-
数学分析中求极限的方法总结
1
利用极限的四则运算法则和简单技巧
极限的四则运算法则叙述如下：
=<
/p>
?
,
lim
g<
/p>
（
x
）
=
?
定理
1.1
：如果
lim
f
（
x
）
x
?
x
0
x
?
x
0
（
1
）
lim
?
f
(
x
)
?
< br>g
(
x
)
?
?
lim
f
(
x
)
?
l
im
g
(
x
)
?
?
?
?
x
?
x
0
x
?
x
0
x
?
x
< br>0
?
g
（
x
）
（
2
）
lim
?
f
（
x
）
?
=
lim
f
（
x)<
/p>
?
lim
g
(<
/p>
x
)
?
?
??
x
?
x
0
x
?
x
0
x
?
< br>x
0
lim
f
< br>(
x
)
?
f
(
x
)
x
?
x
（
3
）若
B
≠
0
则：
lim
?
0
?
x<
/p>
?
x
0
g
(
x
)
lim
g
(
x
)
?
x
?
x
0
（
4
）
lim
c
?
f
(
x
)
?
c
?
lim
f
(
x
)
?
c<
/p>
?
x
?
x
0
x
?
x
0
（
5
）
lim
?
f
(
x
)
?
x
?
x
0
n
?
?
lim
f
(
x
)
?<
/p>
?
?
n
（
n
为自然数）
?<
/p>
x
?
x
0
?
?
?
n
上述性质对于
x
?
?
,
x
?
??
,
x
?
??
也同样成立
i
由上述
的性质和公式我们可以看书函数的和、
差、
积、
商的极限等于函数极限的
和、差、积、商。
x
2
?
5
例
1.
求
lim
的极限
x
?
2
x
?
3
解：由定理中的第三式可以知道
x<
/p>
2
?
5
?
?
x
2
?
5
lim
x
?
2
lim
?
x
?
2
x
?
3
lim
?
x
?
3
?
x
?
2
?
lim
x
2
?
lim
5
x
?
2
lim
x
?
lim
3
x
?
2
x
?
2
x
?
2
2
2
?
5
?
?
?
9
2
?
3
例
2
.
求
lim
x
?
3
x
?
1
?
2
的极限
x
?
3
解：分子分母同时乘以
x
?
1
?
2
1
lim
x
?
1
?
2
?
x
?
1
?
2
??
x
?
1
?
2
?
x
?
3
x
?
3
?
lim
x
?
3
?
x
?
3
?<
/p>
?
x
?
1
?
2
?
?
l
x
?
i
3
m
x
?
3
?
x
?
3
< br>?
?
x
?
1
?
2
?
?
1
4
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可
< br>例
3
.
已知
x
1
1
?
< br>2
?
1
n
?
2
?
3
?
??
?
1
?<
/p>
n
?
1
?
?
n
，求
lim
n
??
x
n
解：
观察
<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
1
1
?
2
=1
?
2
2
?
3
=
2
?
3
?
n
?
1
?
?
n
=
?
n
?
-
?
< br>1
n
因此得到
x
n
?
1
1
?
2
?
1
1
2
?
?
3
??
?
?
n
?
?
?
1
n
?
1
?
1
1
1
1
1
1
1
2
?
2
?
< br>3
?
??
3
n
?
?
1
n
?
?
1
n<
/p>
?
?
1
?
1
n
所以
lim
?
?
1
?
n<
/p>
??
x
n
?
lim
n
??
?<
/p>
1
?
n
?
?
?
1
2
利用导数的定义求极限
导数的定义：函数
f(x)
在
x
0
附近有定义，
??
?
，则
?
y
?
f
?
x
0
?
?
x
?
?
f
?
x
0
< br>?
如果
lim
?
y
f
?
x
0
?
?
x
?
?
f<
/p>
?
x
?
?
x
?
0
?
x
?
?
lim
x
?
0
?
x
存在，
则此极限值就称函数
f(x)
在点
x
0
的导数记为
f
'
?
x
0
?
。
即
f
'
?
x
?
x
0
?
?
x
?
?
f
?
x
< br>0
?
0
?
?
lim
f
?
x
?
0
?
x
2
在这种方法的运用过程中，
首先要选
好
f(x)
。
然后把所求极限都表示成
f(x)
在定点
x
0
的导数。
?
< br>x
?
2
?
?
ctg
2
x
的极限
例
4.
求
lim
x
x
?
2
1
1
解：
lim
?
x
?
2
?
?
< br>ctg
2
x
?
< br>?
x
tg
2
x
?
?
?
x
?
2
lim
tg
2
x
?<
/p>
tg
2
?
?
?
x
x
2
x
?
?
?
2
x
?
lim
2
x
?
x
< br>?
x
?
2
2
?
?
?
f
?
x
?
?
f
?
?
1
?
2
?
?
?
lim
x
?
?
?
?
< br>x
?
x
?
2
f
'
?
?
2
?
2
?
?
