-
秒杀秘籍:同构式问题构造
xe
与
xlnx
x
我们发
现,
f
(
x
)
=
xe
x
在<
/p>
(
-
1,
+
p>
キ
)
骣
1
骣
1
琪
,
而
f
(
x
< br>)
=
x
ln
x
在
琪
,
在
0,
?
琪
琪
,
+
キ
e
p>
桫
e
桫
,
在考查同构式的类型中,
构造
xe
x
来求取值范围,构造
x
ln
x
来判断零点个数及分布;
同构式模型:①
a
x
>
log
a
x
?
e
x
ln
a
1
ln
x<
/p>
拮
x
ln
a
p>
e
x
ln
a
>
x
ln
x
=
e
ln
x
ln
x
?
x
ln
a
ln
x
?
a
e
e
< br>,
ln
a
②
e
l
x
>
ln
x
?
l
e
l
x
l
p>
ln
x
?
l
xe
l
x
x
ln
x
=
e
ln
x
ln
x
?
l
x
ln
x
?
l
1
< br>;
e
ln
x
+
1
③
e
ax
+
ax
>
ln
(
x
+
1
)
+
x
p>
+
1
=
e
(
)
+
ln
(
x
+
1
)
?
ax
ln
(
x
+
1
)
专
题
7
p>
指
对
跨
阶
系
列
二
之
同
构
式
构
< br>造
【例
1
】
对于任意的
x
>
0,
不等式
a
x
>
log
a
x
(
a
>
0,
且
a
?
1)
< br>恒成立,则
a
的取值范围是
.
解:
a<
/p>
x
>
log
a<
/p>
x
?
e
x
ln
a
在
(
0,
e
)
?
,
(
e
,
ク
)
ln
x
< br>ln
x
ln
x
< br>故只需
x
ln
a
>
ln
x
?
< br>ln
a
,
由于
< br>f
(
x
)
=
拮
x
ln
a
e
x
ln
a
>
x
ln
x<
/p>
=
e
ln
x
p>
ln
x
,
ln
p>
a
x
x
1
1
p>
1
,故
f
(
x
)
max
=
f
(
e
)
=
,
ln
a
>
,即
a
< br>>
e
e
.
e
e
【例<
/p>
2
】
(
2018
?
长郡月考)已知函数
f
(
x
)
?
< br>ae
x
?
ln
< br>x
?
1
,若
f
(
x
)
?
0
恒成立,则实数
a
的取值范围是
.
ì
?
p>
ae
?
1
í
ln
ex
?
x
?
ln
ex
ln
p>
x
+
1
,
e
ln
ex
恒成立,则
需要满足
?
x
ln
ex
解:由题意得:
ae
侈
aexe
x
侈
ex<
/p>
ln
ex
ae
壮
xe
x
显然
x
-
1
?
ln<
/p>
x
恒成立,故只需
ae
< br>?
1
,即
a
?
1
e
.
p>
【例
3
】
对
?
x
?
0
,不等式
2
ae
2
x
?
ln
x
?
ln
a
?
0
恒成立,则实数
a
的最
小值为(
)
A
.
p>
2
e
B
.
1
2
e
p>
C
.
2
p>
e
D
.
1
2
e
x
x
ln
a
x
x
x
x
ln
< br>=
e
ln
蕹
2
x
ln
,令
=
t
,
2
at
?
ln
t
此时要构造过
a
a
a
< br>a
a
1
1
1
ln
t
?
t
2
a
?
a<
/p>
?
原点的切线放缩模型
,故
,即
.
e
p>
e
2
e
解:由题意
得:
2
ae
2
x
?
ln
x
l
n
a
蕹
2
xe
2
x
【例
4<
/p>
】
(
2018
?
武邑期中)设实数
?
?
0
,若对任意的
x
?
(0,
??
)
,不等式
e
?
x
?
p>
值范围是
.
解:
e<
/p>
?
x
lnx
?<
/p>
…
0
恒成立,则
?
