-
数学
27
等差数列及其前
< br>n
项和
一、选择题
1
．数列
{2
n
－
1}
的前
10
项的和是
(
C
)
A
．
120
C
．
100
B
．
110
D
．
10
[
解析
]
<
/p>
∵数列
{2
n
－
1}
是以
1
为
首项，
2
为公差的等差数列，
?
a
1
＋
a
10
?
×
10
?
1
＋
19
?
×
10
∴
S
10
＝
< br>＝
＝
100.
故选
C
．
2
< br>2
2
．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今
有金锤，长五尺，斩本一尺，重四
斤，
斩末一尺，
重二斤，
中间三尺重几何．
”意思是：
“现有一根金缍，
长
5
尺，
头部
1
尺，
重
4
斤，尾部
1
尺，重
2
斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间
三尺共重多
少斤？”
(
D
)
A
．
6
斤
C
．
8
斤
< br>
B
．
7
斤
D
．
9
斤
[
解析
]
<
/p>
设这根金锤从头到尾每一尺的重量构成等差数列
{
a
n
}
，由已知得
a
1
＝
4
，
a
5
＝
2
，
a
1
＋
a
5
求
a<
/p>
2
＋
a
3
＋
a
4
，∵
a
2
＋
a
3
＋
a
4
< br>＝
3
a
3
＝
3
×
＝
9
，故选
D
．
2
3
．设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，且
a
1
a
2
＝
35,2
a
4
－
a
6
＝
7
，
则
d
＝
(
C
)
A
．
4
C
．
2
B
．
3
D
．
1
[
解析
]
<
/p>
∵
{
a
n
}
是等差数列，∴
2
a
4
－
a
6<
/p>
＝
a
4
－
2
d
＝
a
2
＝
7
，∵
a
1
a
2
< br>＝
35
，∴
a
< br>1
＝
5
，∴
d
＝
a
2
－
a
1
＝
2<
/p>
，故选
C
．
<
/p>
4
．在等差数列
{
a
n
}
中，若
a
1
，
a
2
015
为方程
x
2
－
10
x
＋
16
＝
0
的两根，则
a
2
＋
a
1008
＋
a
2014
＝
(
B
)
A
．
10
C
．
20
B
．
15
D
．
40
[
解析
]
<
/p>
因为
a
1
，
a
2015
为方程
x
2
－
10
x
＋
16
＝
0<
/p>
的两根，所以
a
1
＋
a
2015
＝
10.
由等差数列的
a
1
＋
a
2015
性质可知
，
a
1008
＝
＝
5
，
a
2
＋
a
2014
＝
a
1
＋
a<
/p>
2015
＝
10
，所以
a
2
＋
a
1008
＋
a
2014
＝
10
＋
< br>5
＝
15.
2
< br>故选
B
．
5
．已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
5
＝
50
，
S
10
＝
200
，则
a
10
＋
a
11
的值为
(
D
)
A
．
20
C
．
60
[
解析
]
<
/p>
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，
4
d
＝
50
，
?
S<
/p>
＝
5
a
＋
5
×
2
由已知得
?
10
×
9
?
S
＝
10
a
＋
2
d
＝
200
，
5
1
10
1
B
．
40
D
．
80
<
/p>
?
?
?
a
1
＋
2
d
＝
10
，
?
a
1
＝
2
< br>，
即
?
解得
?
9
?
d
＝
4.
?
?
?
a
1
＋
2
d
＝
20
，
∴
a
10
＋
a
11
＝
2
a
1
＋
19
d
＝
80.
故选
D
．
S
n
6
．设数列
{
a
n
}
< br>的前
n
项和为
S
n
，且
a
n
< br>＝－
2
n
＋
1
，则数列
{
}
< br>的前
11
项和为
(
D
)
n
A
．－
45
C
．－
55
B
．－
50
D
．－
66
[
解析
]
<
/p>
∵
a
n
＝－
2
n
＋
1
，∴数列
{
a
n
}
是以－
1
为首项，
－
2
为公差的等差数列，∴
S
n
＝
n
[
－
1
＋
?
< br>－
2
n
＋
1
?
]
－
n
2
S
S
n
n
＝－
n
2
，
∴
＝
＝－
n
，
∴数列
{
}
是以－
1
为首项，<
/p>
－
1
为公差的等差数
2
n
n
n
11
×
10
S
n
列，∴数列
{
}
的前
11
项和为
11
×
(
－
1)
＋
×
(
－
1)
＝－
66
，故选
D
．
n
< br>2
7
．
《九章算术》“竹九节”
问题：现有一根
9
节的竹子，自上而下各节的容积成等差数
列，上面
4
节的容积共
3
升，下面
3
节的容积共
4
升，则第
5
节的容积
为
(
B
)
A
．
1
升
47
C<
/p>
．
升
44
[<
/p>
解析
]
设该等
差数列为
{
a
n
}
，公差为
d
，
67
B
．
升
66
37
D
．
升
33
?<
/p>
?
