)


?


2


?


ac


?


bc


?


根据 系统固有频率公式


（


2.8


）


可得，


受外界激励的二自由度无阻尼系统固有频率


?


n


1


、


?


n


2


符合下式，



?


4


n


?


(


a


?


c


)


?


2


n


?


ac


?


bc


?


0



可以推出，



2


2


?


?


?


n


1


?


?


n


2


?


a


?


c





















（


2.21


）



?


2


2


?


?


?


n


1


?


n


2


?


ac


?


bc


将式（


2.21


）带入式（


2.20

< br>）可得



?


(

< br>c


?


?


2


)


q


1


?


b q


2


?


B


1< /p>


?


4


?


?


(


?


2


n

< p>
1


?


?


2


n


2


)


?

2


?


?


2


n


1


?


2


n< /p>


2


?



即



?


2


cq


1


?


(


a


?


?


)

< p>
q


2


?


B


?


2


?


?

4


?


(


?


2


n


1


?


?< /p>


2


n


2


)


?


2


?


?

< p>
2


n


1


?


2


n


2


?

?


(


c


?


?


2


)


q


1< /p>


?


bq


2


?


B


1


?


2


(


?


?


?


2


n


1


)(


?


2


?


?

2


n


2


)


?


（


2.22


）



?


2


cq


1


?


(


a


?< /p>


?


)


q


2


?


B


?


2

< p>
?


(


?


2


?


?


2


n

1


)(


?


2


?


?


2


n


2


)


?


由公式


（


2.22


）


可以推出，


当激振力频率


?


等于系统第一阶固有频率


?


n


1


或第二阶固有频


率


?


n


2


时，公式分母为零，系统振幅将无限增大，此时振动系统出现共振现象。以


B


1


、


B


2


为纵坐标，以


?


为横坐标作图，如图< /p>


2.2


所示。



振


幅


ω1


ω2


角


频


率


（


ra d/s


）



B1


，







B2




21


第二章



动力吸振器的基本原理



图


2.2



二自由度系统幅频特性曲线



由图中可 以看出，当外界激振频率和系统任何一阶固有频率接近时，系统都会发生


共振，二自由度 系统的强迫振动有两个共振频率。



2.3



动力吸振器基本原理



动力吸振器是一 种通过弹性元件把辅助质量连接到主系统（被减振结构）上的减振


装置，其实质是一个子 振动系统，吸振器安装到主振系统后，两者构成如图


2.3


所示 的


二自由度系统，为方便讨论，选取无阻尼情形对动力吸振器进行研究。









图


2.3



动力吸振器工作原理



m


2



x


2





k


2





F


0


sin


?


t




m


1



x


1





k


1





图中，主系统的质量为

< p>
m


1


，刚度为


k


1


，动力吸振器的质量为


m

2


，其弹性元件刚度


为


k


2


，动力吸振器附加在主系统上组成一个二自由度系统，主系统在一简谐 外力


F


0


sin


?


t


作用下做强迫振动。理想条件下，主系统和吸振器只做垂 直方向的直线运动，


在系统静止时


m


1


、


m


2


的平衡 位置为运动原点，主系统和吸振器的位移分别为


x


1

< p>
、


x


2


，


则此系统的运动微分方程为



?


1


?


k


1


x


1


?


k


2


(


x


1


?


x


2


)


?


F


0


sin


?


t


x


?


m

< br>1


?























（


2.23


）



?


?


?


m


x


?


k


(


x


?


x


)


?


0


2


2

< br>1


?


2


2


将式（


2.23


）化为矩阵形式


< /p>


?


m


1


0


?


?


0


m

< p>
?


2


?


?


?


x


1


?

?


k


1


?


k


2


?


k


2< /p>


?


?


x


1


?


?


F


0

< p>
sin


?


t


?

< p>
?


?


+


?


?


?


?


?

?











（


2.24


）



?


?


?


x


k


2


?


?


x


2


?


?


0


?


?


2

< br>?


?


?


k


2



22


长安大学硕士学位论文



求解时，令< /p>


x


1


?


A


1


sin


?


t


，


x


2


?

< p>
A


2


sin


?

< p>
t


，


带入式（


2.24< /p>


）可得



?


