-
专题
14
利用函数同构解题
【方法点拨】
1.
< br>一个方程中出现两个变量
,
适当变形后
< br>,
使得两边结构相同
;
或不等式
两边式子也可
适当变形
,
使其两边结构
相同
,
然后构造函数
,
利用函数的单调性把方程或不等式化简
.
2.
为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常
用的方法有：
x
?
e
、
xe
?
e
ln
x
x
ln
x
?
x
、
x
e
?
e
< br>2
x
2ln
x
< br>?
x
x
e
x
ln
x
?
1
?
ln
，
l
n
x
?
ln
a
?
ln
ax
、
、
?
e
?
ln
x
?
x
、
e
x
有时也需要对
两边同时加、乘某式等
.
3.
常见同构式
:
< br>x
ln
x
与
xe
x
型：
x
ln
x
?
ln
xe
ln
x
，
xe
x
?
e
ln
x
e
x
；
x
?
ln
x
与
x
?
e
x
型：
x
?
ln
x
?
ln
x
?
e
ln
x
，
x
?
e
x
?
e
< br>ln
x
?
e
x
.
【典型题示例】
例
1
（
2020·
新课标卷
Ⅱ
文数
·12
）若
2
x
?
2
y
?
3
?
x
?
3
?
y
，则（
）
A
．
ln(
y
?
x
?
1)
?
0
B
．
ln(
y
?
x
?
1)
?
0
C
< br>．
ln
|
x
?
y
|
?
0
<
/p>
D
．
ln
|
x
?
y
|
?
0
【答案】
A
【分析】
将已知
2
x
< br>?
2
y
?
3
?
x
?
3
?
y
按照
“左
右形式形式相当，
一边一个变量”
的目的变形，
然后逆用函数的单调性
.
【
解析】由
2
x
?
2
y
?
3
?
x
?
3
?
y
移项变形为
2
x
?
3
?
x
?
2
y
?
3
?
y
x
?
x
设
< br>f
(
x
)
?
2
?
3
易知
f
(<
/p>
x
)
是定义在
R
上的增函
数，故由
2
< br>x
?
3
?
x
?
2
y
?
3
?
y
，可得
x
?
y
，所以
y
?
x
?
0
?
y
?
x
?
1
?
1,
从而
ln(
y
?
x
?
1)
?
0
，故选
A
．
例
2
（
2020
·山东·
21
）已知函数
f
(
x
)
?
a
e
x
?
1
?
ln
x
?
ln
a
，若
f
(
x
)
?
1
，求
a
的取
值范围
.
【解析】将
f
(
x
)
?
1
按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：<
/p>
由
f
(
x
)
?
a
e
x
?
1
?
ln
x
?
< br>ln
a
?
1
移项得：
a
e
x
< br>?
1
?
ln
a
??
ln
x
?
1
即
e
ln
a
?
x
?
1
?
ln<
/p>
a
?
ln
x
?
1
，两边同时加（
x
?
1
）得
e
ln
a
?
x
?
1
?
x
?
ln
a
?
1
?
ln
x
?
x
即
e
ln
a
?
x
?
1
?
?
x
?
ln
a
?
1
?
?
ln
x
?
e<
/p>
ln
x
设
g
(
x
)
?
x
?
e
x
，则
g
?
(
x
)
?
1
?
e
x
?
0
，所以
g
(
x
)
单增
所以
ln
a
?
x
?
1
?
ln
x
，即
x
?
ln
x
?
ln
a
?
1
?
0
设
h
(
x
)
< br>?
x
?
ln
x
?
ln
a
?
1
，则
h
?
(
x
)
?<
/p>
1
?
1
，所以
h
(
x
)
在
(0,1)
单减
，在
(1,
??
)
单增，
x
所以
h
(
x
)
min
?
h
(1)
?
ln
a
?
1
?
0
，所以
a
?
1
.
点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数
升指数等，把不等式转化为左右
两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅
助函数．
x
?
x
例
3
已知函数
f
(
x
)
?
3
?<
/p>
3
，
f
(1
?
2log
3
t<
/p>
)
?
f
(3lo
g
3
t
?
1)
?
log
1
t
，则
t
的取值范
3
围是
．
【答案】
[1
,
??
)
【
分
析
】
这
里
可
以
发
现
log
1
?
?
log
3
?
(2log
3
?
1)
?
(3lo
g
3
?
1)
,
将
3
t
t
t
t
f
(1
?
2log
3
t
)
?
f
(3log
3
t
?
1)<
/p>
?
log
1
t<
/p>
3
移
项
变
形
为
x
?
x
f
(3log
3
t
?
1)
?
(3log
3
t
?
1)
?
(2log
3
t
?
1)
?
f
(1
?
2l
og
3
t
)
，
易知
f
(
x<
/p>
)
?
3
?
3
是奇函数，
?
f<
/p>
(1
?
2log
3
t
)
?
f<
/p>
(2log
3
t
?
1)
，
故
进
一
步
变
形
为
f
(3log
3
t
?
