-
2019
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共
< br>5
页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事
项：
1
．答题前，考生先将自己的姓
名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区。
2
．选择题必须使用
2B<
/p>
铅笔填涂；非选择题必须使用
0.5
毫米
黑色字迹的签字笔书写，字体
工整、笔迹清楚。
3
．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的
答案无效；在
草稿纸、试卷上答题无效。
4
．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5
．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不
准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分
．
在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
．<
/p>
1
．设集合
A
={
x
|
x<
/p>
2
-5
x
+6>
0}
，
B
={
x
|
x
-1<0}
< br>，则
A
∩
B
=
A
．
(-
∞，
1)
C
．
< br>(-3
，
-1)
2
．设
z
=-3+2i
，则
在复平面内
z
对应的点位于
A
．第一象限
C
．第三象限
B
．第二象限
D
．第四象限
B
．
(-2
，
1)
D
．
(3
，
+<
/p>
∞
)
u
u
u
r
uuu
r
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
< br>r
3
．已知
AB
=(2,3)
，
AC
=(3<
/p>
，
t
)
，
BC
=1
，则
AB<
/p>
?
BC
=
A
．
-3
C
．
2
B
．
-2
D
．
3
4
．
2019
年
1
月<
/p>
3
日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，<
/p>
我国航天事
业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的
一个关键技术问题是地面与探测
器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星
“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日
L
2
点的轨道运行．
L
2
点是平衡点，
位于地月连线的延长线上．
设地球质量
为
M
１
，月球质量为
< br>M
２
，地月距离为
R
，
L
2
点到月球的距离为
r
，根据牛顿运动定律和万有
引力定律
，
r
满足方程：
M
1
M
2
M
1
?
?
(<
/p>
R
?
r
)
.
(
R
?
r
)
2
r
2
R
3
3
< br>?
3
?
3
?
4
?
?
5
r
?
3
?
3
，则
r
的近似值
设
?
?
，由于
?
的值很小，因此在近似计算中
2
(1
?
?
)
R
为
A
．
M
2
R
M
1
3
M
2
R
M
1
B
．
M<
/p>
2
R
2
M
1
M
2
R
3
M
1
C
．
3
D
．
3
5
．演讲比赛共有
9
位评委分别给出某选手的原始
评分，评定该选手的成绩时，从
9
个原始
评分中去掉
1
个最高分、
1
个最低分，得到
7
个有效评分
< br>.7
个有效评分与
9
个原始评分
相比，不变的数字特征是
A
．中位数
C
．方差
6
．若
a<
/p>
>
b
，则
A
．
ln(
a
?
b
)>0
C
．
a
3
?
b
3
>0
7
．设<
/p>
α
，
β
为两个平
面，则
α
∥
β
的充要条件是
A
．
< br>α
内有无数条直线与
β
平行
C
．
α
，
β
平行于同一条直线
8
．若抛物线
y
2
=
2
px
(
p
>
0)
的焦点是椭圆
A
．
2
C
．
4
9
．下列函数中，以
B
．
α
内有两条相交直线与
β
平行
D
．
α
，
β
垂直于同一平面
B
．
3
a
<3
b<
/p>
D
．
│
a
│>│
b
│
B
．平均数
D
．极差
x
2
3
p
?
y
2
p
?
1
的一个焦点，则
p
=
B
．
3
D
．
8
?<
/p>
2
为周期且在区间
(
?
4
，
?
2
)
单调递增的是
< br>B
．
f
(
x
)=│
sin
2
x
│
D
．
f
(
x
)=
sin
│
x
│
A
．
f
(
x
)=│cos
2
x
│
C
．
f
(
x
)=cos│
x
│
10
．已知
α
∈
(0
，
?
2
)
，
2si
n 2
α
=cos 2
α
+1
，则
sin
α
=
A
．<
/p>
1
5
B
．
5
5
C
．
3
3
D
．
2
5
5
x
2
y
2
11
．设
F
为双曲线
C
：
2
?
2
?
1(
a
?
0,
b
?
0)
的右焦点，
O
为坐标原点，以
OF
为直径的
a
b
2
2
2
圆与圆
x
?
y
?
a
交
于
P
，
Q
两点
.
若
PQ
?<
/p>
OF
，则
C
的离
心率为
A
．
2
C
．
2
B
．
3
D
．
5
12
．
设函
数
f
(
x
)<
/p>
的定义域为
R
，
满足
f
(
x
?
1)
?
2
f
(
x
)
，
且当
x
?
(0,1
]
时，
f
(
x
)
?
x
(
x
?
1)
.
若对任意
x
?
(
??
,
m
]
，都有
f
(
x
)
?
?
8
，则
m
的取值范围是
<
/p>
9
7
?
?
??
,
B
．
?
?
3
?
?
D
< br>．
?
??
,
?
3
9
?
?
??
,
A
．
?
?
4
?
?
C
．
?
??
,
?
2
?
?
5
?
?
?
?
8
?
?
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
．
13
．我国高铁发展迅速，技术先进
.