A< /p>


1


?


?


k


1


?


k


2

< p>
?


m


1


?


2


?


?


?

?


?


k


2


?


A


2


?


?< /p>


?


1


(


k


1


?


k


2

< p>
?


m


1


?


2


)(


k


2

< br>?


m


2


?


2


)


?


k


2


2


?


?


F


0


?


?


?


?


k


2


?


m


2


?


2

< br>?


?


0


?


?


k


2


?


m


2


?


?


?


k


2


2


?


k


2


?


1


?


?


F


0

< br>?


?


?


?


k


1


?


k


2


?


m


1


?


2


?


?


0


?


k


2



可求得主振动系统与动力吸振器的振幅


A


1


、


A


2


分别为



A


1


?


(


k


2


?

< br>m


2


?


2


)


F


0


(


k


1


?


k


2


?


m


1


?


)(


k


2


?

< p>
m


2


)


?


k


2


k


2

F


0


2


2


2















（


2.25


）



A


2


?


(


k


1


?


k


2


?


m


1


?


2


)(


k


2


?


m


2

)


?


k


2
















（


2.26


）



由于振幅大小表征振动烈度，若要对主振动系统进行减振，则应将其振幅降低。由式


（


2.25


）可知，当

k


2


?


m


2


?


2


?


0< /p>


即


?


?


k


2


时，即当外界激振频率等于吸振器固有频率


m


2


时，主系统振幅为


A


1


?


0


，吸振器振幅大小为


A


2


?


F


0


，


由此可见外界激振力作用于主


k


2


振系的振动能量全部转移到了吸振器上，此 时，吸振器振动为



x


2


(


t


)


?

< br>A


2


sin


?

< br>t


?


k


2


F


0


sin


?


t


?


k


2


2


?


?


F


0


sin


?


t













（


2.27


）



k


2


吸振器通过弹簧

< br>k


2


作用在主系统上的力为


k< /p>


2


x


2


(


t


)


?


?

< p>
F


0


sin


?

< p>
t


，与外界对主振系的作用


力

F


0


sin


?

t


大小相等，方向相反，主系统所受合力为零，主系统发生反共振现象



[7]


。反


共振是指弹性 系统在某些特定频率的激励作用下


,


系统某些部位出现振动等于 零的情形


[54]


。为了讨论主系统振幅比与频率比的关系，引 入以下中间变量，



主系统固有频率


?


n


1


?


k


1


，




吸振器固有频率


?


n


2


?


m


1


k


2


，



m


2


固有频率比


?


?


?


n


2


m


，











质量比



?


?


2


，



?


n


1


m


1


F


?


，







外界激振力引起的静变形


X


st


?


0

< p>
，



?


n


1


k


1


强迫振动频率比


?


?



23


第二章



动力吸振器的基本原理



吸振器阻尼比


?


?


c


2


2


m


2


k


2


?


c


2


，



2


m

< br>2


?


n


2


引入动力放大系数


R


1


(

< p>
?


)


、


R


2


(


?


)

，则公式（


2.25


）


（


2.26


）可表示为



F


0


F


0


?< /p>


2


?


?


2

















（


2.28


）



A


1


?


R


1


(


?


)


?


4


2


2


2


k


1


?

< br>?


?


1


?


?


(


1


?


?


)


?


?


k


1


?


?


F


0


F


0


?


2

















（


2.29


）



A


2


?


R


2


(


?


)


?


4


k


1


?


?


?


2

< br>1


?


?


2


(


1


?


?


)


?


?


2


k


1


?


?


取质量比< /p>


?


?


0


.


2


，固有频率比


?


?


0


.


8


，根据 式（


2.6


）绘制


R

< br>1


(


?


)


特性曲线如图


2.4


所示。



动


力


放


大

< p>
系


数


(


A


1


/


X


s

t


)


频


率


比



图


2.4



动力放大系数


R

1


(


?


)


与频率比


?


