-
秒杀秘籍：同构式问题构造
xe
x
与
xlnx
我们发现，
f
(
x
)
=
xe
x<
/p>
在
(
-
1,
+
キ
)
骣
1
骣
1
琪
，
而
f
(
< br>x
)
=
x
ln
x
在
琪
，
在
0,
?
琪
琪
,
+
キ
e
桫
e
桫
，
在考查同构式的类型中，
< br>构造
xe
x
来求取值范围，构造
x
ln
x
来判
断零点个数及分布；
1
ln
x
拮
x
ln
a
e
x
ln
a
>
x
ln
x
=
e
ln
< br>x
ln
x
?
x
ln
a
ln
x
?
a
e
e
，
ln
a
同构式模型：
①
a
x
>
log
a
x
?
e
x
ln
a
②
e
l
x
>
ln
x<
/p>
?
l
e
l
x
l
ln
x
?
l
xe
l
x
x
ln
x
=
e
ln
x
ln
x
?
l
< br>x
ln
x
?
l
1
；
e
ln
x
+
1
③
e
ax
+<
/p>
ax
>
ln
(<
/p>
x
+
1
)
+
x
+
1
=
e
(
)
+
ln
(
x
< br>+
1
)
?
ax
ln
(
x
+
1
)
专
题
7
指
对
跨
阶
系
列
二
之
同
构
式
构
< br>造
【例
1
】
对于任意的
x
>
0,
不等式
a
x
>
log
a
x
(
a
>
0,
且
a
?
1)
< br>恒成立，则
a
的取值范围是
．
解：
a<
/p>
x
>
log
a<
/p>
x
?
e
x
ln
a
在
(
0,
e
)
?
,
(
e
,
ク
)
ln
x
< br>ln
x
ln
x
< br>故只需
x
ln
a
>
ln
x
?
< br>ln
a
，
由于
< br>f
(
x
)
=
拮
x
ln
a
e
x
ln
a
>
x
ln
x<
/p>
=
e
ln
x
ln
x
，
ln
a
x
x
1
1
1
，故
f
(
x
)
max
=
f
(
e
)
=
，
ln
a
>
，即
a
< br>>
e
e
.
e
e
【例<
/p>
2
】
（
2018
?长郡月考）已知函数
f
(
x
)
?
ae
x
?
ln
x
?
1
，若
f
< br>(
x
)
?
0
恒成立，则实数
a
的取值范围是<
/p>
．
解：由题意得：
ae
侈
ln
ex
x
aexe
侈
ex
ln
ex
x
ae
壮
xe
x
e
ln
ex
ì
?
ae
?
1
，
ln
ex
恒成立，则需要满足
í
x
?
ln
ex
ln
x
+
1
?
?<
/p>
显然
x
-
1
?
ln
x
恒成立，
故只需
ae
?
1
，即
a
?
1
.
e
【例
3
】<
/p>
对
?
x
?
0
，不等式
2
ae<
/p>
2
x
?
ln
x
?
ln
a
?
0
恒成立，则实数
a
的最小值为（
）
2
e
1
2
e
A
．
B
．
C
．
2
e
D
．
1
2
e
解：由题意得：
2
ae
2
x<
/p>
?
ln
x
ln<
/p>
a
蕹
2
xe
2
x
x
x
ln
a
x
x
x
x
ln
=
e
ln
蕹
2
x
ln
，令
=
t
，
2
at
< br>?
ln
t
此时要构造过
a
a
a
a
a
lnx
1
1
1
ln
t<
/p>
?
t
2
a
?
a
?
原点的切线放
缩模型
，故
，即
.
e
e
2
e
【例
4
】
（
2018
?武邑期中）设实数
?
< br>?
0
，若对任意的
x
?
(0,
??
)
，不等式
e
?
x
?
范围是
．
?
…
0
恒成立，则
?
的
取值
解：
e
?
x
?
lnx
?
…
0
?
?
xe
?
x
?
x
ln
x
?
e
ln
x
l
n
x
，即
l
x
?
ln
x
恒成立，
l
?
1
.
e
【例
5
】<
/p>
（
2019
?衡水金卷）易知
a
<
0
，不等式
x
a
+
1
?
e
x
a
< br>ln
x
?
0
对任意的实数
x
>
1
恒成立，则实数
a
的最
小值
是（
）
A
．
?
