-
--
圆锥曲线题型总结
(2015)
一．圆锥曲线的定义
第一定义中要重
视“括号”内的限制条件
:
椭圆中
,<
/p>
与两个定点
F
1
，
F
2
的距离的和等于常数
2
a
,
且此
常数
2
a
一定要大于
F
1
F
2
,
当常数等于
F
1
F
2
时，轨迹是线段
F
1
F
2
,<
/p>
当常数小于
F
1
F
2
时，无轨迹；双曲
线中，与两定点
F
1
，
F
2
的距离的差的绝对值等于常数
2
a
，且此常数
2
a
一定要小于
|F
1
Ｆ
2
｜，定义中的
“绝对值”与
2
a
＜
|F
1
F
2
|
不可忽视。若
2
a
＝
|
Ｆ
1
Ｆ
2
|
，则轨迹是以
F
1
,F
2
为端点的
两条射线
,
若
2
a
﹥
|F
1
F
2
｜，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双
曲线的一支。
定义的试用条件：
<
/p>
例
1:
已知定点
F
1
(
?
3<
/p>
,
0
),
F
2
(
3
,
0
)
，在满足下列条件的平面上动点
P
的轨迹中是椭圆的
(
)
A
．
PF
B
．
PF
C.
PF
D.
PF
1
1
?
PF
2
?
10
1
?
PF
2
< br>?
4
1
?
PF
2
?
6
例２
:
方程
(
x
?
6)
2
?
y
2
?
(
x
?
6)
2
?
y
2
?
8
表示的曲线是
_____
＿
____
2
?
< br>PF
2
2
?
12
利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离：
x
2
例
3
：
如已知点
Q
(<
/p>
2
2
,
0
)
及抛物线
y
?
上一动点Ｐ
(
x
,
y
）
，则ｙ
+
｜Ｐ
Q|
的最小值是
_
＿
__
＿
_____
4
例
4:
点Ａ
(3
，
2
）为定点<
/p>
,
点Ｆ是抛物线
y
?
4
x
的焦点
,
点
P
在抛物线
y
?
4
x
上移动，若
|
P
A
|
?
|
P
F
|
取
得最小值
,
求点
P
的坐标。
< br>
2
2
利用定义求轨迹
:
例
5
：
动圆
M
与圆Ｃ
1
:(x
＋
1)
＋ｙ
=
３
6
内切
,
与圆
C
２
:(x-
１
)
+
ｙ
=
４外切
,
求圆心Ｍ的轨迹方程
例
6:
已知
F
1
、
F
2
是椭圆的两个焦点，
P
是椭圆上的一个动点
,
如果延长
F
1
< br>P
到
Q
,
使得
PQ
?
PF
2
,
那
么动点
Q
的轨迹是（
)
A
、椭圆
Ｂ、圆
C
、直线
D
、点
例
7
:
已知动圆
P
过定点
< br>A
(
?
3
,
0
)
，并且在定圆
B
:
(
x
?
3
)
?
y
?
64
的内部与其相内切，求动圆圆
心
P
的
轨迹方程
.
2
2
2
2
2<
/p>
2
--
--
例
8:
已知
A
(
?
,
0
)<
/p>
，
B
是圆
F
:
(
x
?
)
?
y
?
4
（
F
为圆心）上一动点，
线段
AB
的垂直平分线交
BF
于
P
,
则动点
P
的轨迹方程为
1
2
1
2
2
2
定义的应用
：
x
2
y<
/p>
2
?
?
1
上一点
M
到焦点
F<
/p>
1
的距离为２
,
N
为
MF
1
的
中点，
O
是椭圆的中心
,
则
ON
的值
例
9:
椭圆
25
9
是
真题
:
x
2
y
2
【
2
０
1
５高考福建
,
理
3
】
若双曲
线
E
:
?
?<
/p>
1
的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
点
P
在双曲线
E
上
,
且
9
16
PF
1
?
3
，则
PF
2
等于
( )
Ａ．
11
B
．９
Ｃ．
5
D.
