-
H?
lder
不等式的几种不同形式及其
证明和应用
Several H?
lder inequalities
and their
proofs and applications
专
业
:
数学与应用数学
作
者
:
曾运梅
指导老师
:
张映辉
湖南理工学院数学学院
二
○一一
年五月
岳阳
湖南理工学院
本科毕业论文
摘
要
在初步掌握了
H?
lder
不等式的基础上，我们进一步对
H?
lder
不等式的几种不同的
形式给出了证明
.
通过证明
,
进一步掌握好
H?
lder
不等式
,
并为其在各个领域的应用
打下好的基础
.
关键词
:
H?
lder
不等式
;
Young
不等式
;
H
?
lder
不等式的几种形式
;
证明方法
;
推
广及应用
I
湖南理工学院
本科毕业论文
Abstract
After
mastering
several
inequalities,
we
further
give
their
proofs.
By
this,
we
further
master the H?
lder inequality
and its applications.
Keywords:
H?
lder
i
nequality; Young
inequality; several
H?
lder
inequalities; the method
of
proof;
extension and
application
II
湖南理工学院
本科毕业论文
目
录
摘
要
<
/p>
........................................
........................... I
ABSTRACT
.......................................
......................... II
0
引言
..............
..................................................
... 1
1
预备知识
............................................ .................... 1
2
H?<
/p>
lder
不等式的几种不同形式及其证法
.
...........................
.......... 5
2.1
H?
lder
不等式的离散形式及其证法
..................................... 5
2.2
H?
lder
不等式的积分形式及其证法
..................................... 7
2.3
H?
lder
不等式的概率形式及其证法
..................................... 9
3
H?
lder
不等式的推广及应用
................
.............................. 10
3.1 <
/p>
H?
lder
不等式的推广．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．<
/p>
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．<
/p>
．
．
．
．
．
．
10
3.2
H?
lder
不等式的应用．
．
．
．
．
．
．
．
．
< br>．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
< br>．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
11
参考文献
............
..................................................
.. 14
湖南理工学院
本科毕业论文
0
引言
H?
lder
不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程
等学科的研究中发挥
了重要作用
,
使用的技巧灵活多样
,
得到的结果极为深刻
.
然而在数学知
识体系中
H?
lder
不等式的证明出
现较晚
,
限制了它的早期传播和使用
.
于是
,
首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明
,
根据这些重要定理与
初等数学之间的联系以得到
H?
lder
不等式的几种不同形式的证明
< br>;
其次
,
H?
lder
不等式
又经常以另外两种形式出现
.
一种是离散量的形式
,
另一种是连续量的形式
.
本文中通
过借助三个引理
,
在给定条件下
,
先后证明了离散形式
的
H?
lder
不等式及积分形式的<
/p>
H?
lder
不等式
;
再次
,
由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分
,
这种类型的不等
式在许多方面都有着重要的应用
,
特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出
.
因此
,
我也给出了
< br>H?
lder
不等式的概率形式的证明
< br>.
H?
lder
不等式的不同
形式的证明及其推广
,
可使此不等式就能在初等数学阶段中给
予介绍
,
有利于传播和使用
,
并能揭示相关结果的本质
,
再充分发掘利用此结果
,
能使
许多问题得到新的简单而又直接的解决
,
体现数学的威力
,
训练使用这些知识的技巧和
能力
,
能为以后的发展奠定基础
.
总之
,
著名的
H?
lder
不等式在分析学中起着非常重要的作用
,
它的证法与推广能解
决很多实际问题
.
在已有结论的基础上对
H?
lder<
/p>
不等式进行证明
,
推广及应用做了一些
初探
,
探求多种简洁的证明方法、
推广形式
,
通过对其不同形式的证明
,
探索出了
一些不
等式证明的途径和相关技巧
,
并通过对其在不同程度的推广
,
加强
了对
H?
lder
不等式的
应用
.
1
预备知识
为了方便证明
,
本文先给出一些必要的引理．
1.1
（引理
1
）
设
a
1
,
a
2
???
a
n
不全相等且
q
1
?
q
2
???
??
q
n
?
1
,
q
i
?
0,
i
?
1
,2,
???
,
n<
/p>
，
q
n
q
2
则
G
(
a
,
q
)
?
M
(
a
,
q
),
即
a
1
q
1
a
2
???
a
n
?
q
1
a
1
?
q
2
a
2
?????
a
n
q
n
.
第
1
页
共
14
页
湖南理工学院
本科毕业论文
1.2(
引理
2)
设
?
为一个
正随机变量，
r,s
为任意正实数，且
E
?
?
r
,<
/p>
E
?
s
存在，<
/p>
则有（
E
?
?
r
)
s
?
(
E
?
s
?
)
r
.
1.3(
引理
3)
设
?
,
?
?
0,
?
?
< br>?
