(完整版)将军饮马系列最值问题-教师版

2021年2月11日发(作者：portuguese)

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

“将军饮马”系列最值问题

知识回顾

1.

两点之间，线段最短．

2.

点到直线的距离，垂线段最短．

3.

三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．

4.

A

、

B

分别为同一圆心

O

半 径不等的两个圆上的一点，

R

?

r

?

AB

?

R

?

r

当且仅当

A

、

B

、

O

三点共线时能取等号．

知识讲解

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．

< /p>

有一天，

有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解 的问题：

如图，

将军从

A

出发到河边

饮马，

然后再到

B

地军营视察，

显然有许多走法．

问怎 样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，

便

作了完善的回答 ．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．

下面我们来看 看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．

根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．

B

在河流的异侧，直接连接

AB

，

AB

与

l

的交点即为所求．

若

A

、

B

在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然 要把折线变成直线再解．

若

A

、

1

/

19

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线

< /p>

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想

轴对称及其性质：

把一个图形沿某一条直线折叠，

如果直线两旁的部分能够互相重合，

那么这个图形就叫做轴对称图

形．这条直线就是它的对称轴．这 时我们就说这个图形关于这条直线

(

或轴

)

对称．如等腰

?

ABC

< p>
是轴对

称图形．

把一个图形沿着某一条直线折叠，

如果它能够与另一个图形重合，< /p>

那么就是说这两个图形关于这条

直线对称，这条直线叫做对称轴， 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

如下图，

< p>
?

ABC

与

?

< p>
A

'

B

'

C

'

关于直线

l

对称，

l

叫做对称轴．

A< /p>

和

A

'

，

B

和

B

'

< p>
，

C

和

C

'

是对称点．

轴对称的两个图形有如下性质：

①关于某条直线对称的两个图形是全等形；

②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；

< p>
③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

2

/

19

线段垂直平分线：

垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

当已知条件出现了等腰三角形、< /p>

角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，

通常考虑作轴

对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐

< p>
标轴）

，都可以考察“将军饮马”问题。

考察知识点：

“两点之间线段最短”

，

“垂线段最短”

，

“点关于线对称”

，

“线段的平移”

。

解题总思路：

找点关于线的对称点实现“折”转“直”

，近两年出现“三折线”转“直”等变式问

题考查。

构建“对称模型”实现转化

C

P

M

C

C

A

M

B

A

P

B

C

M

B

P

P

< br>P

M

C

A

A

B

P

B

M

C

A

M

C

B

M

P

B

A

P

A

B

C

M

A

常见模型：

（

1

）

PA

?

PB

最小

PA

?

PB

…

BC

3

/

19

同侧

A< /p>

B

P

图

1

l

B

P

异侧

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

l

A'

图< /p>

2

A

（

2

）①< /p>

PA

?

PB

最小

同侧

A

B< /p>

P

图

4

l

异侧

l

P

图

5

A

异侧

< p>
A'

B

P

图

6

l

A

B

< br>

②

PA

?

PB

最大

异侧

同侧

B

A

P

A'

A

l

l

P

B

【变形】异侧时，也可以问：在直 线

l

上是否存在一点

P

使的直线

l

为

?

APB

的角平分线

（

3

）周长最短

类型一

类型二

类型三

A'

A'

A

B

P

A '

B

A

O

C< /p>

A''

A

M

N< /p>

B'

B

（

4

）

“过河”最短距离

类型一

类型二

4

/

19

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

B'

B

M< /p>

N

B

N

M

A

N

l

M

< p>
A'

A

B''

（

5

）线段和最小

E

E

Q

Q

l< /p>

2

P

A

l

2

B

l

1

< p>
B

l

1

A

P

F

F

（

6

）在直角坐标系里的运用

B

A

A'

E

A

B

A

A'

B

< p>
M

A''

N

P

< p>
A'

F

B'

< p>
B

B'

A

E

A'

A

M

A'

EF=

1

N

B

F

B'

A''

B

< p>
E

A'

P

A

?

APE=

?

BPE

同步练习

5

/

19

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

【例

1

】

尺规作图，作线段

AB

的垂直平分线，作

?

COD

的角平分线．

【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．

【变式练习】已知：如图，

?

ABC

及两点

M

、< /p>

N

．求作：点

P

，使得

PM

?

PN

，且

P

点到

?

ABC

两边

所在的直线的距离相等．

M

A

N

B

C

【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．

因为是两边所在的直线，所以有两个答案：

?

ABC

内 角平分线与线段

MN

的垂直平分线的交点

P

1

；

?