3
利用两个重要极限公式求极限
两个极限公式：
1
2
（
1
）
lim
sin
x
?
1
，
x
?
0
x
?
1
?
（
2
）
< br>lim
?
1
?
< br>?
?
e
x
??
?
x
?
x
但我们经常使用的是它们的变形：
（
1
）
lim
s
in
?
?
x
?
?
?
x
?
?
?
x
?
?
1,
?
?
?
x
?
?
0
?
，
?
1
?
lim
1
?
?
（
2
）
?
?
?
x
?
?
?
?
< br>?
?
e
,
?
?
?
x
?
?
?
?
求极限
。
1<
/p>
?
2
x
)
例
5
：
lim
(
x
?
0
(
1
?
x
)
1
x
1
x
解：
为了利用极限
lim
(
1
?
x
)
?
e
故把原式括号内式子拆成两项，
使得第一项为
1
，
x
?
0
第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。
3
1
?
2
x
)
lim
(
x
?
0
(
1
?
x
)
1
x
?
3
< br>x
x
)
=
lim
(
1
?
x
?
0
1
?
x
1
?
x
1
?
3x
?
?
?
3x
x
1
?
x
1
?
3x
?
?
=
lim
?
1
?
?
x
?
0
1
?
x
?
?
1
?
x
?
3
?
3
x
?
3
x
1
?
x
=
lim
[(
1
?
)
]
?
e
?
3
x
?
0
1
?
x
1
?
cos
x
x
?
0
x
2
解：将分母变形
后再化成“
0/0
”型
所以
例
6<
/p>
：
lim
1
?<
/p>
cos
x
x
?<
/p>
0
x
2
x
2
sin
2
2
=
lim
2
x
?
0
x
x
sin
2
1
2
?
1
=
lim
x
?
0
2
x
2
(
)
2
2
lim
(
1
?
2
x
)
lim
例
7:
求
x
?
0
1
x
的极限
解：原式
=
lim
x
?
0
1
1
< br>?
?
2
2
x
2
x
(
1
?
2
x
)
?
(
1
?
2
x
)
?
?
?
e
< br>?
?
利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所
给的函数形式只有形
式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来
求极限。
一
般常用的方法是换元法和配指数法。
4
利用函数的连续性
因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的
,
所以如果
f
(
x
)
是初等函数
,
且
x
0
lim
f
(
x
)
?
f
(
x
0
< br>)
是
f
(
x
)
的定义区间内的点
,
则
x
?
x
0
。
例
< br>8
：
lim
arcsin
x
?
1
2
x
?
1
6
解
:
因为复合函数
< br>arcsin
是初等函数
,
而<
/p>
x
?
1
是其定义
区间内的点
,
所以极限
值就等于该点处
的函数值
.
因此
4
2
x
?
1
2
x
?
1
lim
arcsin
?
arcsin
x
?
< br>1
6
6
1
?
=arcsin
=
2
6
例
8
：求
li
m
ln
sin
x
?
x
?
2
解：
复合
函数
ln
sin
x
在
x
?
的函数值
< br>
即有
lim
ln
sin
x
?
ln
sin
x
?
?
2
处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处
?
2
?
2
=
lim
sin
=0
5
利用两个准则求极限。
?
2
?
ln
1
（
1
）
函数极限的迫敛性：若一正整数
N
,
当
n>N
时，有
x
n
?
y
n
?
z
n
且<
/p>
lim
x
n
?<
/p>
lim
z
n
?<
/p>
a
,
则有
lim
y
n
?
a
x
??
x
??
x
??
。
利用夹逼准则求极限关键在于从
x
n<
/p>
的表达式中，
通常通过放大或缩小的方法找出
两个有相同极限值的数列
?
y
n<
/p>
?
和
?
z
n
?
，使得
y
n
?
x
n
?
z
n
。
x
n
?
1
n
2
?
1
?
1
n<
/p>
2
?
2
?
.......
1
例
9
：
<
/p>
求
x
n
的极限<
/p>
n
2
?
n
解：因为
x
n
单调递减，所以存在最大项和最小项
x
n
?
1
n
2
?
n
1
n
2
?
1
n
n
2
?
n
?
1
n
2
< br>?
n
1
n
2
?
1
n
?
.......
?
1
< br>n
2
?
n
1
n
2
?
1
?
?
n
n
n
2
?
n
<
/p>
x
n
?
?
?
.......
?
n
2
?
1
则
?
x
n
?
n
2
?
1
5
又因为
l
im
x
??
n
n
?
n
2
?<
/p>
lim
n
n
?<
/p>
1
2
x
??
?
1
lim
x
n
?
1
x
??
（
2
）
单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
例
12
：设
x
1
?
10,
x
n
?
1
?
6
?
x
n
?
n
?
1,
2
?
,
n
?
。试证数列
?
x
n
?
的极限存在
,
并求此
极限。
解
:
由
x<
/p>
1
?
10
及
x
2
?