1)
?<
/p>
(3log
3
t
?
1)
?
f
(
2log
3
t
?
1)
?
(2log
3
t
?
1)
，
< br>此时
,
得到一个
“
左右形式相当，
t
t
一边一
个变量
”
的不等式，令
F
(
x
)
?
< br>f
(
x
)
?
x
，问题转化为
F
(3log
3
?
1)
?
F
(2log
3
?
1)
，
只需
研究
F
(
x
)
?
f
(
x
)
?
x
的单调性，逆用该函数的单调性即可
.
【解析】
∵
log
1
?
?
log
3
?
?
(1
?
2log
3
)
?
(3log
3
?
1)
3
t
t
t
t
∴
f
(1
?
2log
3
t
)
?
f
(3log
3
t
?
1)
?
log
1
t
可变形为：
3
f
(3log
3
t
?
1)
?
(3
log
3
?
1)
?
(2log
3
?
< br>1)
?
f
(1
< br>?
2log
3
t
)
∵
f
(
x
)
?
3
x
?
3
?
x
是奇函数
∴
?
f
(1
?
2log
3
t
)
?
f
(2log
3
?
1)
∴
f<
/p>
(3log
3
t
?
1)
?
(3log
< br>3
t
?
1)
?
f
(2log
3
t
?
1)
?
< br>(2log
3
t
?
1)
令
F
(
x
)
?
f
(
x
)
?
x
?
3
?<
/p>
3
∴
F
(
x
)
单增
∴
3log
3
?
1
?
2log
3
?
1
，即
log<
/p>
3
?
0
，解之得
t
?
1
所以<
/p>
t
的取值范围是
[1
,
??
)
．
t
t
t
x
?
x
t
t
t
?
x
，则
F
?
(
x
)
?
ln
3
?
3
x
?
< br>ln
3
?
3
?
x
?
1
?
0
<
/p>
5
x
3
例
4
已知实数<
/p>
x
1
，
x
2
满足
x
1
e
1
?
e
，
x
2
?
< br>ln
x
2
?
2
?
?
e
，则
x
1
x
2
?
______.
< br>t
?
2
【分析】由已知条件考虑
将两个等式转化为统一结构形式，令
ln
x
2
?
2
?
t
,
x
2
?<
/p>
e
，得到
x
te
t
?
e
3
，研究函数
f
(
x
)
?
xe
的单
调性，求出
x
1
,
t
关系，即可求解
.
3
解法一：实数
x
1
，
x
2
满足
x
1
e
1
?
e
，
x
2
?
ln
x
< br>2
?
2
?
?
e
，
x
5
x
1
?
0,
x
2
?
e
2
，
ln
x
2
?
2
?
t
?
0,
x
2
?
e
t
?
2
，则
te
t
?
e
3
，
f
(<
/p>
x
)
?
xe
x
(
x
?
0),
f
?
(
x
)
?
(
x
?
1)
e
x
?
0(
x
< br>?
0)
，
3
所以
f
(
x
)
在
(0,
??
)
单调递增，而
f
(
x
1
)
< br>?
f
(
t
)
?
e
，
?
x
1
?
t
?
ln
x
2
?
2,
?
x
1
x
2
?
x
2
(ln
x
2
?
2)
?
e
5
.
x
3
解析二：对
x
1
e
1
?
e
两边取自然对数得：
ln
x
1
?
x
1
?
3
，
对
x
2
< br>?
ln
x
2
?
2
?
?
e
两边取自然对数得：
ln
x
2
?
ln
?
ln
x
2
?
2
?
?
5
< br>
（※）
5
为
使两式结构相同，将（※）进一步变形为：
?
ln
x
2
?
2
< br>?
?
ln
?
ln
x
2
?
2
?
?
3
设
f
(
x
)
?
ln
x
?
x
，则
f
?
(
x
)
?
1
?
1
< br>?
0
x
所以
f
(
x
)
在
(0,
??
)
单调递增，
f
(
< br>x
)
?
3
的解只有一个
.
5
∴
x
1
?
ln
x
2
?
2
，
∴
x
1
x
2
?
?
ln
x
2
?
2
?
x
2
?
e
点评
:
两种解法实质相同，
其
关键是对已知等式进行变形，
使其
“
结
构相同
”
，
然后构造函数，
利用函数的单调性，利用是同一方程求解
.
【巩固训练】
1.
< br>如
果
cos
5
< br>?
?
sin
5
< br>?
?
7(cos
3
?
?
sin
3
?
)
，
?
< br>?
[0,
2
?
< br>)
，
则
___________
___.
2.
不等式
?
的
取
值
范
围
是
8
10
?
?
x
3
?
5
x
?
0
的解集是
______________
.
3
(
x<
/p>
?
1)
x
?
1
3
3
3.
已知
?
?
?
0,2
?
?
，
若关于
k
的不等式
si
n
?
?
cos
?
?
k
sin
?
?
cos
?
在
?
??
,
?
2
?
上恒成立，
?
?
则
?
的
取值范围为
．
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