３
<
/p>
【
2
０
13
新课标Ⅰ卷文科２
1
】
已知圆
M
:
(
x
?
1)
?
y
?
1
,
圆
N
:
(
x
?
1)
?
y
?
9
，动圆
P
与圆
M
外切并且与
圆
N
内切，圆心
P
的轨
迹为曲线
C
。
（Ⅰ
)
求
< br>C
的方程
;
?
< br>（Ⅱ
)
l
是与圆
P
，圆
M
都相切的一条直线<
/p>
,
l
与曲线
C<
/p>
交于
A
,
B
两点，当圆
P
的半径
最长是，求
|
AB
|
。
【２０
15
新课标
1
卷文科
16
】
2
2
2
2
y
2
?
1
的右焦点，
Ｐ
是
Ｃ
左支上一点
,
A
0,6
6
,
当
?
APF
周长最小时，该三
已知
P
是双曲线
C
< br>:
x
?
8
2
?
?
角形的面积为
.
二．圆锥曲线的标准方程
（标准方程是指中心
(
顶点
< br>)
在原点
,
坐标轴为对称轴时的
标准位置的方
程）
:
椭圆
：
焦点在
x
轴上时
:
双曲
线
:
焦点在
y
轴上时：
焦点在
x
< br>轴上时：
焦点在
y
轴上时：
--
--
抛物线方程：
求方程的方法
:
定义法、待定系数法、直接法、代入法
、参数法、几何法等。关键是形数结合，建立等
量关系
例１０
:
设中心在坐标原点
< br>O
,
焦点
F
1
、
F
2
在坐标轴上，离心率
e
?
的方程为
___
＿＿＿＿
2
的双曲线
C
过点
P
(
4
,
?
10
)
，则
C
x
2
y
2<
/p>
例
1
１：
与双曲
线
?
?
1
有相
同渐近线
,
且经过点
A
（
2
3
,-3
）的双曲线的方程是
__
＿
_
___
＿＿＿
_
16
9
例
12:
已知直线
l
：
y=x+3
与双曲
线
4
x
?
2<
/p>
3
2
y
?
1
，
如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆
,
使椭圆与
l
有公共
4
点，求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。
例
13
：
已知椭圆方程焦点在ｘ轴，且过
?
1
,
?
4
2
?<
/p>
?
,
2
5
?
?
与
?
2
，
?
两点
,
则椭圆方程是
__________
＿
?
?
< br>?
3
?
?
3
?
?
?
x
2
y
2
5
例
14
：
双曲线的
离心率等于
，且与椭圆
?
?
1
有公共焦点
,
则该双曲
线的方程
_
＿
_____
9
4
2
例１５：
椭圆
ax
?
by
?
ab
?
0(
a
?
b
?
0)
的焦点坐标是
(
)
A.
(
?
a
?
b
,0)
Ｂ
.
(0,
?
a
?
b
)<
/p>
Ｃ
.
(
?
b
?
a
,0)
D
．
D
．
<
/p>
(0,
?
b
?<
/p>
a
)
例１
6
：
已知中心在原点的椭圆Ｃ的两个焦点和
椭圆
C
2
:
4
x
?
9
y
?
36
的两个焦点一个正方形的四个顶
点，且椭圆
C
过点
A
（
2,
－
3
)
，求椭圆
C
的方程。
2
2
2
2
真题
:
x
2
y
2
5
【
20
１
5
高
考广东，
理
7
】
已知双曲线
C
:
2
< br>?
2
?
1
的离心率
e
?
,
且其右焦点
F
2
?
5,0
?
,
则双曲线
C
的
a
b
4
方程为
(
）
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
< br>2
y
2
Ａ．
?<
/p>
?
1
B.
?
?
1
C.
?
?
1
D.
?
?
1
4
3
16
9
9
16
3
4
--
--
x
2
y
2
【
2
０
15
高考新课标<
/p>
1,
理
14
】一
个圆经过椭圆
?
?
1
< br>的三个顶点
,
且圆心在
ｘ
轴的正半轴上，则该圆
16
4
的标准方程为
．
x
2
y
2
【
2015<
/p>
高考天津，
理
6
】
已知双曲线
2
?