关系曲线



由图中动力放大系数特性曲线可知，


传统的被动式动力吸振器只能在很窄的频率 范


围内取得良好的减振效果，一旦激振频率变化，主系统振幅将急剧增大，它仅适用于频


率变化很小的振动情况，这个缺点使得无阻尼动力吸振器应用受到限制。




2.4



动力吸振器设计理论及参数优化



2.4.1



动力吸振器设计定点理论



动力吸振器 的设计是随着其理论研究一同发展的，


其设计思想经过几代人的共同努

< br>力最终得以完善。


最早在


1928


年，


Ormondroyd


和


Den Hartog


提出了利用动力吸振器的


阻尼作用来降低主振动系 统振幅的设计思路


,


并同时指出了最优阻尼一定存在

< p>
[11]


。在此


基础上，


Hahnkamm


在


1933


年利用振 幅曲线上存在两个不受阻尼大小影响的定点现象，



24


长安大学硕士学位论文



推导出了动力 吸振器的最优同调频率


[12]


，


Br ock


最终在


1946


年推导出了最优 阻尼的关


系


[55]


。这就是动力吸振 器设计的经典理论


——


定点理论


[56 ]


。



动力吸振器设计要充分考虑质量 、刚度和阻尼三个元素，图


2.5


为有阻尼动力吸振

< p>
器系统动力学模型，吸振器的质量、刚度、阻尼和位移响应分别为


m


2


、


k


2

< p>
、


c


2


、


x


2


，


主系统受简谐外力


F


0


sin


?


t


作用。此系统运动微分方程为



?


?


m


1


x


?


?


1

< br>?


c


(


x


?


1


?


x


?


2


)


?


k


1


x


1


?


k


2


(


x


1


?


x


2

< br>)


?


F


0


sin


?


t








?


m


2


?


x


?


2


?


c


(


x


?


2


?


x

< br>?


1


)


?


k


2


(


x


1


?


x









2


)


?


0



m


2



x


2






c


2





k


2





F


0


sin


?


t


m


1



x


1







k


1






图


2.5



有阻尼吸振器系统动力学模型



将式


2.30


化为矩阵形式



?


?


?

m


1


0


?


?


x


?


1


?< /p>


?


c


?


c


?


?


x


?

< p>
1


?


?


k


1


?


k


?

0


m


?


?


2


?


?


?


x< /p>


?


?


+


2


?


?


?


?

< p>
c


c


?


?


?


2


?


k

2


?


?


x


1


?


?


F


0< /p>


sin


?


t


?< /p>


?


x


?


?


+


?


?


?

< p>
?


?


?


?




2


?

?


k


2


?


k


2


?


?


x< /p>


2


?


?


0


?


由于外力


F


是简谐 力，令


F


(


t


)


?


F


0


e< /p>


j


?


t


，则响应


x


1


、


x


2


可表示为



x< /p>


j


?


t


1


?


A


1


e

< p>
，


x


2


?


A


2


e


j

?


t



带入式（

< br>2.31


）


，可推出



A


?


m


2


?


2


?


j

< br>?


c


?


k


2


1


?


(


?


m


?


2


?


j


?


c


?


k


2


2


F


0




< br>1


1


?


k


2


)(


?


m


2


?


?


j


?< /p>


c


?


k


2


)


?


(


j

< p>
?


c


?


k


)


A


j


?

c


?


k


2


2


?


(


?


m< /p>


2


2


2


F


0






1


?


?


j


?


c


?


k


1


?


k


2


)(


?


m


2


?


?


j

?


c


?


k


2


)


?


(


j< /p>


?


c


?


k


)


应用


a


?


jb


a


2


?

< p>
b


2


c


?


jd


?


c


2

< br>?


d


2


的关系，推出主振系


A


1


和吸振器振幅


A


2


分别为




25


2.30


）




2.31


）



2.32


）



2.33


）



（


（


（


（


第二 章



动力吸振器的基本原理



(


k


2


?


m


2


?


2

< br>)


2


?


(


?


c


)


2


|


A


1


|


?


F


（


2.34


）< /p>



2


2


2


2


2


2


2

< p>
0


[(


k


1


?


m


1


?

< br>)(


k


2


?

m


2


?


?


m


2


k


2


?< /p>


)]


?


[


k


1


?


(


m


1


?


m


2


)


?


]


(

< br>?


c


)


k


2


?


(


?


c


)


2


|


A


2


|


?


F


0


（


2.35


）



[(


k


1


?


m


1


?