1
2
e
B
．
?
2
e
1
C
．
?
e
< br>-
a
ln
x
xe
?
x
a
x
ln
a
1
1
1
x
ln
=
e
ln
a
蕹<
/p>
x
a
a
x
x
x
1
D
．
?
e
解：由题意得：
x
骣
x
a
?
琪
琪
桫
ln
x
a
+
1
?
e
< br>x
a
ln
x
侈
0
ln
1
对
x
>
1
恒
成立，此时
x
a
，即
< br>a
?
e
，选
D
.
max
【例
6<
/p>
】
（
2019?
武汉调研）
已知函数
f
(
x
)
=
e
< br>x
-
a
ln
(
ax
-
a
)
+
a
(
a
>
0
)
，
若关于
x
的不等式
f
(
x
)
><
/p>
0
恒成立，
则实数
a
的取值范围为（
）
A
．
(
0
,
e
]
B
．
0
,
e
2
?
?
C
．
[
< br>1
,
e
2
]
D
．
(
1
,
e
2
)
x
解：由题意
可知：
e
x
>
a
ln
(
ax
-
a
)
-
a<
/p>
?
e
ln
a
>
ln
(
x
-
1
)
-
1
?
e
x
-
ln
a
x
< br>-
ln
a
>
x
-
1
+
ln
(
x
-
1
)
，即构成同构式
a
< br>2
ln
x
-
1
e
x
-
ln
a
+
x
-
ln
a
>
e<
/p>
(
)
+
ln
(
x
-
1
)
，只需
x
-
ln
a
>
ln
(
x
-
1
)
?
x
ln
(
x
-
1
)
?
2
ln
a
，
a
<<
/p>
e
，故选
B
.<
/p>
【例
7
】
已知方程
x
2
ln
x
=
a
ln<
/p>
a
-
a
ln
x
有
3
个实根，则
实数
a
的取值范围是
．
解：构造
x
ln
x
=
a
ln
a
，根据定义域可知
a
>
0
，如图，当
x
>
1
时，
y
=
x
ln
x
>
0
，此时，仅存在
x
1
=
a
，
x
x
x
2
a
使
< br>x
1
ln
x
1
=
a
ln
a
，
此时只存在两个实根，
不合题意
；
当
0
<
x<
/p>
<
1
时，
则一定
存在
x
1
=
或
者
1
<
x
1<
/p>
<
1,0
<
x<
/p>
3
<
1
x
2
x
2
x
2
e
e
（偏移情况）
，
考虑到极值是左偏的，
故
x
?
骣
1
琪
0,
琪
桫
e
时，
a
?
(
ae
,
?
x
)
，
定义域要求完全覆盖，
故
ae
<
e
，
即
a
<
< br>e
1
1
2
.
x
kx
?
lnx
，对于任意的
x
?
(0,
??
)
恒成立，则
k
的最大值
【例
8
】
（<
/p>
2019
?榆林一模）已知不等式
e
?
1
…
．
解：要取等，看系数，
e
x
?
x
?
1
?
e
x
?
1
?
x
?
1
?
1<
/p>
x
?
kx
?
x
?
1
?
kx
?
lnx
，由于取
等条件不一，且并未消除常
数项，则此放缩法失效，考虑消除常数项
-
1
，故构造
ln
x
?
x
1
取等条件是
x
=
1
，此时取等的
e
x
?
ex
，故
秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键<
/p>
关于指对跨阶，由于
e
属于递增过快，若不是存在
xe
=
e
x
x
x
+
ln
x
e
x
?
x
ln
x<
/p>
+
1
或者
=
e
x
-
ln
x
?
x
ln
x
+
1
之类
x
的可以直接消除对数的，
一般考虑对递增较慢的
ln
x
进行放缩，
但在区间
(
0,1
)
内重点考虑切线放缩，
通常
x
放缩有：
①
ln
x
< br>?
x
1
；
②
ln
x
?
（取等条件
x
=
e
）
；
③
ln
x
?
x
1
蓿
ln
1
1
-<
/p>
1
蕹
ln
x
1
-
1
（取等条件
x
=
1
）
；
e
x
x
x
④
ln
x
?