2
?
1
?
a
?
0,
b
?
0
?
的一条
渐近线过点
2,
3
< br>,
且双曲线的
a
b
?
?
一个焦点在抛物线
y<
/p>
2
?
4
7
x
的准线上
,
则双曲线的方程为（
) <
/p>
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A
．
?
?
1
Ｂ．
?<
/p>
?
1
Ｃ．
?<
/p>
?
1
D.
?
?
1
21
28
28
21
3
4
4
3
三．圆锥曲线焦点位置的判断
(
首先化成<
/p>
标准方程
，然后再判断
)
椭圆：
由
双曲线：
由
，
,
分母的大小决定
,
焦点在分母大的坐标轴上。
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
抛物线：
焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
x
2
y
2
例
17
：
已知方程
?
?
1
表示焦点在
y
轴上的椭圆
,
则
m
的取值范围是
m
?
1
2
?
m
例
18:
已知方程
kx
?
y
?
a
表示焦点在
x
轴上的
椭圆，则实数
k
的范围是
.
例
19:
如果方程
x
?
ky
?
2
表示焦点在
< br>y
轴上的椭圆
,
求实数
k
的取值范围。
2<
/p>
2
2
2
x
2
y
2
?
?
1
，
k
为
时
,
方程为双曲线。当
k
为<
/p>
时，方程为焦点为
x
轴的椭圆。
例
20
：<
/p>
方程
9
?
k
5
?
k
例２１
:
方程
Ax
?
By
?
C
表示双曲线的充要条件是什么
?(ABC
≠<
/p>
0,
且
A
，
B
异号）
。
例
22:
已知抛物线
y
?
?
2
2
1
2
x
，则此
抛物线的焦点坐标为
．准线方程为
. <
/p>
4
四．圆锥曲线的几何性质
(
离心率、渐近线等）
离心率问题
:
x
2
y
2
椭圆
（以
2
?
2
?
1
(
a
?<
/p>
b
?
0
)
为例
)
：①范围
:<
/p>
?
a
?
x
?
a
,
?
b
?
y
?
b
;
②焦点
:
两个焦点
(
?
c
,0)
；③
a
b
对称性
:
两条对称轴
x<
/p>
?
0,
y
?
0
,
一个对称中心
(0,0)
，四个顶点
(
?
a
,0),(0,
?
b<
/p>
)
,
其中长轴长为２
a
,
短轴
长为２
< br>b
;
④
离心率
< br>:
e
?
c
，椭圆
?
0
?
e
?
1
，
e
越小
,
椭圆越圆；
e
越大
,
椭圆越扁。
a
a,b
，ｃ三者知道任
意两个或三个的相等关系式，可求离心率
,
渐进线的值
;a,
ｂ，
c
三者知道
任意两个或三
--
--
个的不等关
系式
,
可求离心率，渐进线的最值或范围
;
注重数形结合思想不等式解法
x
2
y
2
双曲线
（以
?
?
1<
/p>
(
a
?
0,
b
?
0
)
为例
):
①范围：
x<
/p>
?
?
a
或
x
?
a
,
y
?
R
;
②焦点：两个焦点
(
?
c
,0)
；
a
2
b
2
③对称性
:<
/p>
两条对称轴
x
?
0,
y
?
0
,
一个对称中心
（
0,
< br>０
),
两个顶点
(
?
a
,0)
,
其中实轴长为２
a
，
虚轴长
为
2
b
，特别地
,
当实轴和虚轴的长相等时
,
称为等
轴双曲线，其方程可设为
x
2
?
y
2
?
k
,
k
?
0
；
④离心率：
c
，双曲线
?
e
?
1
,
等轴双曲线
?
e
?
2
，
e
越小，开口越小
,
e
越
大
,
开口越大；⑥两条渐近线：
a
b
y
?
?
x
a
p
2
抛物线
(
以
y
?
2
px
(
p
?
0)
< br>为例）
:
①范围：
x
?
0,
y
?
