-
第
1
讲
空间几何体的结构及其三视图和直观图
[
考纲解读
]
1.
认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活
中简
单物体的结构．
2
．
能画出简单空间几何体的三视图，
并能根据三视图
识别几何体，
会用斜二测画法画出它们的直观图．
(
重
点、难点
)
[
考向预测
]
从近三年高考情况来看，
本讲一直是高考的重点内容之一．
预
测
2021
年会一如既往地进行
考查，
以三视图和直观图的联系与转化为主要命题方向，考查题型有：①根据三视图还原几何体；②根
< br>据几何体求体积．试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题
.
1.
多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
侧棱
侧面
形状
0
1
平行且□
0
2
相等
互
相□
0
4
平行且相等
< br>
□
0
7
平行四边形
□
多边形
0
3
平行
<
/p>
互相□
0
6
一点
延长线交于□
0
9
梯形
□
0
5
一点，
相交于□
但不一定相等
0
8
三角形
□
2
．旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，
0
1
垂直于底面
□
0
2
一点
相交于□
0
3
一
延长线交于□
点
< br>
0
6
等腰梯
< br>全等的□
形
—
轴截
面
0
4
矩形
<
/p>
全等的□
0
5
等
腰三角形
全等的□
0
7
圆
□
3
．直观图
0
1
斜二测画法．
(1)
画法：常用□
(2)
规则
①原图形中
x
轴、
y
轴、
z
轴两两垂直，
直观图中，
x
′轴与
y
′轴的夹角为
45°(或
135°)，
0
2
垂直．
z
′轴与
x
′轴
(
或
y
′轴
)
□
0
3
平行于坐标轴．平行于
x
轴和
z
轴的线
< br>②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍□
0
4
不变，平行于
y
轴的线段的长度在直观图中
变为原来的□
0
5
一半．
段在直观图中保持原长度□
4
．三视图
0
1
< br>正视图、□
0
2
侧视图、□
0
3
俯视图，分别是从几何体的正前方、正
(1)
几何体的三视图包括□
左方、正
上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)
三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
0
4
正侧一样高，□
0
5
正俯一样长，□
0
6<
/p>
侧俯一样宽；看不到的线画虚线．
②画法规则：□
1
．概念辨析
(1)
棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．
(
)
(2)
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
(
)
(3)
棱台各侧棱的延长线交于一
点．
(
)
(4)
夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是旋转体．
(
)
答案
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×
2
．小题热身
(1)
如图所示，在三棱台
A
′
B
′
C
′－
ABC
中，沿
A
′
BC
截去三棱锥
A
′－
ABC
，则剩余的
部分是
(
)
A
．三棱锥
C
．三棱柱
答案
B
解析
剩余的部分是四棱锥
A
′－
B
′
C
′
CB
.
B
．四棱锥
D
．组合体
(2)
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图
所示的一个正方形，
则原来
的图形是
(
)
答案
A
解析
由斜二测画法的原理可知．
(3)<
/p>
若一个三棱柱的三视图如图所示，
其俯视图为正三角形，
则这个三棱柱的高和底面边
长分别为
(
)
A
．
2,2
3
C
．
4,2
B
．
2
2
，
2
D
．
2,4
答案
D
解析
由三视图可知，正三棱柱的高为
2
，底面正三角形的高为
2
3
，故底面边长为
4
，<
/p>
故选
D.
(
4)
如图，长方体
ABCD
－
A
′
B
′
C
′
D
′被截去一部分，其
中
EH
∥
A
′
D
′，则剩下的几何
体是
________
，截去的几何体是
_______
_
．
答案
五棱柱
三棱柱
题型
一
空间几何体的结构特征
下列结论正确
的个数是
________
．
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；
②棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；
③有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
< br>
⑤若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．<
/p>
答案
0
解析
①③④错误，反例见下面三个图．
②错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以<
/p>
正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．
⑤错误，平行于轴的连线才是母线．
识别空间几何体的两种方法
(1)<
/p>
定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面
关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．
(2)
反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要
举出一个反
例即可．
(2019·青岛模拟
)
以下命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；<
/p>
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为
(
)
A
．
0
C
．
2
答案
B
解析
由圆台的定义可知①错误，②正
确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截
圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③
错误．
B
．
1
D
．
3
题型
二
空间几何体的直观图
(2019·桂林模拟
)
已知正三角形
ABC
的边长为
a
，那么△
ABC
的平面直观图△
A
′
B
′
C
′
的面积为
(
)
A.
C
.
3
2
a
4
6
2
a
8
B.
D.<
/p>
3
2
a
8
6
2
a
16
答案
D
解析
如
图
(1)
所示的是△
ABC
的实际图形，图
(2)
是△
ABC
的直观图．
1
3
由图
(2)
可知
A
′
B
′＝
AB
＝
a
，
O
′
C
< br>′＝
OC
＝
a
< br>，
在图
(2)
中作
C
′
D
′⊥
A
′
B
′于点
D
′，
2
4
< br>则
C
′
D
′＝
2
6
1
1
6
6
O
′<
/p>
C
′＝
a
.
∴
S
△
A
′
B
′
C
′
＝
A
′
< br>B
′·
C
′
D
′＝
×
a
×
a
＝
a
2
.
故选
D.
