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高一地理第八周集体备课及教案
必修
2
第一章
空间几何体
1.1
空间几何体的结构
1.
多面体与旋转体：
（
1
）
由若干个平面多边
形围成的几何体叫做多面体
.
围成多面体的各个多边形叫做多面
体的面
.
相邻两个面
的公共边叫做多面
体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
.
（
2
）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线
旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直
线叫做旋转体的轴
.
2.
棱柱：
（
1
）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
，由这些面
所围成的几何体叫做棱柱
.
棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底）
，其余各面叫做棱柱的侧
面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点
< br>.
（
2
）侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否则斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
（
3
）棱柱的分类：按底面的多边形的
边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等
.
按侧棱与底面的关系分
为直
棱柱和斜棱柱。
（
4
）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体
叫直平行六面体；底面为
矩形的直平行六面体叫长方体；底面为正方形的长方体叫正四棱
柱；棱长都相等的正四棱柱叫正方体。
（
5
）棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四
边形；③侧棱平行
且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
3.
棱锥：
（
1
）
有一个面是多边形
，
其余各面都是有一公共点的三角形，
由这些面所围成的几何体
叫做棱锥
.
棱锥中，
这个多边形面叫做
棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做
棱
锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱
.
（
2
）底面是正多边形，顶点在底面的射影是正多边
形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点与底面中心的
连线段叫正棱锥的高；正棱锥侧面等
腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。
（
3
）棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等
.
（
4
）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到<
/p>
截面距离与高的比的平方
.
页脚内容
高一地理第八周集体备课及教案
（<
/p>
5
）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等
腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜
高在底面上的射影组成一个直角三角形，
正棱锥的高，
侧棱，
侧棱在底面内的射影也组成一
个直角三角形。
③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二
面角都相等。
4.
圆柱与圆锥：
以矩形的一边所在的直
线为轴旋转
,
其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；
以直角三角形的
一条直角边为旋转轴
,
其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥
.
在圆柱中，
旋转的轴叫做圆柱的轴，
垂直于轴的边旋
转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转
到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
.
5.
棱台与圆台：
（
1
）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和
底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面
的平面去截圆锥，截面和底面之间的部
分叫做圆台
.
（
2
）棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形
；侧面是梯形；侧
棱的延长线相交于一点
.
（
3
）圆台的性质：两底面是两
个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；
母线长都相等<
/p>
.
（
4
）棱台与圆台统称为台体
.
6.
球：
以
半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体，简称球
.
在球中，半圆的圆
心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的
直径叫做球的直径
.
7.
简单组合体：
由简单几何体（如柱、
锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体
.
【常见题型】
1
．给出如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个共
同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点
< br>.
其中正确的命题个数有
（
）
A
．
1
个
【解】
D
．
2
．圆锥底面半径为１
cm
，高为
2
cm
，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
页脚内容
B
．
2
个
C
．
3
个
< br>D
．
4
个
高一地理第八周集体备课及教案
【解】分析：画出轴截面图，设正方体的棱长为
x
，利用相似列
关系求解
.
过圆锥的顶点
S
和正方体底面的一条对角线
CD
作圆锥的截面，得圆
锥的轴截面
SEF
，正方体对角面
CDD
1
C<
/p>
1
，如图所示
.
设正方体棱长为
x
< br>，则
CC
1
=
< br>x
，
C
1
D
1
?
2
x
.
作
SO<
/p>
?
EF
于
O
，则
SO
?
2
，
OE
=1
，
?
ECC
1
~
?
EOS
，
∴
S
C
E
C
1
O
D
D
1
F
x
1
?
(
2
/
2)
x
CC
1
EC
1
，即
.
?
?
1
SO
EO
2
∴
x
?
2
< br>2
cm
(cm)
，
即内接正方体棱长为
2
2
1.2
空间几何体的三视图和直观图
1.
中心投影与平行投影：
（
1
）光由一点向外散射形成的投影称为中心
投影
.
（
2
）在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影
.
（
3
）平行
投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种
.
< br>
2.
柱、锥、台、球的三视图：
（
1
）三视图的定义：
正视图：光线从几何体的
前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体
的左面向右面正投影得到的投影
图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图．几何体的
正视图、侧视图
和俯视图统称为几何体的三视图．
（
2
）三视图的几何作用：
正视图反映了物体上下、左右的位置关
系，即反映了物体的高度和长度；俯视
图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物
体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位
置关系，即反映了物体的高度和宽度
.
3.
直观图：
“
直观图
”
最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平
放置的直观图，其实质就是在坐
标系中确定点的位置的画法
.