R
；②焦点
:
一个焦点
(
,0)
,
其中<
/p>
p
的几何意义
2
e
?
是：焦点到准线的距离；③对称性
:
一条对称轴
y
?
0
,
没有对称中心
,
只有一个顶点（
0,0);
④准线：一条
准线
x
?
?
p
c
；
< br>⑤离心率：
e
?
，抛物线
?
e
?
1
。
a
2
离心率求法
:
(1)
画出图
型，尽量把能表示的边都用关于
a
,
b
,
c
的式子表示
(2
）通过几何关系，建立关于
a
,
b
,
c
的等式
（
3
）消去
b
,
同时除
以
a
2
或
a<
/p>
，解关于
e
的方程
x
2
y
2
例
2
３
:
椭圆
G
:
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
的两焦点为
F
1
(
?
c
,0),
F
2
(
c
,0)
，椭圆上存在点
M
使
a
b
FM
?
F
2
M
?<
/p>
0
.
则椭圆离心率
e
的取值范围是
.
1
x
2
y
2
例
24
:
在平面直角坐标系
xOy
中
,
若双曲线
?
?
1
的离心率为
5
,<
/p>
则
m
的值为
.
m
m
2
?
4
x
2
y
2
例２
5
：
过椭圆
C
:
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
的左焦点作直线
l<
/p>
⊥
x
轴，交椭圆
C
于
A
，
B<
/p>
两点
,
若△
OA
B
(
Ｏ
为
a<
/p>
b
坐标原点）是直角三角形，则椭圆
C<
/p>
的离心率
e
为
.
x
2
y
2
3
a
例２６：
设
F
1
< br>F
2
是椭圆
E
< br>:
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
的左、右焦点
,
P
为直线
x
?
上一点，
?
F
2
PF
1
是底
a
b
2
角为
30
的等腰三角形，则
E
的离
心率为
.
x
2
y
2
例
27
：
双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞０
,b>0
）的两个
焦点为Ｆ
1
、
F
2
,
若
P
为
其上一点
,
且｜
P
Ｆ
1
|
＝
2|P
Ｆ
2
|,
则双曲线
a
b
离心率的取值范围为<
/p>
.
--
--
真题
:
【
2
０
15
高考湖北，
理
8
】
将离心率为
e
1
的双曲线
C
1
的实半轴长
a
和虚半轴长
b
(
a
?
b
)
同时增加
m<
/p>
(
m
?
0)
个
单位长度
,
得到
离心率为
e
2
的双曲线
C
2
,
则
(
）
Ａ．对任意的
a
,
b
，
e
1
?
e
2<
/p>
B.<
/p>
当
a
?
b
时
,
e
1
?
e
2
；当
a
?
b
时，
e
1
?
e
2
C
．对任意的
a
,
b
，
e
1
?
e
2
D
．当
a
?
b
时，
e
1
?
e
2
;
当
a
?
b
时
< br>,
e
1
?
e
2
【
2
0
１５高考新课标２，理
1
１】
已知
A
，
B
为双曲线
E
的左，右顶点，点
< br>M
在
E
上
,?
A
Ｂ
M
为等腰三角
形
,
且顶角为
120°
，则
E
的离心率为
(
）
A.
5
B.
2
C
．
3
D
．
2
x
2
y
2
【
2015
高考湖南
,
理
13
】
设<
/p>
F
是双曲线
C
:
2
?
2
?
1
的一个焦点，
若
C
上存在点
P
,
使线段
PF
的中点恰
a
b
为其虚轴的一个端点，则
C
的离心率为
.
x<
/p>
2
y
2
【
2
０
15
高考山东，
理１
5
】
平面直角坐标系
xoy
中，双曲线
C
1
:
2
?
2
?
1
?
a
?
0,
b
?
0
?
的渐近线与抛
a
b
物
线
C
2
:
x
?
< br>2
py
?
p
?
0
?
交
于
点
O
,
A<
/p>
,
B
,
若
?