?
1,
那么对于
x
?
0
< br>，
有
x
?
?
?
x
?
?
（
x
?
1
时，等号成立）
.
证明
:
考察函数
f
(
x
)
?
x
?
?
?
x
?
?
?
0,
我们发现
f
(1)
?
1
?
?
?
?
?<
/p>
0,
又由于
f
'
(
x
)
?
?
(
x
?
?
1
?
1).
'
当
x
?
1
< br>时，
f
（
x
）
=
?
(
x
?
?
1
?<
/p>
1)
?
0,
<
/p>
（
1
，
+
?
）
函数
f
(
x
)
在
上是减函数
.
所以，
<
/p>
f
(
x
)
?
f
(1)
?
0,
因此，当
x<
/p>
?
1
时不等式成立
.
当
0
?
x
?
1
时，
f
'
(
x
)
?
?
(
x
?
?
1
?
1)
?
0,
（
0
，
1]
上是增函数
.
函数
f
(
x
)
在
所以，
f
(
x
)
?
f
(1)
?
0,
因此对一切
x
?
0,
不等式
x
?
?
?
x
?
?
?
0
成立
.
由此引理得证
.
1.4 (
引理
4)
< br>（基础关系式）
设
A
,
B
?
0,
则
A
?
B
1
?
?
?
?
A
?
?
1
?
?
?<
/p>
B
,
?
?
?
0,1
?
.
(1)
证明：
若
A
,
B
中有一个
< br>0,
则（
1
）式显然成立
.
设
A,B
均不
为零
,
将（
1
）式两边同时处以
B
,
得
第
2
页
共
14
页
湖南理工学院
本科毕业论文
?
A
?
?
A
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
1
?
?
?
.
B
?
?
?
B
< br>?
令
A
=
x
.
则上式变为
< br>B
?
x
?
?
?
x
?
?
1
?
?
?
.
（
2
）
所以
,
我们只需证明（
2
）式成立就可以了
.
令
f
?
x
?
?
x
?
?
?
x
+
?
?
-
1
?
< br>，
(
x
?
0,0
?
?
?
1
)
，则
f
'
?
x
?<
/p>
?
?
x
?
?
1
?
?
?
?
?
x
?
?
1
?
1
?
,(
x
?
0,0
?
?
?
1).
令
f
'
?
x
?
?
?
x
?
?
1
?
?
?
?
?
x
?
?
1
?
< br>1
?
=0
，
得
x
?
1.
<
/p>
对
f
'
?
x
?
再求导
,
得
f
''<
/p>
?
x
?
?
?
?
?
?
1
?
x
?
?
2
.
以
x
?
1
代入
f
''
?
x
?
的表达式中
,
得
f
''<
/p>
?
1
?
=
?
?
?
?
1
?
?
0,
?
由
0
?
< br>?
?
1
,
?
?
?
1
?
0
?
.
则
x
?
1
是
f
?
x
?
的极大值点
.
故
f
?
1
?
=0
是函数在
?
0,+<
/p>
?
?
上的最大值
.
所以，当
x
?
0
时
x
?
?
?
x
+
?
1
?
?
?
(0
?
?
?
1
)
成
立
,
从而（
1
）式成立
.
证毕
.
设
x
?
a
< br>?
?
?
0,
由引理
4
的不等式可以得到
a
b
?
a
?
?
b
?
,
b
这个不等式对任何
a<
/p>
,
b
?
0
都成立
,
同时这个不等式是引理
1
的二元形式
.
1.5 (
引理
5)
< br>（
Young
不等式）
1
1
a
p
b
q
设
a
,
b
?
0,
p
,
q
?
1
.
且
?
?
1,
则以下不等式成立：
ab
?
?
，
p
q
p
< br>q
当且仅当
a
p
?
b
q
等号成立
.
证法一：
当
ab
?
0
时
,
以上不等式显然成立
.
第
3
页
共
14
页
湖南理工学院
本科毕业论文
当
ab
?
0
时
,
令
?
=
1
1
1
p<
/p>
1
1
,1
?
?
?
,
则
q
?
?
?
1,(
?
?
1)
p
q
1
?
?
p
?
1
p
q
其次
,
对于
x
?
?
?
x
?
1
?
?
,(
x<
/p>
?
0,0
?
?<
/p>
?
1
),
上式两端同时乘以
b
q
?
b
q
?
0
?
,
有<
/p>
ab
q
?
q
p
a
p
b
q
?
?
.
p
q
1
< br>1
q
pq
?
q
a
p
b
q
?
1.
所以
ab
?
由
?
?
1
可得
q
?<
/p>
?
?
.
证毕
.
p
q
p
p
p
q
证法二：
考察函数
f
(
x
)
?
e
x
.
显然
f<
/p>
(
x
)
是凸函数
.
因此，
1
、当
ab
?