的取
?
lnx
?
…
0
?
?
xe
?
x
?<
/p>
x
ln
x
?
p>
e
ln
x
l
n
x
,即
l
x
?
ln
x
恒成立,
l
?
1
.
e
【例<
/p>
5
】
(
2019
?
衡水金卷)易知
a
< br><
0
,不等式
x
a
+
1
?
e
x
a
ln
x
?
0
对任意的实数
x
>
1
恒成立,则实数
a
的
最小值是(
)
A
.
?
1
2
e
a
+
p>
1
B
.
?
2
e
-
a
ln
x
xe
?
x
a
x
< br>1
C
.
?
e
ln
a
1
1
1
x
ln
=
e
ln
蕹<
/p>
x
x
a
x
a
x
a
1
D
.
?
e
1
对
x
>
1
恒成立,此时
x
a
解:由题意得:
x
骣
p>
x
a
?
琪
琪
桫
ln
x
?
e
x
a
ln
x
侈
0
< br>ln
,即
a
?
< br>e
,选
D
.
max
p>
【例
6
】
(
2019
?
武汉调研)已知函数
f
(
x
)
< br>=
e
x
-
a
ln
(
ax
-
a
)
+
a
(
a
>
0
p>
)
,若关于
x
的不
等式
f
(
x
)
>
0
恒成
立,
则实数
a
的取值范围为(
)
A
.
p>
(
0
,
e
]
B
.
p>
0
,
e
2
?
?
C
.
[
1
,
< br>e
2
]
D
.
(
1
,
e
2
)
p>
x
解:由题意可知:
e
x
>
a
ln
(
ax
-
a
)
-
a
?
e<
/p>
ln
a
>
ln<
/p>
(
x
-
1
)
-
1
?
e
x
-
ln
a
x
-
ln
a
>
x
-
1
+
ln
(
x
-
1
)
,
即构成同构式
a
2
ln
x
-
1
e
x
-
ln
a
+
x
-
ln
a
>
e
(
)<
/p>
+
ln
(
x
p>
-
1
)
,只需
p>
x
-
ln
a
>
ln
(
x
-
1
)
?
x
ln
(
x
-
1
)
?
2
ln
a
,
a
<
e
,故
选
B
.
【例
7
】
已知方程
x
2
ln
x
=
a
ln
a
-<
/p>
a
ln
x
有
p>
3
个实根,则实数
a
的取值范围是
.
解:构造
x
ln
x
=
a
ln
a
,根据定义域可知
a
>
0
,如图,当
x
>
1
时,
y
=
x
ln
x
>
0
,此时,仅存在
x
1
p>
=
a
,
x
x
x
2
a
使
x
1
< br>ln
x
1
=
a
ln
a
,
此时只存在两个实根,
不合题意;
当
0
<
x
<
1<
/p>
时,
则一定存在
x
1
=
或者
1
<
x
1
<
1,
0
<
x
3
<<
/p>
1
x
2
x
2
x
2
e
e
(偏移情况)
,
考虑到
极值是左偏的,
故
x
?
骣
1
琪
0,
< br>琪
桫
e
时,
a
?
(
ae
,
?
x
)
,
定义域要求完全覆盖,
故
ae
<
e
,
即
a
<
e
1
< br>1
2
.
x
p>
kx
?
lnx
,对
于任意的
x
?
(0,
< br>??
)
恒成立,则
k
的最大值
【例
8
】
(
2019
?
p>
榆林一模)已知不等式
e
?
1
…
.
解:要取等,看系数,
e
x
?
x
?
1
?
e
x
?
1
?
x
?
1
?
1<
/p>
x
?
kx
?
p>
x
?
1
?
kx
?
lnx
,由于取
等条件不一,且并未消除常
数项,则此放缩法失效,考虑消除常数项
-
1
,故构造
ln
x
?
x
1
取等条件是
x
=
1
,此时取等的
e
x
?
ex
,故
(
e
-
1
)
x
?
kx
,即
k
?
e
1
.