ABC

外角平分线与线段

MN

的垂直平分线的交点

P

2

．

M

A

P

1

D

B

P

2

E

N

C

【例

2

】

< p>
已知点

A

在直线

l

外，点

P

为直线

l< /p>

上的一个动点，探究是否存在一个定点

B

，当点

P

在直线

l

上运动时，点

P

与

A

、

B

两点的距离总相等，如果存在，请作出定点

B

；若不存在，请说明理

由．

6

/

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同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

A

P

l

B

【解析】作

A

点关于直线

l

的对称点，即为

B

点．

< p>
【例

3

】

如图，在公路< /p>

a

的同旁有两个仓库

A

< br>、

B

，现需要建一货物中转站，要求到

< br>A

、

B

两仓库的距

离和最短，这个中转站

M

应建在公路旁的哪个位置比 较合理？

B

A

a

【解析】作

A

点关于直线

a

的对称点

A

< p>
'

，在连接

A

'

B

于直线

a

的交点即为

M

点．

< /p>

【变式练习】如图，

M

、

N

为

?

ABC

的边

AC

、

BC

上的两个定点，在

AB

上求一点

P

，使

?

PMN

< br>的周

长最短．

C

M

C

M

N

< br>N

A

P

B

A

B

E

【解析】

如图，

作对称再连接．

这题实质还是

“将军饮马”

问题，

在

AB

上找一点

P

，

使得

PM

?

PN

之和最小．

【巩固】若此题改成，在

a

上找到

M

、

N

两点，且

MN

?

10

，

M

在

N

的左边，使四边形

ABMN

的周长

最短．

7

/

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同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

B

B

A

a

A

M

A'

a

N

A''

AA

'

?< /p>

MN

?

10

，作

A

'

点关于直线

a

的对称点

A

''

< br>，连接

BA

''

与直线

a

的交点即

【解析】作

A

点

AA

'

∥

a

，

为所求

N

点，再向左平移

10

个单位即为所求< /p>

M

点．

【例

4

】

(

”五羊杯”邀请赛试题

)

如图，

?

AOB

?

45

< p>
?

，角内有点

P

，在角的 两边有两点

Q

、

R

(

均不同

于

O

点

)

，求作

Q

、

R

，使得

?

PQR

的周长的最小．

【解析】如图，作对称再连接．

【例< /p>

5

】

已知：如图，

C

、

D

分别是

?

AOB

内两点，

OC

?

OD

，

（

1

）分别在角两边各取两点

E

、

F

，使得

△

CEF

周长

l

1

（

2

） 分别在角两边各取两点

M

、

N

，使得

△

DMN

周长< /p>

l

2

最小

（

3

）

l

1

、

l

2

是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明原因．

8

/

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同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

G

P

A

E

M

C

D

O

F

N

H

Q

B

A

C

< br>D

O

B

【解析】如图

,

分别做对称再连接．

△

CEF< /p>

周长

l

1

最小< /p>

PQ

，

△

DMN

周长

l

2

最小

GH

l

1< /p>

?

l

2

，

△

GOH

≌△

POQ

，

PQ

?

GH

【例

6< /p>

】

如图，在

?

P OQ

内部有

M

点和

N

点，同时能使

?

MOP

?

?

NOQ

，这时在直 线

OP

上再取

A

点，

使从

A

点到

M

点及

N

点的距离和为最小；在直 线

OQ

上也取

B

点，使从

B

点到

M

< br>点和

N

点

的距离和也最小．证明 ：

AM

?

AN

?

BM

?

BN

．

Q

Q

N< /p>

1

B

N

M

P

M

1

B

< p>
N

O

A

M

P

O

A

【解析】

如图，

M

1

点与

M

点关于射线

OP

成对称，

而

N

1

点与

N

< p>
点关于射线

OQ

对称，

这 是

A

点和

B

点

分别位于线段

NM

1

< br>和线段

N

1

M

< br>上，

OM

?

OM

1

，

ON

?

< br>ON

1

，

?

N

1

OM

?

2

?

NOQ

?

?

NOM

，

?

NOM

1

?

2

?

MOP

?

?

NOM

，∵

?

MOP

?

?

NOQ

，∴

?

N

1

OM

?

?

NOM

1

，

易证

△

< br>N

1

OM

≌

△

NOM

1

，∴

< br>N

1

M

?

NM

1

，∴

N

1

B

?

BM

?

NA

?

AM

1

，即

BN

?

BM

?

AN

?

AM

.

【例

7

】

已知如图，

点

< br>M

在锐角

?

AOB

的内部，

在

OB

边上求作一 点

P

，

使点

P

到点

M

的距离与点

P

到

OA

的边的距离和最小．

9

/

19