基本步骤如下：
（
1
）
建系：
在已知图形中取互相垂直的
x
轴和
y
轴，
得到直角
坐标系
xoy
，
直观图中画成斜坐标系
x
'
o
'
y
'
，
两轴夹角为
45
?
.
<
/p>
（
2
）平行不变：已知图形中平行于
x
轴或
y
轴的线段
，在直观图中分别画成平行于
x’
或
y
’
轴的线段
.
（
3
）长度规则：已知图形中平行于
x
轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于
y
轴的线段，长度为
原来的一半
.
注意：
页脚内容
高一地理第八周集体备课及教案
1.
“
视图
”
是将物体按正投影法向投影面
投射时所得到的投影图
.
光线自物体的前面向后投影所得的投
影
图成为
“
正视图
”
，
自左向右投影所得的投影图称为
“
侧视图
”
，
自上向下投影所得的图形称为
“
俯视图
”.
用这
三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为
“
三视图
”.
2.
画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前
方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）
、正
上方三个不同的方
向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力
.
在绘制三视图时，分
界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来
．
3.
三视图中反应的长、宽、高
的特点：
“
长对正
”
< br>，
“
高平齐
”
< br>，
“
宽相等
”
< br>．
4.
空间几何体的三视图与直观图有密切联系
.
< br>三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可
以得到一个精确的空间几
何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）
.
直观图是对空
间几何体的整体刻
画，根据直观图的结构想象实物的形象．
【常见题型】
1
．如图，图（
1
）是常见的六角
螺帽，试画出它的三视图
.
【解】分
析：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前
方，从三个不同的角度进行
观察
.
在绘制三视图时，分界线和可见轮廓
线
都用实线画出，
被遮挡的部分用虚线表示出来
< br>.
图
（
1
）
为圆柱和正
六棱柱的组合体
.
从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图所示
.
2
．画棱长为
4cm
的正方体的直观图
.
【解】分析：按照斜二测画法的步骤画正方体的直观图，先画下底面，再画
< br>棱，再画上底面
.
（
1
）画法：如图，按如下步骤完成
.
第一步，
在已知的直角三角形
ABC
中取直角边
CB
所在的直线为
x
轴，
与
BC
垂直的直线为
y
轴，
画出
对应的
x
?
轴和
y
?
轴，使
?
x
?
O
?
y
?
?
45
.
第二步，在
x
?
轴上取
O
'
C
'
?
BC
，过
C
'
作
y
'
轴的平行线，取
1
C
'
A
'
?
CA
.
2
第三步，连接
A
'
O
'
，即得到该直角三角形的直观图
.
（
2
）画法：如图，按如下步骤完成
.
第一步，作水平放置的正方形的直观图
ABCD
，使<
/p>
?
BAD
?
45
,
AB
?
4<
/p>
cm
,
AD
?<
/p>
2
cm
.
页脚内容
高一地理第八周集体备课及教案
第二
步，过
A
作
z
?
轴，使
?
BAz
?
?
90
.
分别过点
B
,
C
< br>,
D
作
z
?
轴的平行线，在
z
?
轴及这组平行线上分别截
取
AA
?
?
BB
?
?
CC
?
?
DD
?
?
4
c
m
.
第三步，连接
< br>A
?
B
?
,
B
?
C
?
,
C
?
D
?
,
D
?
A
?
，所得图形就是正方体的直观图
.
1.3
空间几何体的表面积与体积
1.3.1
柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.
圆柱：
侧面展开图是矩形，长是
圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）
，
< br>S
圆柱侧
=2
?
rl
，
S
圆柱表
=2
?
r
(
r
?
l
)
，其中为
r
圆柱底面半径，
l
为母线长；
V
圆柱
?
Sh
?
?
r
2
h
.
2.
圆锥：
侧面展开图为一个扇形，
半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角
为
< br>?
?
?
360
< br>0
，
S
圆锥侧
< br>=
?
rl
，
S
圆锥表
=
?
r
(
r
?
l
)
，其中为
r
圆锥底面半径，
l
为母线长
.
V
锥
?
Sh
S
为底面面积，
h
为高）
3.
圆台：
侧面展开图是扇环，内弧
长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中
心角为
?
?
r
l
< br>1
3
R
?
r
1
S
圆台侧
=
?
(
r
?
R
)
l
，
S
圆台表
=
?
(
r
2
?
rl
?
Rl
?
R
2
)
.
V
台
?
(
S
'
?
S
'
S
?
S
)
h
（
S
，
?
360
0
，
l
3
1
1
S
'
分别上、下
底面积，
h
为高）→
V
圆台
?