< br>
e
x
【例<
/p>
9
】
(
2019
?
重庆巴蜀月考)已知
f
(
x
)
=
< br>-
a
ln
x
.
x
(
1
)当
a
=
0
时,求函数
f
(
x
)
在
(
0
,
+?
)
上的最小值;
e
2
(
2
)若
0
<
a
?
,求证:
f
(
x
)
>
0
.
2
解:
(
1
)
a
=<
/p>
0
时,
f
(
p>
x
)
=
f
(
x
)
min
=
f
(
1
)
=
e
;
< br>
e
x
xe
x
-
e
x
,
f
?
(
x<
/p>
)
=
,当
x
p>
?
(
0,1
)
p>
时,
f
(
x
)
?
,当
x
?
(
1,
?
2
x
x
)
时,
f
(
x
< br>)
?
,故
e
x
e
x
e
2
(
2
)
思路
:
此题若放缩
,
定会遇到很多问题,<
/p>
所以根据“放对再放指”的原理,
由于
f
(
x
)
>
p>
-
ln
x
,
x
x
2
2
e
先放
ln
x
,由于此题无常数项,故不采用
ln
x
?
x
1
来增加常数项,由
于,
的出现暴露了需要“降次”,
2
秒
杀秘籍:放对再放指,常数是关键
关于指对跨阶,由于
e
属于递增过快,若不是存在
xe
=
e
x
x
x
+
ln
x
< br>e
x
?
x
ln
x
+
1
或者
=
e
x
-
ln
x
?
x<
/p>
ln
x
+
1
p>
之类
x
的可以直接消除对数的,
一般考虑对递增较慢的
ln
x
进行放缩,
但在区间
(
0,1
p>
)
内重点考虑切线放缩,
通常
x
放缩有:
①
ln
x
?
x
1
;
②
ln
x
?
(取等条件
x
=
e
)
;
③
ln
x
?
x
< br>1
蓿
ln
1
1
-
1
蕹
ln
x
1
-
1
(取等条件
x
=
1
)
;
e
x
x
x
④
ln<
/p>
x
?
1
1
1
蕹
x
ln
x
x
-
1
;
⑤
ln
x
?
x
1
蓿
ln
ex
ex
-
< br>1
蓿
ln
x
ex
-
2
(
取
等
条
件
x
=
)
;
⑥
p>
x
e
ì
?
e
x
-
1
侈
x
e
x
< br>?
ex
取等条件
x
1
?
?
x
< br>x
2
x
e
2
2
?
2
x
x
e
?
x
p>
1
蕹
í
e
e
邹
e
?
x
取等条件
x
2
;
⑦
e
?
x
1
(
x
?
0
)
(
取
等
条<
/p>
件
x
=
0
)
;
⑧
2
4
?
?
x
x
e
3
3
?
e
3
匙
x
e
蕹
e
x<
/p>
取等条件
x
=
3
?
3
27
?<
/p>
(
)
(
)
(
)
e
x
?
ex
(
x
-
1
)
(
< br>x
?
0
)
(取等条件
x
=
0
< br>以及
x
=1
,⑦和⑧根据找基友
证明)
2
e
x
ex
x
e
故
试用
ln
x
?
,则可得
f
(
x
)
>
-
>
0
,此时只需证明
e
x
< br>>
x
2
,此时再利用“指数找基
友”即可证明
x
2
e
< br>2
e
2
2
不等式,或者放缩成
e
?
x
4
x
e
2
x
也可以;
2
2
x
2
x
e
x
e
x
e
2
e
e
e
证明:
0
<
a
?
,由
于
ln
x
?