2


)(


k


2


?


m


2


?

2


?


m


2


k


2


?


2


)]


2


?


[


k


1


?


(


m


1


?


m


2


)


?


2


]

< br>2


(


?


c


)


2


2


式（


2.34


）各项同除以


(


m

< p>
1


m


2


)


2


，整理可得吸振器作用下主振系的振幅倍率为



|


A


1


|


(


?


2


?


?


2


)


2

< br>?


(


2


???

< br>)


2


?








（


2.36


）



X


st


[(


1


?


?


2


)(< /p>


?


2


?


?


2


)


?


??


2


?


2


]


2


?


[


1

< br>?


(


1


?


?


)


?


2


]


2


(


2


???


)


2


上式在给定质量比


?


和固有频率比


?


的情况下，


可以计算出振幅，


比如，


质量比


?


?


0


.

< p>
2


、


固有频率比


?


?


0


.


8

< p>
，取不同阻尼比情况下振幅比曲线如图


2.6


所示 。



10


8


振


幅


比



(


A


1


/


X


s


t


)


6


4


P


2


0

< br>Q


0


0.5


1

< br>频


率


比


1.5

< br>2



—


?


?


0


，






?


?


0


.


1


，





?


?


0


.


5

< br>，




·



?


?


10



图


2.6



几种不同频率比情况下振幅倍率曲线



从图中可以看出，当阻尼无限大（图中取


10


示意）时，相当于 动力吸振器被固定


在主振系上，二自由度振动系统变成一个无阻尼单自由度系统，振幅无 限大；当阻尼为


0


时，动力吸振器把原系统的共振频率分解为两 个新的共振频率，振幅仍为无限大。所


以，在


0


到无限大之间，肯定存在一个最优阻尼。由图易知，所有不同阻尼比的振幅倍


率 曲线都经过两个固定的点


P


、


Q


点，并不受阻尼比变化的影响，称为定点现象。


由于所有振幅倍率曲线都过


P


、


Q


两定点，所以设想，要吸振器将主振系振幅降到


最小，应当使< /p>


P


、


Q


点等高且 为曲线上最高点，则主振系振动幅值达到但不超过


P


、


Q


点值。




26


长安大学硕士学位论文



2.4.2



最优同调频率



将式（


2.36


）中根号下的分子用


p


表示，分母用


q


表示，并作以下变形



p


?


A


?


B


?


2


，


q


?


C


?


D


?


2


< br>则有，


A


?


(

< br>?


2


?


?


2


)


2


，


B


?


(


2


??< /p>


)


2


，












C


?


[(< /p>


1


?


?


2


)(


?


2


?


?


2


)


?


??


2


?


2


]


2


，


D

?


[


1


?


(


1


?


?


)< /p>


?


2


]


2


(


2


??


)


2



式（


2.36


）可化为



|


A< /p>


1


|


?


X


st


p


?


q


A


?


B


?


2


?


2


C

< br>?


D


?


B


A


/


B


?


?


2



D


C


/


D


?


?


2


可以看出，当


A


/< /p>


B


?


C


/


D


也即


A


/C


?


B


/


D

< p>
的情况下，



|


A


1


|


?


X

< p>
st


B


1


?



D


1


?

< br>(


1


?


?


)


?


2


振幅与阻尼无关。此外当


?


?


0


和


?


?


?


的极端情况下振 幅分别为



A


1


X


st


?


?


0


?


2


?


?< /p>


2


A


?


?



C


(


1

< p>
?


?


2


)(


?


2


?


?

< br>2


)


?


??

2


?


2


?


?


?


?


A


1< /p>


X


st


1


?


2


1


?


(


1


?


?


)


?


B



D

< br>由


A


/C


?

B


/


D


条件可推出，振幅倍率曲线


?


?


0


和


?


?


?


有交点，从 图


2.7


可知就是


P

< br>、


Q


点。由于


A


B


=


，两定点的位置由下式决定，即

< br>


C


D


?


1


?


2


?


?


2














（


2.37


）



?


2


2


2


2


2


2


1


?


(


1


?


?


)


?


(

< br>1


?


?


)(

?


?


?


)


?


??


?


为达到最优同调，

< p>
P


、


Q


两点响应相等，得 出



?


opt


?