OAB
的
垂
心
为
C
2
的
焦
点
，
则
C
1
的
离
心
率
2
为
.
x<
/p>
2
y
2
【
2013
新课标卷Ⅱ文科
5
< br>】
设椭圆
C
:
< br>2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
P
是
C
< br>上的点
a
b
PF
2
?
F
1
F
2
,
?
PF
1
F
2
?
30
?
，则
C
的离心率为（
)
A.
Ｂ
.
C.
D.
渐近线及其它问题：
x
2
y
2
例２
8
：
设
F
1
、
F
2
分别为双曲线
2
?
2
< br>?
1,
（
a
>
０、
b
>0)
< br>的左、右焦点
.
若在双曲线右支上存在点ｐ
,
a
b
满足
PF
2
?
F
< br>1
F
2
,
且
F
2
到直线
PF
1
的距离等于双曲线的实轴长
,
则该双曲线的渐近线方程为
F
2
为双曲线
C
:
x
?
y
?
2
的左、
|
PF
1
|
?
2
|
PF
2
|
,<
/p>
则
cos
?
F<
/p>
1
PF
2
?
例２
9:
已知<
/p>
F
1
、
右焦点<
/p>
,
点
P
在
C
上，
例３
0
：
过抛物线
y
?
4
x
的焦点
F
的直线交该抛物线于
A
,
< br>B
两点，若
|
AF
|
?
3
,
< br>则
|
BF
|
＝
2
2
2
例
31
：
以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为
1<
/p>
时
,
则椭圆长轴的最小值为
--
--
x
2
y
2
例３
2
：
设双曲线
2
?
2
?
1
(
a>0,b>
０）中，离心率
e
∈
[
2
，２
]
，则两条渐近线夹角θ的取值范围是
a
b
真题
:
【２
015
高考安徽
,
理
< br>4
】
下列双曲线中
,
焦点在
y
轴上且渐近线方程为
y
?
?
2
x
的是（
)
y
2<
/p>
x
2
y
2
x
2
2
2
2
（
A
）
x
?
?
1
（
B
）
?
y
?
1
（
C)
?
x
?
1
(
Ｄ）
y
?
?
1
4
4
4
4
2
x
2
y
2
【２
< br>0
１
5
高考重庆
,
理１
0
】
< br>设双曲线
2
?
2
?
1
(
a
>
０
,
b
>0
）的右焦点为
1
，过
F
作
A
Ｆ
< br>的垂线与双曲线
a
b
交于
B
,
C
两点
,
过
B
,
C
分别作
Ａ
C
,
ＡＢ
的垂线交于点
D
.
若
D
到直线
BC
的距离小于
a
?
a
?
b
,<
/p>
则该双曲
线的渐近线斜率的取值范围是
(
)
A.
2
2
(
?
1,0)
(0,1)
B
．
(
??
,
?
1)
(1,
??<
/p>
)
Ｃ
．
(
?
2,0)
(0
,
2)
D.<
/p>
(
??
,
?
2)
(
2,
??<
/p>
)
【２
0
１
5
高考上海，理９】
已知点
?
和
Q
的横坐标相同，
?
的纵坐标是
Q<
/p>
的纵坐标的
2
倍，
?
和
Q
的轨
迹分别为双曲线
C
1
和
C
2
.
若
C
1
的渐近线方程为
y
?
?
3
x
，则
C
2
的渐近线方程为
.
五．点、直线和圆锥曲线的关系
：
点与椭圆的位置关系：
2
2
x
0
y
0
（
1
）点
P
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆外
?
2
?
2
?
1
;
a
b
2
2
x
0
y
0
(
２
)
点
P
(
x
0
< br>,
y
0
)
在椭圆上
?
2
?
2
＝
1
；
a
b
2
2
x
0
y
0
(3)
点
P
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆内
?
2
?
2
?
1
;
a
b
< br>直线与圆锥曲线的位置关系
:
①
P
点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时
,
有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切
的两条切线，共四条；
②
P
点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相
切的
两条切线，共四条
;
--
--
③
P
在
两条渐近线上但非原点，只有两条
:
一条是与另一渐近线平行的
直线
,
一条是切线
;
④
P
为原点时不存在这样的直线
;
例
3
３：
当
m
为何值时
,
直线
l
:
y
?
x
?
m
和
椭圆
9
x
?
