-
第
31
讲
空间几何体的结构及其表面积、体积
一、
考情分析
1.
利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运
< br>用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2.
知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；
3.
能用斜二测法画出简单空间图形
(
长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合
)
的直观图
.
二、
知识梳理
1.
空间几何体的结构特征
(1)
多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
相交于一点，
但不一定
相等
三角形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
延长线交于一点
侧面形状
(2)
旋转体的结构特征
名称
平行四边形
梯形
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
轴截面
相交于一点
全等的等腰三角形
延长线交于一点
全等的等腰梯形
圆
互相平
行且相
等，
垂直于底面
全等的矩形
侧面展
开图
2.
直观图
矩形
扇形
扇环
空间
几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)
原图形
中
x
轴、
y
轴
、
z
轴两两垂直，
直观图中，
x
′
轴、
y
′
轴的夹角为
45°
(<
/p>
或
135°
)
，
z
′
轴与
x<
/p>
′
轴、
y
′
轴所在平面垂直
.
(2)
原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴
.
平行于
x
轴和
z
轴的线段在直
观图中保持原长度不变，平行于
y
轴的线段长度在直观图中变为原来的一半
.
3.
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S
圆柱侧
＝
2π
rl
S
圆锥侧
＝
π
rl
S
圆台侧
＝
π(
r
1
＋
r
2<
/p>
)
l
4.
空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
柱
体
(
棱柱和
圆柱
)
锥
体
(
棱锥和
圆锥
)
台
体
(
棱台和
圆台
)
球
[
微点提醒
]
1.
台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点<
/p>
.
2.
正方体的棱长为
a
，球的半径为
R
，则与其有
关的切、接球常用结论如下
：
(1)
若球为正方体的外接球，则
2
R
＝
3
a
；
(2)
若球为正方体
的内切球，则
2
R
＝
< br>a
；
(3)
< br>若球与正方体的各棱相切，则
2
R
＝
2
a
.
表面积
体积
S
表面积
＝
S
侧
＋
2
S
底
V
＝
S
底
h
1
V
＝
3
< br>S
底
h
1
V
＝
3
(
S
上
＋
S
下
＋
S
上
S
下
)
h
4
V
＝
< br>3
π
R
3
S
表面积
＝
S
侧
＋
S
底
S
表面积
＝
S
侧
＋
S
上
＋
S
下
S
＝
4π
R
2
3.
长方体的共顶点的三条棱长分别为
a
，
b
，
c
< br>，外接球的半径为
R
，则
2
R
＝
a
2
＋
b
2
＋
c
2
.
4.
正四面体的外接球与内切球的半径之比为
3
∶
1.
三、
经典例题
考点一
空间几何体的结构特征
【例
1
】
(1)
给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
< br>
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
.
其中正确命题的个数是
(
)
A.0
(2)
给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点
.
其中正确命题的序号是
________.
【答案】
(1)A
(2)
②③④
【解析】
(1)
①
不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；
②<
/p>
不一定，当以斜边所在
直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所
围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同
底圆锥组成的几何体；
③
错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长
线交于一点，但是侧棱长不一定相等
.
B.1
C.2
D.3
(2)
①
不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四
边形，但不一定全等；
②
正确，因
为两
个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；
③
正确
，如图，正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中的三棱锥
C
1
－
ABC
，四个面都是直角三角形；
④
正确，由棱台的概
念可知
.
规律方法
1.
关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，
要善于通过举
反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反
例
.
2.
圆柱、圆锥、圆台的有关元
素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系
.
3.
既然棱
(
圆
< br>)
台是由棱
(
圆
)
锥定义的，
所以在解决棱
(
圆
)
台问题时，
要注意
“
还台为锥
”
的解题策
略
.
考点二
空间几何体的直观图
【例
2
】
<
/p>
已知正三角形
ABC
的边长为
a
，那么△
ABC
的平面
直观图△
A
′
B
′
C
′
的面积为
(
)
3
A.
4
a
2
【答案】
D
【解析】
如图
①②
所示的实际图形和直观图
.
3
B.
8
a
2<
/p>
6
C.
8
a
2
6
D.
16
a
2
1
3
< br>2
由斜二测画法可知，
A
′
B
′
＝
AB
＝
a
，
O
′
C
′
＝
2
OC
＝
4
< br>a
，
在图
②
中作
C
′
D
′
⊥
A
′
B
′
于
D
′
，
则
C
′
D
′
＝
2
6
1
1
6
< br>6
O
′
C
′
＝
8
a
.
所以
S
△
A<
/p>
′
B
′
C
′
＝
2
A
′
B
′·
C
′
D
′
＝
< br>2
×
a
×
8
a
＝
16
a
2
.