?


n


2


1< /p>
























（


2.38


）



|


opt


?


?


n


1


1


?


?


即吸振器与主振系符合以上最优频率比时，


P


、


Q


点振幅相等，两点等高。将式 （


2.38


）


带入式（


2.37


）可求得


P


、


Q


点的横坐标为



?


2


P


,


Q


1


?


?


1


?


?


1


?


?


?


?


27


?


?




















（


2.39


）



2


?


?


?


?


?



第二章



动力吸振器的基本原理



将式（


2.38


）和（


2.39

）带入式（


2.36


）得到定点振幅倍率为



A


1


X

st


?


1


?


P


,


Q


2


?





















（


2.40


）



从式（


2.40


）可知，单纯从理论设 计的角度来看，吸振器质量越大，质量比


?


越大，定

< p>
点振幅倍率越小，振动控制效果越好。但实际设计时，往往要考虑重量，体积等因素不


可能任由质量增大。



2.4.3



最优阻尼比



P


、


Q


点只等高并不能达到主振系最 小的条件，还需要


P


、


Q


点为振幅倍率曲线上


最高点，主振系振幅才最小，而振幅大小由阻尼比决定。



P


、


Q


点处于振幅曲线上的最高点，这意味着这两点曲线斜率为


0


，即



?


?

< p>
?


2


?


A


1


?


?


?

?


0


或者可以写成以下形式



X


?


st


?


p


'


q


?

< p>
pq


'


?


0


























（


2.41


）



p


、


q


分别表 示式（


2.36


）中根号下的分子、分母。


2


最优同调条件下，有


p


1


带入式（


2.41


）可得



?


2


2


q


[


1


?< /p>


(


1


?


?


)


?


]


[

< p>
1


?


(


1


?


?


)


?

2


]


2


p


'


?


q


'


?< /p>


0






















（


2.42


）



综合式（


2.38


）

< br>、式（


2.39


）


，并将


p


?


A


?

< p>
B


?


2


，


q


?


C


?

D


?


2


带入式（

< br>2.42


）整


理，可得



?


2


P


,

< p>
Q


?


?


?


3


?


8


(

1


?


?


)


?


?


?


?


?< /p>















（


2.43


）



2


?


?


?


?


?


由式（


2.4 3


）可知，


P


、


Q


两点为极大值的阻尼值并不相等，严格意义上来说，并不


存 在一个最优阻尼使得


P


、


Q

< p>
点同时为最高点。但两个差异很小，现实使用时无论


取那个值，都影响很小 ，所以通常做法是取二者平均值作为最优阻尼，即



?


opt


?


3


?
























（


2.44


）



8


(


1


?


?


)


综上所述，在动力吸振器设计过程中， 在给定质量比


?


的情况下，其最优同调频率比为



28


长安大学硕士学位论文



?

< p>
opt


?


1


3

< p>
?


，吸振器最优阻尼比为


?


opt


?


。



1


?


?


8


(


1


?


?


)


根据固有频率比及阻尼比的定义推出吸振器参数为，



?


?


k


2

< br>m


2


?


n


2


1


?


?


?



?



k


2


?


k














（


2.45


）



2


1


?


n


1


(


1


?


?


)


k


1


m


1


1


?

< br>?


c


2


?


3


?


?



?



c


2


?


8


(


1


?


?


)


1


?


?


?


?

< br>2


m


2


k


2


3


?


k


1


m


1












（


2.46


）



2


(


1


?


?


)