1
6
y
?
144
(1)
相交；
(2
）相切；
（３
)
相离。
2
2
例
34:
若直线
y
?
kx
?
2
与椭
圆
2
x
?
3<
/p>
y
?
6
有两个公
共点，则实数
k
的取值范围为
例
35
：<
/p>
已知椭圆
x
?
2
y
?
12
,<
/p>
A
是
x
轴正方向
上的一定点，
若过点
A
,
斜率为
1
的直线被椭圆截得的弦长
< br>2
2
2
2
为
4
13
,
求点
A
的坐标
3
x
2
y
2
?
?
1
恒有公
共点，则
m
的取值范围是
_
＿＿
____
例
3
６：
直线
y
―ｋｘ
―１＝０与椭圆
5
m
例３
7
：
过点
(
2
,
4
)
作直线与抛物线
y
?
8
x
只有一个公共点，这样的直线有
_______
例
3
8:
若直线
y
＝
k
ｘ
+2
与双曲线
< br>x
-y
=6
的右支有两个不同的
交点，则ｋ的取值范围是
_______
2
２
2
x
2
y
2
例
3
９：
过点
(0,2)
与双曲线
?
?
1
有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为
___
＿
_
＿
9
16
x
2
y
2
?
< br>?
1
的右焦点直线交双曲线于
A
、
B
两点，若│
AB
︱
=
４
,
则这样的直线有
____
条
例
4
０：
过双曲线
1
2
例
41:
对于抛物线
C
：
y
?
4
x
,
我们称满足
y
0
?
4
x
0
的点
M
(
x
0
,
y
0
)
在抛物线的内部
,<
/p>
若点
M
(
x
0
,
y
0
)
在抛
物线的内部，则直线
l
:
y
0
y
?
2
(
x<
/p>
?
x
0
)
与抛物线
C
的位置关系是
_
＿
_____
例
42
：
直线
y
?
ax
?
1
与双曲线
3
x
?
y
?
1
交于
A
、
B
两点。①当
a
为何值时
,
A
、
B
分别在双曲线的两
支上
?
②当
a
为何值时
,
以
A
Ｂ为直径的圆过坐标原点
?
真题
:
2
2
2
2
--
--
y
2
【
２
015
高考四川，理５】
过双曲线<
/p>
x
?
?
1
的右焦点且与
x
轴垂直的直线，交该双曲线的
两条渐近线
3
2
于
A
，
B
两点，则
< br>AB
?
（
)
(A)
4
3
(B)
2
3
(C)6
（
D)<
/p>
4
3
3
六．焦半径及弦长公式的计算方法：
若
直
线
y
?<
/p>
kx
?
b
与
圆
锥
曲
线
相
交于
两
点
A
、
B
，
且
x
1
,
x
2
分
别
为
A
、
B
的<
/p>
横
坐
标
,
则
AB
＝
1
?
k
2
x
1
?
x
2
< br>,
若
y
1
,
y
2
分别为Ａ、
< br>B
的纵坐标
,
则
AB
=
1
?
< br>1
y
1
?
y
2
，若弦Ａ
B
所在直线方程设为
2
k
：焦点弦的
弦长的计算
,
一般不用
x
?
ky
?
b
，则
AB
＝
1
?
k
2
y
1
?
y
2
。特别地，焦点弦（过焦点的弦）
弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后
,
利用第二定义求解
(
了解）
。抛物线的焦点弦公式：
AB
< br>?
x
1
?
x
2
?
p
?
2
p
（
?
为直线的倾斜角
)
sin
2
?
2
例４３：
过抛物线
y
?
2
x
焦点的直线交抛物线于
A
、
Ｂ两点，
已知
|
< br>Ａ
B|=1
０
,O
为坐标原点
,
则Δ
A
Ｂ
C
重
心的横坐标为
____
＿
____
例
4
４
:
已知抛物线方程为
y
?