经统计，在经停
某站的高铁列车中，有
10
个车次的正点
率为
0.97
，有
20
个车次的正点率为
0.98
，有
10
个车次的正点率为
0.99
，
则经停该站
高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
____
______.
14
．已知
f
(
x
)
是奇函数，且
当
x
?
0
时，
f
(
x
)
?
?
e
ax
.
若
f
(ln
2)
?
8
，则
a
?
__________.
15
．
△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
.
若
b
?
6,
a
?
2
c
,
B
?
为
__________.
16
．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一
.
印信的
形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是
“
半正多面体
”
（图
1
）
.
半正多面体
是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体
.
半正多面体体现了数学的对称美
.
图
< br>2
是
一个棱数为
48
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体
的棱
长为
1.
则该半正多面体共有
____
____
个面，
其棱长为
______
___.
（本题第一空
2
分，
第二空
3
分
.
）
π
，
则
△
ABC
的面积
3
三、
解答题：
共
70
分。
解答应
写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
第
17
～
21
题为必考题，
每个试题考生都必须作答
．
第
22
、
23
为选考题，考生根据要
求作答
．
（一）必考题：共
60
分。
17
．（
12
分）
如图，长方体
ABCD
< br>–
A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
是正方形，点
E
在棱
AA
1
上，
BE
⊥
EC
1
.
（
1
）证明：
BE
⊥平面
EB
1
C
1<
/p>
；
（
2
）若
AE
=
A
1
E
，求二面角
B<
/p>
–
EC
–
C
1
的正弦值
.
1
8
．（
12
分）
11
分制乒乓球比赛，每赢一球得
1
分，当某局打成
10:10
平后，每
球交换发球权，先
多得
2
分的一方获胜
，该局比赛结束
.
甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时
甲
得分的概率为
0.5
，
乙发球时甲得分的概率为
0.4
，
< br>各球的结果相互独立
.
在某局双方
10:10
平后，甲先发球，两人又打了
X
< br>个球该局比赛结束
.
（
1
）求
P
（
X
=2
）；
（
2
）求事件
“
X
=4
且甲获胜
”
的
概率
.
19
．（
12
分）
已知数列
{
a
n
}
< br>和
{
b
n
}
满足
a
1
=1
，
b
1
=
0
，
4
a
n<
/p>
?
1
?
3
a
n
?
b
n
?
4
，
4
b
n
?
1
?
3
b
n
?
a
n<
/p>
?
4
.
（
1
）证明：
{
a<
/p>
n
+
b
n
}
是等比数列，
{
a
n
–
b
n
}
是等差数列；
（
2
）求
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式
.
20
．（
12
分）
已知函数
< br>f
?
x
?
?
ln
x
?
x
?
1
x
?<
/p>
1
.
（
1
）讨论
f
(
x
)
的单调性，并证明
f
(
x
)
有且仅有两个零点；
（
2
）
设
x
0
是
f
(
x
)
的一个零点，
证明曲线
y
=ln
x
在点
A<
/p>
(
x
0
，
ln
x
0
)
处的切线也是曲线
y
?
e
x
的切线
.
21
．（
12
分）
B
(2,0)
，
已知点
A
(
?
2,0)
，
动点
M
(
x
,
y
)
满足直线
AM
与
BM
的斜率之积为
?
曲线
C
.
（
1
）求
C
的方程，并说明
C
是什么曲线；
（
2
）过坐标原点的直线交
C
< br>于
P
，
Q
两点，点
P
在第一象限，
PE
⊥
x
轴，垂足为
E<
/p>
，连
结
QE
并延
长交
C
于点
G
.
（
i
）证明：
△
PQG
是直角三角形；
（
ii
）求
△
PQG
面积的最大值
.
（二）选考题：共
10
分
．
请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第
一题计分
．
< br>22
．
[
选修
< br>4-4
：坐标系与参数方程
]
（
10
分）
在
极坐标系中，
O
为极点，点
M
(
?
0
,
?
0
)(
?
0
?
0)
在曲线
C
:
?
?
< br>4sin
?
上，直线
l
过点
1
2
.
记
M
的轨迹为
A
(4,0)
且与
OM
垂
直，垂足为
P
.
（
< br>1
）当
?
0
=
?
时，求
?
0
及
l
的极坐标方程；
3
（
2
）当
M
在
C
< br>上运动且
P
在线段
OM
上时，求
P
点轨迹的极坐标方程
.
23
．
[
选修
4-5
：不等式选讲<
/p>
]
（
10
分）<
/p>
已知
f
(
x
)
?
|
x
?
a
|
x
?
|
x
< br>?
2
|
(
x
?
a
).
（
1
）当<
/p>
a
?
1
时，求不
等式
f
(
x
)
?
0
的解集；
（
2
）若
x<
/p>
?
(
??
,1]
时，
f
(
x<
/p>
)
?
0
，求
a
的取值范围
.
2019
年普通高等学校招生全国统一考试
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：函数图像问题高考试题完整版
下一篇：等差数列及其前n项和专题练习(含参考答案)