故选
D
.
规律方法
1.
< br>画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用
“
斜
”
(
两坐标轴成
45°
或
135°
)
和
“
二测
”
(
平行于
y
轴的线段长度减半
，平行于
x
轴和
z
轴的线段长度不变
)
来掌握
. <
/p>
2
2.
按照斜二测画法得到的平面图形的
直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S
直观图
＝
4
S
原图形
.
考点三
空间几何体的表面积
【例
3
】
<
/p>
(1)
若正四棱锥的底面边长和高都为
2
，则其全面积为
________.
(2)
圆台的上、下底面半径分别是
10
cm
和
20 cm
，它的侧面展开图的
扇环的圆心角是
180°
，那
么圆台的
表面积为
________(
结果中保留
π).
(3)
如图直平行六面体的
底面为菱形，若过不相邻两条侧棱的截面的面积分别为
Q
1
，
Q
2
，则它的<
/p>
侧面积为
______.
2
【答案】
(1)4
＋
4
5
(2)1 100π cm
2
<
/p>
(3)2
Q
2
1
＋
Q
2
【解析】
(1)
因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图
.
由题意知底面正方形的边长为
2
，正四棱锥的高为
2
，
则正四棱锥的斜高
PE
＝
2
2
＋
1
2
＝
5.
1
所以该四棱锥的侧面积
S
＝
4
×
2
×<
/p>
2
×
5
＝
4
5
，
∴
S
全
＝
2
×
2
＋
4
5
＝
4
＋
4
5.
(2)
如图所示，设圆台的上底周长为
C
，因为扇环的圆心角是<
/p>
180°
，所以
C
＝
π·
SA
.
又
C
＝
2π
×
10
＝
20π
，所以
SA
＝
20.
同理
SB
< br>＝
40.
所以
AB
＝
SB
－
SA
＝
20.
S
表
＝
S
侧
＋
S
上底
＋
S
下底
2
2
< br>＝
π(
r
1
＋
r
2
)·
AB
＋
π
r
1
＋
π
r
2<
/p>
＝
π(10
＋
20)
×
20
＋
π
×
10
2
＋
π
×
20<
/p>
2
＝
1
100π(cm
2
).
故圆台的表面积为
1 100π
cm
2
.
(3)
设直平行六面体的底面边长为
a
，侧棱长为
l
，则
S
侧
< br>＝
4
al
，因为过
A
1
A
，
< br>C
1
C
与过
B
1
B
，
D
1
D
l
，<
/p>
?
Q
1
＝
AC
·
?
的截面都为
矩形，从而
l
，
?
Q
2
＝
BD
·
Q
1
Q
2
则
AC
＝
l
，
BD
＝
l
.
又
AC
⊥
BD
，
?
AC
?
?
BD
?
?
Q
1
?
?
Q
2
?
∴
?
2
?
＋
?
2
?
＝<
/p>
a
2
.
∴
?
2
l
?
＋
?
2
l
?
＝
a
2
.
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
∴
4
a
2
l
2
＝
Q
2
1
＋
Q
2
< br>，
2
al
＝
Q
1
＋
Q
2
，
2
∴<
/p>
S
侧
＝
4
al
＝
2
Q
2
1
＋
Q
2
.
2
2
2
2
规律方法
1.
求解有关多面体侧面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的
矩形、棱
台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素
间的桥梁，从
而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系
.
2.
多面体的表面积是各个面的面积之和；组
合体的表面积注意衔接部分的处理
.
3.
旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用
.
考点四
空间几何体的体积
【例
4
】
<
/p>
(1)
圆柱的底面直径与高都等于球的直径，
则球的体积与圆柱的体积比
V
球
∶
V
柱
为
(
)
A.1
∶
2
C.3
∶
4
B.2
∶
3
D.1
∶
3
(2)
已知正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
< br>的棱长为
1
，除面
ABCD
外，该正方体其余各面的中心分别为
点
E<
/p>
，
F
，
G
，
H
，
M
(
如图
)
，则四棱锥
M
－
EFGH
的体
积为
________.
1
【答案】
(1)B
(2)
12
4
3
3
π
R<
/p>
V
球
2
【解析】
(1)
设球的半径为
R
，则
＝
2
< br>＝
3
.
V
柱
π
R
×
2
R
(2)
连接
AD
1
，
CD
1
，
B
1
A
，
B
1
C
，
AC
，因为
E<
/p>
，
H
分别为
AD
1
，
CD
1<
/p>
的中点，所以
EH
∥
AC
，
EH
1
＝
2
AC
.