8
x
,
若抛物线上一点到
y
轴的距离等于
5,
则它到抛物线的焦
点的距离等于
2
x
< br>2
y
2
例
45:
点
P
在椭圆
< br>则点
P
的横坐标为
___
＿
___
?
?
1
上
,
它到左焦点
的距离是它到右焦点距离的两倍，
25
9
例４
6
：
抛物线
y
?
2
x
上的两点
A
、Ｂ到焦点的距离和是
5,
则线段Ａ
B
的中点到
< br>y
轴的距离为
__
＿＿＿
_
2
七
.
焦点三角形问题
:
1
．椭圆焦点三角形面积
S
?
b
tan
2
?
2
双曲线焦点三角形面积
S
?
b
cot
2
?
2
2.
常利用第一定义和正弦、余弦定理求解
< br>３
.
m
?
n
,
m
?
n
,
mn
,
m<
/p>
?
n
四者的关系在圆锥曲线中的应用；<
/p>
2
2
周长为<
/p>
4
a
：
x
2
y
2
F
2
为椭圆
?
例
47
：
已知
F
1
、
过
F
1
的直线交椭圆于
A
、
若
F
2
A
?
F
2
B
?
12
，
< br>?
1
的两个焦点，
B
两点。
25
9
则
AB
?
--
--
x
2
例
４８：
已知
?
AB
C
的顶点
B
、
C
在椭圆
?
y
2
?
1
上，顶点
< br>A
是椭圆的一个焦点
,
且椭圆的
另外一个
3
焦点在
BC
边上
,
则
?
< br>AB
C
的周长为
x
2
y
2
< br>?
1(
a
?
5)
，它的两个焦点分别为
F
1<
/p>
，
F
2
,
且
F
1
F
2
?
8
,
弦
AB
过
F
< br>1
,
则
例
49:
已知椭圆的方程是
2
?
a
25
△
ABF
2
的周长为
.
例
50
：
短轴长为
5
,
离心率
e
?
的周长为＿
_______
2
的椭圆的两焦点为
F
1
、
F
2
,
过
F
1
作直线交椭圆于Ａ、<
/p>
Ｂ两点
,
则
?<
/p>
ABF
2
3
椭圆
焦点三角形面积
S
?
b
2
tan
?
2
双曲线焦点三角形面积
S
?
b
2
cot
?
2
例
51
：
设Ｐ是等轴双曲线
x
2
?
y
2
?
a
2
(
a
?
0
)
右支
上一点
,
Ｆ
１
、
Ｆ
２
是左右焦点
,
若
PF
2
?
F
1
F
2
?
0
,
｜
PF
1
|=6,
则
该双曲线的方程为
x
2
y
2
?
?
1
的焦点为Ｆ
１
、
F
2
，点
P<
/p>
为椭圆上的动点
,
当
错误
!
·
错误
!
<0
时，点Ｐ的横坐标的取
例５
2:
椭圆
9
4
值范围是
例
53
：
已知双曲线的离心率为
2,F
1
、
Ｆ
2
是左右焦点，
P
为双
曲线上一点
,
且
?
F
1
PF
2
?
60
,
S
?
PF
1
F
2
?
12
3
，<
/p>
求该双曲线的标准方程
真题
:
?
x
2
【
2
０
1
５高考新课标
1,
理
5
】
已知
M
（
x
0
,<
/p>
y
0
)
是双曲线
Ｃ
:
?
y
2<
/p>
?
1
上的一点，
F
1
,
F
2<
/p>
是
C
上的两个焦
2
点
,
若
MF
1
?
MF
2<
/p>
?
0
，则
y
0
的取值范围是
(
) <
/p>
A.
（－
3
3<
/p>
3
3
2
2
2
2
2
3
2
3
，
）
?
B.(-
,
）
C
．
（
?
，
)
D.(
?
，
)
3
3
6
6
3
3
3
3
八
.
抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性
质
:
（
1)
AF
?
p
p
2
p
1
1
2
?
?
（
3)
AB
?
x
1
?
x
2
?
p
?
,
< br>BF
?
(2)
(4
）以过焦
1
?
cos
?