2.5



传统动力吸振器减振性能仿真研究



传 统动力吸振器结构简单，


许多研究传统动力吸振器对其他类型吸振器有参考价值


和借鉴意义，本节将在


MATLAB


环境下仿真 计算传统动力吸振器的减振效果，并研究


吸振器参数对减振性能的影响。



2.5.1



MATLAB/Simulink


简介



MATLAB


软件是


Math Wor ks


软件公司


1984


年开发的一款数 值计算软件系统，


分为


总包和若干个工具箱，其中软件包由



MATLAB


开发环境、


MATLAB


数学函数库、


MATLAB


语言、


MATLAB


图形处理系统和


MATLAB


应用接口程序五部分组成，将数


值计算、


控制、


可视化图及图像处理和编程等功能集于一个使用的环境。


具有简单易学，


代码简洁高效，计算及图形处理功能强大，可扩 展等特点。



Simulink


是


MATLAB


提供的一种控制系统模型化图形输入与仿真工具，是一 个实


现动态系统建模和仿真的软件包。



所谓模型化图形输入是指


Simulink


提供了一些按功能 分类的基本的系统模块，


用户


只需要知道这些模块的输入输出及 模块的功能，而不必考察模块内部是如何实现的，通


过对这些基本模块的调用，


再将它们连接起来就可以构成所需要的系统模型


（以

.mdl


文


件进行存取）


，进而进 行仿真与分析。



Simulink


仿 真环境主要特点为可视化、开放性，使用者可以建立图形模式的系统模


型，与传统的仿真 软件包用微分方程或差分方程建模相比，具有直观、方便、灵活的特


点。


Simulink


还提供了封装和模块化工具，可以通过该功能定义新的模块， 实现对仿真


模块库的扩展，尤其适用于复杂、多层次、高非线性的系统仿真。它简化了设 计过程，


减轻了设计负担，提高了仿真集成化和可视化程度。




29


第二章



动力吸振器的基本原理



Simuli nk


工具与


MATLAB


语言的主要区 别在于，


其与用户交互接口是基于


Windows


的模型化图形输入，其结果是使得用户可以把更多的精力投入到系统模型的构建，而非


语言的编程上。



2.5.2



Simulink


的仿真算法



在


Simulink


的仿真过程中，选择合适 的算法非常重要。仿真算法是求常微分方程、


传递函数、状态方程解的数值计算方法，在


Simulink


中用到的方法主要有欧拉法

< br>(


Euler)


、阿达姆斯法


(Adams)


、龙格


—


库塔法


(Rung-Kutta)


，在众多算法中，多数是


在龙格


—


库塔法


(Rung-Kutta)


基础上改 进优化而来的计算方法，所有算法都建立在泰勒


级数的基础上。



（


1


）欧拉法



需要求解的常微分方程初值问题表述为



dy


?


f


(


x


,


y


)


，< /p>


y


(


x


0


)


?


y


0

< p>
























（


3.6


）



dx


应用数值解法求微分方程的问题时，


转化为求


y


?


y

(


x


)


在一系列离散点

< p>
x


0


、


x


1


、


x


2

…


处值


y


(


x


n


)


的近似值

y


n


（


n


=0,1,2,…


）


,


离散点之间间距 通常取等步长


h



，

< br>即


x


n


?


x


0


?


nh


。



欧拉法是一种最简单的解微分方程的数值方法，

< p>
其基本思想是在小区间


?


x


n


，


x


n


?


1


?


上


用差商


y


(


x


n


?


1


)


?


y


(


x


n


)


dy


?


f


(


x


,


y

)


在区间上的导数


y


?

< p>
。


代替方程


根据方程右端的已知函


dx


h


数


f

< br>(


x


，


y


)


中的


x


在小区间

< br>?


x


n


，


x


n


?


1


?


上的取值不同，分为向前欧拉法，向后欧拉法，改


进的欧拉法， 三种方法分别的具体表述为



向前欧拉公式



如果

< br>f


(


x


，


y


)


中的


x


取小区间


?


x


n


，


x


n


?


1


?


的左端点值


x


n


，


用向前差商


替

< br>y


?


(


x


n


)


带入方程（


3.6


）中的导数，则式（


3.6


）化为

< br>


y


(


x


n


?


1


)


?


y


(


x


n


)


?


f


[


x


n


,


y


(


x


n


)]


，即



y


(

< br>x


n


?


1


)


?


y


(


x


n


)


?


hf< /p>


[


x


n


,


y


(


x


n

< p>
)]



h


y


(


x


n


?

< br>1


)


?


y


(


x


n


)


代


h


如果用


y


(


x


n


)


的近似 值


y


n


代入上式的右端，所得结果


y


n


?


1


作为


y


(


x

< p>
n


?


1


)


的近似值，则


有




30

-


-


-


-


-


-


-


-



本文更新与2021-02-13 16:00，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/651159.html

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