(
< br>S
'
?
S
'
S
?
S
)
h
?
?
(
r
2
?
rR
?
R
2
)
h
（
r
、
R
分别为圆台上
3
3
底、下底半径）
4
．柱、锥、台的表面积与体积的计算公式的关系
棱柱
表面积相关公式
S
< br>全
?
S
侧
?
2
S
底
，
其中
S
侧
?<
/p>
l
侧棱长
c
直截
面周长
圆柱
表面积相关公式
S
< br>全
?
2
?
r
2
?
2
?
rh
（
r
：底面半径，
h
：高）
S
全
?
?
r
2
?
?
rl
（
r
：底面半径，
l
：母线长）
S
全
?
?
(
r
'
< br>2
?
r
2
?
r
'
l
?
rl
)
（
r<
/p>
：下底半径，
r’
：上底半径，
l
：
棱锥
S
全
?
S
侧
?
S
底
圆锥
棱台
S
全<
/p>
?
S
侧
?
S
上底
?
S
下底
圆台
母线长）
棱柱
棱锥
体积公式
V
?
S
底
h
高<
/p>
圆柱
圆锥
体积公式
V
?
?
r
2
h<
/p>
棱台
圆台
1<
/p>
V
?
(
S
'
?
S
'
S
?
S
)
h
3
1
V
?
?
(
r
'
2
?
r<
/p>
'
r
?
r
2
)
h
3
1
V
?
S
底
h
高
3
1
V
?
?
r
2
h<
/p>
3
5
．柱、椎
、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；
< br>1
当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体
.
因而体积会有以下的关系：
V
锥
?
S
h
3
页脚内容
高一地理第八周集体备课及教案
1<
/p>
S
'
?
0
S
'
?
S
?
??
?
V
台
?
(
< br>S
'
?
S
'
S
?
S
)
h
???
?
V
柱
?
S
h
.
3
【常见题型】
1
．已知圆台的上下底面半径分别是
2
，
5
，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长
.
【
解
】
设
圆
台
的
母
线
长
为
l
，
则
< br>，
圆
台
的
上
底
面
面
积
为
S
上
?
?
?
2
2
?
4
?
，
圆
台
的
上
< br>底
面
面
积
为
S
下
?
?
?
5
2
?
25
?
，所以圆台的底面面积为
S
?
S
上
?
S
下
?
29
?
.
又圆台的侧面积
S
侧
?
?
(2
?
5)
l
?
7
?
l
< br>，于是
7
?
l
< br>?
29
?
，即
< br>l
?
29
为所求
.
7
2
．一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是
2
，
3
，
6
，则长
方体的体积是
.
【解】解析：长方体的长宽高分别为
a
,
b
,
c
，求出
a
,
b
,
c
的值，再求体积
.
< br>设长方体的长宽高分别为
a
,
b
,
c
，则
ab
?
2,
ac
?
3,
bc
?
6
，三式相乘得
(
abc
)
2
?
36
< br>.
所以，长方体的体积为
6
1.3.2
球的体积和表面积
4
1.
球的体积是对球体所占空间大
小的度量，
它是球半径的函数，
设球的半径为
< br>R
，
则球的体积
V
球
?
?
R
< br>3
3
2.
< br>球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是球半径的函数，设球的半径为
R
，则球的表面积为
S
球面
< br>?
4
?
R
2
，它是球的大圆面积的
4
倍
3.
用一个平面去截球，所得到的截面是一个圆
.
【常见题型】
1
．
如图，
正四棱锥
P
?
ABCD
底面的四个顶
点
A
,
B
,<
/p>
C
,
D
在球
O
的同一个大圆上，
点
P
在球面上，如果
V
P
?
ABCD
?
16
，则球
O
的表面积是
3
A.
4
?
B.
8
?
C.
12
?
D.
16
?
【解
】如图，正四棱锥
P
?
ABCD
底面的四个顶点
A
,
B
,
C
,
D<
/p>
在球
O
的同一个大圆上，点
P
在球面上，
PO
与平面<
/p>
ABCD
垂直，是棱锥的高，
PO
=
R
，
S
ABCD
?
2
R
2
，
V
P
?
ABCD
?
则球
O
的表面积是
16
?<
/p>
，选
D.
2<
/p>
．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为
球的表面积和体积．
【解】分析：作出轴截面
，利用勾股定理求解
.
A
D
'
A
'
D
O
B
'
B
C
C
'
16
1
16
，所以
?
2
R
2
?
R
?
，解得
R
=2
，
3
3
3
6
，
求
页脚内容
A
'<
/p>
R
A
O
C
'
C
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