4
知
x
1
?
x
2
。
< br>设对某个正整数
k
有
x
k
?
x
k
?
1
，
< br>则有
x
k
?
1
?
6
?
x
k
?
6
?<
/p>
x
k
?
1
?
x
k
?
2
从而由数学归纳法可知
,
对一切自然数
n
,
< br>都有
x
n
?
x
n
?
1
，
即数列
{
x
n
}
单调下降
,
由已知易见
x
n
?
0
(
n
?
1
,
2
...)
即有下界
,
根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。
令
lim
x
n
?
A
对
x
n
?
1
?
6
?
x
n
两边取极限，
n
?
?
2
有
?
< br>?
6
?
?
所以有
?
?
??
6
?
0
解得
A=3,
或
?
?
?
2
。
因为
x
n
?
0
x
n
?
3
(
n
?
1
,
2
...)
，所以<
/p>
?
?
0
，舍去<
/p>
?
?
?
2
,
故
lim
n
??
6
利用洛必达法则求未定式的极限
定义
6.1
：若当
x
?
a
（或
x
?
?
）时，函数
f
?
x
?
和
F
?
x
?
都趋
于零
(
或无穷大
)
，
x
?
a
则极限
(
x
?
?
)
l
i
m<
/p>
f
(
x
)
0
也可能不存在，
通常称为
< br>型和
F
(
x
)
可能存在、
0
?
型未定式。
?
例如：
0
tan
x
lim
,
(
0
型
);
x
?
0
x
l
im
x
?
0
l
n
sin
ax
?
, (
型
).
ln
sin
bx
?
定理
6.2
：设
（
1
）当
x
?
?
时
,
函数
f
?
x
?
和
F
?
x
?
都趋于零
;
6
（
2
）在
a
点的某去心邻域内
< br>,
f
'
?
x
?
和
F
'
?
x
?
都存在
且
F
'
?
x<
/p>
?
?
0
;
（
3
）
lim
则
x
?
a
(
x
?
?
)
f
(
x
)
F
(
x
)
存在
(
或无穷大
),
lim
x
?
a
f
(
x
)
f
?
(
x
)
< br>?
lim
x
?
< br>a
F
?
(
x
)
F
(
x
)
定义
6.
3
：
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未
定式的值
的方法称为洛必达法则
.
s
in
2
x
?
x
2
cos
2
x
例
10
：
li
m
x
?
0
x<
/p>
2
sin
2
x<
/p>
=2lim
解：
< br>lim
(sin
x
?
x
cos
x
)(sin<
/p>
x
?
x
cos<
/p>
x
)
sin
x<
/p>
?
x
cos
x<
/p>
sin
x
?
x<
/p>
cos
x
=
li
m
?
lim
x
?
0
x
?
0<
/p>
x
?
0
x
4
x
x
3
cos
x
?
cos
x
?
x
sin
x
2
sin
x
2
=
lim
=
x
?
0
3
x
2
3
x
?
0
x
3
在利用洛比达法则求极限时，
为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，
可
用适当的代换，并
注意观察所求极限的类型如下例，
例
11
：求
lim
1
?
e
x
?
0
?
x
x
解：
lim
1
?
e
x
?<
/p>
0
?
x
x
t
1
?
?
?
1
lim
lim
t
t
t
?
0
?
?
e
=
t
?
0
?
1
?
e
洛必达法则通常适用于以下类型：
0
?
?
型：
l
im
x
(
?
a
rctan
x
)
x
???
2
例
12
求
.
?
?
解
<
/p>
原式
?
lim
2
x
???
?
a
rctan
x
1
x
1
2
1
1
?
x
?
lim
?
lim
?
1
x
???
x
???
1
1
?
1
.
2
2
x
x
???
型：
7
lim
?
s
ec
x
?
tan
x
?
例
13
求
x
?
?
.
2
解
?
sec
x
?
tan
x
?
1
sin
x
1
?
sin
x
?
?
cos
x
cos
x
c
os
x
，
1
?
sin
x
?
cos
x
?
l
im
?
0
?
c
os
x
?
?
s
in
x
x
?
故
原式
x
?
2
.
2
?
lim
0
0
型：
x<
/p>
lim
x
?
例<
/p>
14
求
x
?
0
.
ln
x
x
解
原式
1
?
?
lim
e
?
x
?
0
?
lim
e
?
x
?
0
x
ln
x
?
e
x
?
0
?
lim
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型：
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例
15
求
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解
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原式
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型：
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例
16
求
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解
原式
而
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，因此：原式
=1.
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7.<
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用泰勒展式来求极限
用此法必须熟记基本初等函数的展开式
,
它将原来函
数求极限的问题转化为
求多项式或有理分式的极限问题。
对于和
或差中的项不能用其等价无穷小代替的
情形
,
有时可用项的泰勒展开式来代替该项
,
使运算十分简便。
例
17
：
lim
cos
x
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e
x
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0
x
4
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x
2
2
解：因为
8