0
时，
ab
?
e
ln
ab
1
1
ln
a<
/p>
p
?
ln
b
q
p
q
?
e
1
ln
a
p
1
ln
b
q
?
e
?
< br>e
p
q
?
1
p
1
q
a
?
b
,
p
q
1
p
1
q
< br>a
?
b
.
p
q
上式不等号是由于凸函数的性
质
.
2
、当
ab
?
0
时，
显然有
ab
?
由上述
1
和
2
,
引理
5
得证
.
1.6
(
引理
6)
若
f
?
x
?
在
?
a
,
b
?
上连续
,
将<
/p>
?
a
,
b
?
n
等分
(
分点包括两端点
)
，
有
x
i
?
a
?
i
b
?
a
b
?
a
(
i
?
< br>0,1,
???
,
n
),
记等分的每个小区间长度为
?
x
?
,
n
n
b
?
a
?
?
而<
/p>
f
?
x
i
?
?
f
?
a
+
i
?
=
f
?
a
?
i
?
x
?
?
f
i
,<
/p>
则有：
n<
/p>
?
?
?
1
n
?
1
n
?
lim
?
?
f
?
x
i
?
?
?
lim
?
?
f
n
??
n
?
i
?
1
?
n
?
?
?
n
i
?<
/p>
1
证明：
由
?<
/p>
x
?
b
?
a
b
?
a
,
得
n
?
.
n
?
x
b
?
a
?
?
1
b
?<
/p>
f
?
x
?
dx
.
?
a
+
i
?
?
?
?
a
< br>n
b
?
a
?
?
?
又由
f
?
x
?
在<
/p>
?
a
,
b
?
上连续，
f
?
x
?
在
?
a
,
b
?
上存在定积分，
第
4
页
共
14
页
湖南理工学院
本科毕业论文
而
?
f
?
x
i
?
?
x<
/p>
是
f
?
x
?
在
?
a
,
b
?
上的“积分和”的
一种特殊情况
.
i
?
1
n
?
x
n
1
b
?
1
n
?
故有
l
im
?
?
f
?
x
i
?
?
?
lim
f
?
x
i
?
?
f
(
x
)
dx
.
证毕
.
?
?
a
< br>n
??
n
n
??
b
?
a
b
?
a
i
?
1
?
i
?
1
?
1.7
(
引理
7)
设
E
是
R
中给定的可测集
,
f
(
x
)
是定义在
E
上的可测函数<
/p>
.
p
?
1
, <
/p>
若
f
(
x
)
可积
,
称
f
是
p
幂可积的函数
构成一个类，
p
记成
L
p
(
E
)
或简称为
L
p
< br>,
称为
L
p
< br>空间，即
L
p
=
f
:
?
f
E
?
p
d
m
?
?
?<
/p>
对于
L
空间的元
f
,
称
f
p
p
?
?
?
E
f
p
d
m
?
1
P
为
f
的范数
.
2.
H?
lder
不等式的多种形式及证明方法
2.1
H?
lder
不等式的离散形式及其证明
1
1
?
?
1,
则
p
q
离散形式
：设
a
k
,
b
k
?
0(
k
?
1
,2
???
,
n
),
p
,
q
?
1
以及
< br>?
p
?
?
q
?
a
b
?
a
b
?
k
k
?
?
k
?
?
?
k
?
,
等号成立当且仅当<
/p>
a
k
与
b
k
成比例
.
k
?
1
?
k
?
1
?
?
k
?
1
?
< br>?
n
?
a
k
p
k
?
1
?
?
?
n
证法一
：
1
1
p
k
?
1
?
a
?
n
p
?
p
< br>?
n
q
?
q
?
k
?
?
?
a
k
?
?
?
b
k
?
?
k
?
1
?
k
?
< br>1
?
?
k
?
1
?
n
n
1
p
n
1
q
?
a
k
b
k
n
?
?
?
?
?
< br>?
1
p
?
?
b
q
?
n
k
q
?
b
?
k
?
?
k
?
1
?
?
?
?
< br>?
?
?
1
q
?
?
n
?
1
?
a
k
p
?
?
n
?
p
k
?
1
?
p
?
< br>a
?
k
?
?
?
?
k
?
1
?
?
?
1
?
b
q
?
?
?
n
k
?
q
?
< br>b
q
?
?
?
k
?
?
k
?
1
?
?
?
?
1
n
a
p
1
n
b
k
q
k
< br>?
?
?
?
n
?
?
n
q
k
?
1
p
q
?
?
p
k
?
1
a
b
?
?
< br>k
k
?
?
k
?
1
k
?
1
?
?
?
1
1
?
?
1.
（应用引理
5
）<
/p>
p
q
第
5
页
共
14
页
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：进口红酒购销合同(中英文版)
下一篇：雅思写作最新词伙