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＝
3
，
?
?
4
a
1
＋
6
d
＝
3<
/p>
，
由题意得
?
即
?
?
a
7
＋
a
8
＋
a
9
＝
4
，
?
3
< br>a
1
＋
21
d
＝
4
，
?
?
?
解得
?
7
d
＝
?
66
.
13
a
1
＝
，
22
13
7
67
∴
a
5
＝
＋
4
×
＝
.
故选
B
．
< br>
22
66
66
8
．
等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，
关于
x
的不等式
dx
2
＋
2
a
1
x
≥
0
的解集为
[0,9]<
/p>
，
则使数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和
S
n
取得最
大的正整数
n
的值是
(
B
)
A
．
4
C
．
6
B
．
5
D
．
7
9
d
[
解析
]
由
dx
2
＋
2
a
1
x
≥
0
< br>的解集为
[0,9]
得，
d
<0
且
9
d
＋
2
a
1
＝
0
，∴
a
1
＝－
d
，
S
n
＝
n
2
＋
(
a
1
2
2
d
d<
/p>
d
－
)
n
＝
n
2
－
5
dn
＝
(
n
2
－
10
n
)
，当
n
< br>＝
5
时，
S
n
取得最大值，故选
B
．
2
2
2
二、填空题
9
．中位数为
1011
的一组数构成等差数列，其末项为
2019
，则该数列的首项为
__3___
．
[
解析
]
<
/p>
设首项为
a
1
，
则
a
1
＋
20
19
＝
2
×
1
011
，解得
a
1
＝
3.
故填
3
．
1
1
1
1
10
．已知数列
< br>{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
且
＝
＋
(<
/p>
n
∈
N
*
)
，则
a
10
＝
．
4
a
n
＋
1
a
n
3
1
1
1
1
[
解析
]
由已知得
＝
＋
(10
－
1)
×
＝
1
＋
3
＝
4
，故
< br>a
10
＝
．
a
10
a
1
3
4
11
．记等差数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
< br>3
＝
0
，
a
6
＋
a
7
＝
14
，则
S
7
＝
__14___
< br>．
[
解析
]
<
/p>
解法一：设数列
{
a
n
}
的公差为
d
< br>，
则
a
6
＋
a
7
＝
2
a
3
＋
7
d
＝
14
，
又∵
a
3
＝
0
，∴
d
＝
2
，∴
a
7
＝
a
< br>3
＋
4
d
＝
8
，
又
a
3
＝
a
1
＋
2
d
，∴
a
1
＝－
4
，
7
?
a
1
＋
< br>a
7
?
7
×
?
－
4
＋
8
?
∴
S
7
＝
＝
＝
14
．
2
2
解法二：设数列
{
a<
/p>
n
}
的公差为
d
，
则
a
6
＋
a
7
＝
2
a
3
＋
7
d
＝
< br>14
，又∵
a
3
＝
0
，
∴
d
＝
2
，∴
a
4
＝
a
3
＋
d
＝
2
．
∴
S
7
＝
a
1
＋
a
2
< br>＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝
7
a
4
＝
14
．
12
．在等差数列<
/p>
{
a
n
}
中，若
S
4
＝
1
，
S
8
＝
4
，则
a
17
＋
a
18
＋
a
19
＋
a
20
的值为
__9___<
/p>
．
[
解析
]
<
/p>
解法一：
∵
S
4
＝
1
，
S
8
＝
4
，∴
S
4
，
S
8
－
S
4
，
S
12
－
< br>S
8
，
S
16
－
S
12
，
S
20
－
S
16
成首项为
1
，
公差为
2
的等差数列，∴
a
17
＋
a
18
＋
a
19
＋
a
20
＝
S
20
－
S
16
＝
1
＋
2
×
(5
－
< br>1)
＝
9
．
S
8
S
4
1
1
－
－<
/p>
8
4
2
4
1
S
n
解法二：由等
差数列的性质知
{
}
是等差数列，且其
公差
d
＝
＝
＝
n
4
16<
/p>
8
－
4
∴
S
20
S
8
1
3
5
＝
＋
12
d
＝
＋
＝
，∴
S
< br>20
＝
25
，同理
S
16
＝
16
，∴
a
17
＋
a
18
＋
a
19
＋
a
20
＝
S
20
－
< br>S
16
＝
9
．
20
8
2
4
4