1
1
蕹
x
ln
x
x
< br>1
x
-
1
；
⑤
ln
x
?
x
1
蓿
ln
ex
ex
-
1
蓿
ln
x
ex
-
2
（
取
等
条
件
x
=
）
；
e
ì
?
e
x
< br>-
1
侈
x
e
x
?
ex
取等条件
x
1
?
?
x
x
2
x
e
2
2
x
x
2
⑥
e
?
x
1
蕹
?
e
?
x
< br>取等条件
x
2
；
⑦
e
?
x
1
(
x
?
0
)
（<
/p>
取
等
条
件
í
e
e
邹
2
4
?
?
x
x
e
3
3
?
e
3
匙
x
e
蕹
e<
/p>
x
取等条件
x
=
3
?
3
27<
/p>
?
(
)
(
)
x
=
0
）
；
(
)
⑧
e
x
?
ex
(
x
-
1
)
(
x
?
0
)
（取等条件
x
=
0
以及
x
=1
，
⑦
和
⑧
根据找基友证明）
2
(
e
-
1
)
x
?
kx
，即
k
?
e
1
．
e
x
【例
9
】
（
2019?
重庆巴蜀月考）已知
f
(
x
)
=
-
a
ln
< br>x
．
x
（
1
）当
a
=
0
时，求函数
f
(
x
)
在
(
0,
+?
)
上的最小值；
e
2
< br>（
2
）若
0
<
a
?
，求证：
< br>f
(
x
)
>
0
.
2
e
x
xe
x
-
e
x
?
解：（
1
）
a
=
0
时，
f
(
x
)
=
，
f
(
x
)
=
，当
x
?
< br>(
0,1
)
时，
f
(
x
)
?
，当
x
?
(
1,
?
x
x
2
f
(
x<
/p>
)
min
=
f<
/p>
(
1
)
=
e
；
)
时，
f
(
x
)
?
，故
e
x
e
x
e
2
（
2
）思路：此题若放缩
，定会遇到很多问题，所以根据
“
放对再放指
”
的原理，由于
f
(
x
)
>
-
ln
x
，
x
x
2
e
2
先放
ln
x
，由于
此题无常数项，故不采用
ln
x
?
x
1
来增加常数项，由于，
的出现暴露了需要
“
降次
”<
/p>
，
2
e
x
ex
x
e
故试用
ln
x
?
，则可得
f
(
x
)
>
-
>
0
，此时只需证明
e
x
>
x
2
，此时再利用
“
指数找基友
”
即可证明不
x
2
e
2
e
2
2
等式，或者放缩成
e
?
x
4
x
e
2
x
也可以；
2
x
x
2
2
x
2
x
证明：
0
<
a
?
e
，由于
ln
x
?
，故
f
(
x
)
=
e
-
a
ln
x
>
e
-
e
ln
x
，故只需
e
-
e
ln
x
>
0
，令
g
(
x
)
=
ln
x<
/p>
-
，
e
x
x
2
2
x
2
g
?
(
x
)
=
h
?
(
x
)
=
1
1
e
2<
/p>
e
ex
2
ex<
/p>
2
x
x
x
=
e
-
=
0
，
e
-
x
>
0
当
时
g
(
x
)
max
=
ln
e
-
e
=
0
，
即
ln
x<
/p>
?
e
，
故只需证
，
只需证
e
x
<
2
令
h
(
x
)
=
e
x
，
x
e
2
e
x
< br>ex
(
2
-
x
)
，故
h
(
x
)
在
(
0,2
)
?
，
在
(
2,
+
ク
)
当
x
=
2
时，
h
(
x
)
min
=
h
(
2
)
=
e
2
<
2
，即证
．
4
【例
10
】
（
2018
?甘肃会宁）已知函数
．
e
x
f
(
x
)
?
,
g
< br>(
x
)
?
ln
x
?
1
x
（
1
）求函数
f
(
x
)
的
单调区间；（
2
）证明：
x
3
f
(
x
)
?
g
(
x
)
解（
1
）参考例
9
；（
< br>2
）思路
1
：第（
1
）问不会白给，故利用
“
分而治之
”
，此过程一定要有凹凸函数的反
2
2
e
x
ln
x
+
1
转
，构造
f
(
x
)
=
>
3
=<
/p>
h
(
x
)
，利用
f
(
x
)
min
=
e
>
h
(
x
)
max
=
h
e
-
3
=
e
；
x
x
3
(
)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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