因为
F
，
G
分别为
B
1
A
，
B
1
C
的中
点，所以
FG
∥
AC
< br>，
FG
＝
1
2
AC
.
所以
EH<
/p>
∥
FG
，
EH<
/p>
＝
FG
，所以四边形
EHGF
为平行四边形，又
EG
＝
HF
，
EH
＝
HG
，所以
1
1
?
2
?
四边
形
EHGF
为正方形
.
又点
M
到平面
EHGF
的距离为
2
，
所以四
棱锥
M
－
EFGH
的体积为
3
×
?
< br>?
?
2
?
2
1
1
×
2
＝
12
.
规律方法
1.(
直接法
)
规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算
即可
.
2.(
割补法
)
不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将
此几何
体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算
.
经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或
长方体，将三棱柱还原为
平行六面体，将台体还原为锥体
.
3.(
等积法
)
三棱锥：
利用三棱锥的<
/p>
“
等积性
”
可以
把任一个面作为三棱锥的底面
.(1)
求体积时，
可
选择
“
容易计算
”
的方式来计算；
(2)
利用
“
等积性
”
可求
“
点到面的距离
”
，关键是在面中选
取三个点，与已知点构成三棱锥
.
考点五
多面体与球的切、接问题
【例
5
】
在封闭的直三
棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
内有一个体积为
V
的球
.
若
AB
⊥
< br>BC
，
AB
＝
< br>6
，
BC
＝
8
，
AA
1
＝
3
，则
V
的最大值是
(
)
A.4π
【答案】
B
【解析】
由
AB
⊥
BC
，
AB
＝
6
，
BC
＝
8
，
得
AC
＝
10.
要使球的体积
V
最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球
与三个侧面相切，设底面△
ABC
的
内
切圆的半径为
r
.
1
1
则
2
×
6
×
8
＝
2
×
(6
＋
8
＋
10)·
r
，所以
r
＝
2.
2
r
＝
4
＞
3
，不合题意
.
< br>球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径
R
最大
.
3
由
2
R
＝
3
，即
R
＝
2
.
4
9
故球的最大体积
V
＝
3
π
R
3
＝
2
π.
规律方法
1.
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接
.
< br>球与旋转体的组合通常是作它
们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的
一条侧棱和球心，或
“
切点
”
、
“
接点
”
作出截面图，把空间问题化归为平面问题
.
9π
B.
2
C.6π
32π
D.
3
2.
若球
面上四点
P
，
A
，
B
，
C
中
P
A
，
PB<
/p>
，
PC
两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两
垂直，可构造长
方体或正方体确定直径解决外接问题
.
[
方法技巧
]
1.
几何体的截面及作用
(1)
常见的几种截面：
①
过棱柱、棱锥、棱台的两条相对侧棱的截面；
②
平行于底面的
截面；
③
旋转体中的轴截面；
④
球的截面
.
(2)
作用：利用截面研究几何体，贯彻了空间问题平面化的思想，截面可以把几何体的性质、画
法及证明、计算融为一体
.
2.
棱
台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，
所以在解决棱
台
和圆台的相关问题时，常
“
还台为锥
”
，体现了转化的数学思想
.
3.
转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来
进行，即将侧面展开化为平
面图形，
“
化曲为直
”
来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状
及平面图形面积的
求法
.
4.
求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错
.
5.
底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣
定义，以防出错
.
四、
课时作业
1
．
（
2019·
浙江拱墅
?
杭州四中高二期中）已知一个正方体棱长为
1
，则它的体积为（
）
A
．
1
B
．
4
C
．
6
D
．
8
2<
/p>
．
（
2019·
浙江拱墅
?
杭州四中高二期中）如果两个球的体积之比为
8:
27
，那么两个球的表面积之比为（
）
A
．
8:
27
B
．
2:3
C
．
4:9
D
．
2:9
3
．
（
202
0·
广东东莞
?
高三其他（文）
）在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是
圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为
2
的正方形，则圆
锥的侧面展开图面积为
(
)
A
．
5<
/p>
?
B
．
6
?
C
．
3π
D
．
4π
<
/p>
4
．
（
2019
·
云南弥勒市一中高一期末）长方体
ABCD
< br>?
A
1
B
1
C
1
D
1
中的
8
个顶点都在同一球面上，
AB
?
3
，
AD
?
4
，
AA
1
?
5
，则该球的表面积为（
）
A
．
200
?
B
．
50
?
C
．
100
?
D
．
25
?
5
．
（
2020·
宁夏原州<
/p>
?
固原一中高三其他
（文）
）
一个几何体的三视图如图所示，
已知这个几何体的
体积为
10
3
，
则
h
的值为（
）