2
8
2
2
8<
/p>
16
条件探究
将本例中的条件变为“△
ABC
的直观图△
A
1
B
1
C
1
是边长为
a
的正三角形”，则
△
ABC
的面积为
________
．
答案
6
2
a
2
解析
如图
(1)
所示的是△
ABC
的直观图，图
(2)
是△
A
BC
的实际图形．
在图
(1)
中作
C
1
D
1
∥
y
1
轴，交
x
1
轴于点
D
1
，在图
(2)
中作
CD
⊥
x
轴，交
x
轴于点
D
，设
C
1
D
1
＝
x
，则
CD
＝
2
x
.
a
x
6
在△
A
1
D
1
C
< br>1
中，由正弦定理
＝
，得
x
＝
a
，
sin45°
sin120°
< br>2
1
1
6
2
∴
S
△
A
BC
＝
AB
·
CD
＝
×
a
×
6
a
＝
a
.
2
2
2
用斜二测画法画直观图的技巧
(1)
在原图形中与
x
轴或
< br>y
轴平行的线段在直观图中仍然与
x
′轴或
y
′轴平行．
(2)
原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．
(3)
原图中的曲线段可以通过取一些关
键点，
作出在直观图中的相应点，
然后用平滑曲线
连接．
(20
19·福州调研
)
已知等腰梯形
ABC
D
，上底
CD
＝
1
，腰
AD
＝
CB
＝
2
，下底
AB
＝
3
，以下
< br>底所在直线为
x
轴，则由斜二测画法画出的直观图
A
′
B
′
C
′
D
′的面积为
________
．
答案
2
2
解析
如图
所示，图
(1)
是等腰梯形
ABCD<
/p>
的实际图形，
O
为
AB
的中点，图
(2)
是等腰梯
形
ABCD
的直观图．
在图
(2)
< br>中作
E
′
F
⊥
x
′轴，交
x
< br>′轴于
F
，
因为
OE
＝
2
2
－
1
＝
1
，
1
2
所以
O
′
E
′＝
，
E
′
F
＝
< br>，
2
4
1
＋
3
2
2
则直观图
A
′
B
′
C
′
D<
/p>
′的面积
S
′＝
×
＝
.
2
4
2
题型
三
空间几何体的三视图
角度
1
已知几何体识别三视图
1
．(2018·全国卷Ⅲ
)
中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，
凹进部分叫卯眼，
图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的
木构件咬合成长
方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
(
)
答案
A
解析
观
察图形易知卯眼处应以虚线画出，
俯视图为
A.
角度
2
已知三视图还原几何体
，
故选
2<
/p>
．(2018·全国卷Ⅰ
)
某圆柱的高为
2
，底面周长为
16
< br>，其三视图如右图．圆柱表面上的
点
M
< br>在正视图上的对应点为
A
，圆柱表面上的点
N
在左视图上的对应点为
B
，则在此圆柱侧面
上，从
M
到
N
的路径中，最短路径的长度为
(
)
A
．
2
17
C
．
3
答案
B
解析
根据圆柱的三视图以及其本身的
特征，可以确定点
M
和点
N
分别在以圆柱的高为
长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形
的对角线的端点处，所以所求的最短
路径的长度为
4
＋
2
＝
2
5
，故选
B.
角度
3
已知三视图中的部分视图，判断其他
视图
3
．把
边长为
1
的正方形
ABCD
沿对角线
BD
折起，使得平面
ABD
⊥平面
CBD
，形成的三棱
锥
C
－
ABD
的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为
(
)
2
2<
/p>
B
．
2
5
D
．
2
1
A.
2
C.
2
4
B.
2
2
1
D.
4
答案
D
解析
由三
棱锥
C
－
ABD
的正视图、俯视图得三棱锥
C
－
AB
D
的侧视图为直角边长是
2
的
2
1
等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三
棱锥
C
－
ABD
的侧视图的面积为
.
4
三视图问题的常见类型及解题策略
(
1)
由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意能看到的部分用实线表示，不能看
到的部分用虚线表示．
(2)
由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图
的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
(3)
由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原
、推测
直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也
可将选项
逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
1
．如图
1
所示，
是一个棱长为
2
的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观
图，其
中
DD
1
＝
1
，
AB
＝
BC
＝
AA
1
＝
2
，
若此
几何体的俯视图如图
2
所示，
则可以作
为其正视图的是
(
)
答案
C
解析
由
直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体
的棱长，故
排除
B
，
D
，
又正视图中点
D
1
的射影是
B
1
，侧棱
BB
1
是看不见的，在正视图中用虚
线表示，所以正
视图是
C
中的图形．故选
C.
2
．
(2019·河北衡水中学调研
)
如图所示，
在正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
为棱
BB
1
的中点，
用过点
A
，
E
，
C
1
的平面截去该正方体的上半部
分，则剩余几何体的侧视图为
(
)
答案
C
解析
如
图所示，过点
A
，
E
< br>，
C
1
的截面为
AEC
1
F
，则剩余几何体的
侧视图为
C
中的图形．
3
．
(20
17·北京高考
)
某四棱锥的三视图如图所示，
则该四棱锥的最长棱的长度为
(
)
A
．
3
2
C
．
2
2
答案
B
解析
在正方体中还原该四棱锥，如图
所示，可知
SD
为该四棱锥的最长棱．由三视图可
知正方体的棱长为
2
，故
S
D
＝
2
＋
2<
/p>
＋
2
＝
2
3.
故选
B.
2<
/p>
2
2
B
．
2
3
D
．
2
组
基础关
1
．
某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，
则在下图的四个图中可以作为该几
何体的俯视图的是
(
)
A
．①③
C
．②④
答案
A
解析
由正视图和侧视图知，该几何体
为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③
正确．
B
．①④
D
．①②③④
2
．如图，直观图所表示的平面图形
是
(
)
A
．正三角形
B
．锐角三角形
C
．钝角三角形
D
．直角三角形
答案
D
解析
由直观图可知，其表示的平面图
形△
ABC
中
AC
⊥
BC
，所以△
ABC
是直角三角形．