,
故
f
(
x
)<
/p>
=
-
a
ln
p>
x
>
-
ln
x
,故只需
-
ln<
/p>
x
>
0
,令
p>
g
x
=
ln
x
-
,
e
x
x
2
2
x
2
1
1
e
2
e
ex
2
ex
2
x
x
x
=
e
g<
/p>
?
x
=
-
=
0
,
e
-
x
>
0
g
x
=
ln
< br>e
-
=
0
当
时
(
)
m
ax
,
即
ln
x
?
e
,
故只
需证
,
只需证
e
x
<
2
令
h
(
x
)
=
p>
e
x
,
x
e
2
e
2
ex
2
-
x
h
?
(
x
)
=
(
x
)
,故
h
(
x
)
在
(
0,2
)
?
,在
(<
/p>
2,
+
ク
)
p>
当
x
=
2
时,
h
(
x
)
min
=
h
(
2
)
=
e
<
2
,即证
.
e
4
(
)
(
)
【例
10
】
(
2018
?
甘肃会宁)已知函数
p>
.
e
x
f
(
x
)
?
,
g
(
< br>x
)
?
ln
x
?
1
x
(
1
)求函数
f
(
x
)
的单调区间;(
2
)证明:
x
3
f
(
x
)
?
g
(
x
)
解(
1
)参考例
9
;(
2
< br>)思路
1
:第(
1
)问不会白给,故利用“分而治之”,此过程一定要有凹凸函数的
x
2
e
ln
x
+
1
e
-
2
3
反转,构造
f
(
x
)
=
>
3
=
h
(
x
)
,利用
f
(
x
)
min
=
e
>
h
(
x
)
ma
x
=
h
e
=<
/p>
;
x
x
3
(
)
思路
2
:“放对后放指”,要证明
x
2
e
x
>
ln
x
+
1
,只需证明
x
2
e
< br>x
>
x
-
1
+
1
=
x
>
ln
x
+<
/p>
1
,故只需证明
xe
x
>
1
显
然失败,
失败区间在
(
0,1
)
,
故思考取等区间在
(
0,1
)
上的切线放缩式子,
构造
ln
ex
?
p>
ex
1
,
取等条件
为
x
=
1
,<
/p>
e
即
ln
x
p>
?
ex
2
,只需证
x
2
e
x
p>
>
ex
-
1
,这时需要涉及找点的知识,虽然此式已经构造成功,但这里不详叙述;
2
e
2
ln
x
+
1
x
构造
e
>
2
利用切
线放缩,过原点切线
e
?
ex
,
x
?
ln
x
2
+
1
,故
e
x
?
< br>ex
e
x
?
ln
x
2
+
1
恒成立
.
3
x
3
x
x
x
达
标
训
p>
练
1
.
(
2018
?
广东期末
)已知函数
f
(
x
)
的定义域是
R
,其导函数是
p>
f
?
(
x
)
,且
f
?
(
x
)
…
0
,则满足不等式
f
(ln<
/p>
t
)
?
ln
p>
t
?
1
?
f
(
1
)
的实数
t
的集合是(
)
A
.
p>
[
e
,
??
)
B
.<
/p>
[
1
,
??
p>
)
C
.
(
0
,
e
]
D
.
< br>[
e
?
1
,
e
]
2
.
(
2019
?
沈阳一模)已知函数
f
(
x
)
?
alnx
?
2
x
,若不等式
p>
f
(
x
?
1)
?
ax
?
2
e
x
在
x
?
(0,
??
)
上恒成立,则
实数
a<
/p>
的取值范围是(
)
A
.
p>
a
?
2
2
B
.
p>
a
…
C
.
a
?
0
2
a
2
p>
D
.
0
剟
m
x
3
.
(
2019
?
全国Ⅰ卷调研
)设实数
m
?
0
,若对任意的
x
?
e
,若不等式
x
ln
x
?
me
?
0
恒成立,则
m
的
最大值为
(
)
1
A
.
p>
e
e
B
.
3
C
.
2
e
D
.
e
p>
4
.
(
2018<
/p>
?
衡水中学)已知
x
0
是方程
2
x
2
e
2
x
+
ln
x
=
0
的实根,则关于实数
x
0
的判断正确的是(
)
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-
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