1
?
cos
?
sin
2
?
AF
BF
p
点的弦为直径的圆和准线相切
;
（
5
）设
AB
为焦点弦，
M
为准线与ｘ轴的交点，则∠
A
Ｍ
F=
∠
< br>BM
Ｆ
;(
６）设
A
Ｂ为焦点弦
,A
、
B
在准线上的射影分别为
A
< br>1
,B
1
，若
< br>P
为
A
1
B
1
的中点
,
则
PA
⊥
PB;(7)
若Ａ
O
的延长线交准
线于<
/p>
C,
则
BC
平行
于ｘ轴，反之，若过
B
点平行于
x
轴的直线交准线于
C
点
,
则
A
，
O
，Ｃ三点共线。
--
--
例
5
４
:
过抛物线
y
?
4
x
的焦点
F
作一直线交抛物线于
P
、
Q
两点，若线段
P
Ｆ与<
/p>
FQ
的长分别是
p
、
q
，
则
2
1
1
?
?
_
＿＿＿＿
__
p
q
例
5
５<
/p>
:
过抛物线
y
?
?
2
1
2
Ｂ两点，
旦
|AB|=8,
求倾斜角
?
．
x
的焦点作倾斜角为
?
的直
线
l
与抛物线交于
A
< br>、
4
例
56
：
已知抛物线
y
?
2
px
,
?
< br>p
?
0
?
,
直线
l
过焦点
F
，且与抛物线交于点
A
,
B
,
与抛物线的准线交于点
< br>C
,
BC
?
2
BF
，又
AF
< br>?
3
,
则抛物线的方程为
______
真题：
O
为
坐标原点，
【
2
０
13
新课标文科
8
】
若
|
PF
|
?
4
2
，
F
为抛物线
C
:
< br>y
2
?
4
2
x
的焦点，
P
为
C
上一点，
则
< br>?
POF
的面积为
(
）
(A
）
2
（
B
）
2
2
?
(
Ｃ
)
2
3
（
D
）
4
【
201
３新课标卷Ⅱ文科
10
】
设抛物线
C
：
y
2=
4x
的焦点为
F
，直线Ｌ过
F
且与Ｃ交于
A,
B
两点
.
若｜Ａ
F|
< br>＝
3|
ＢＦ
|,
则
L
的方程为
______
【２
0
１３新课标卷Ⅱ理科
1
１】
设抛物线
C
:
y
?
2
px
(
p
?
0)
的焦点为
F
,
点
M
在
C
上
,
MF
?
5
，
若以
2
< br>MF
为直径的圆过点
(
0
,
2
)
，则
C
的方程为（
）
（
A)<
/p>
y
2
?
4
x
或
y
2
?
8
x
（
B)
y
2
?
2
x
或
y
2
?
8
x
(C)
y
2
?
4
x
或
y
2
?
16
x
(
Ｄ
)
y
2
?
2
x
或
y
2
?
16
x
【
2014
新课标卷Ⅰ文科
10
】<
/p>
已知抛物线
C
：
y
?
x
的焦点为
F
,
A
?
x
0
,
y
0
?
是Ｃ上一点，
A
F
?
5
x
，<
/p>
则
x
?
0
4
0
2
A
．
1
Ｂ
.
2
Ｃ
.
4
D.
8
【２
014
新课标卷Ⅰ理科
10
】
已知抛物线
C
：
y
?
8
x
的焦点为
F
，准线为
l
,
P
是
l
上一点
,
Q
是直线
PF
与
C<
/p>
的一个焦点，若
FP
?
< br>4
FQ
，则
|
< br>QF
|
＝
(
）
2
A
.
7
5
B
．
C
.3
D
.2
2
2
2
【
201
４
新课标卷Ⅱ文科
10
】
设
F
为抛物线
C
:
y
?
3
x
的焦点，过
F
且倾斜角为
30
?
的直线交
C
于
A
,
B
两点
，则
AB
?
（
)
Ａ
.
30
B.
6
Ｃ
.
12
Ｄ．
7
3
3
--
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