-
毕业论文开题报告
信息与计算科学
结式理论及其应用
一、选题的背景、意义
1
．
选题的背景
高等代数是大学数学最主要的基础课程之一。高等代数课程的教学内容包含三个方面：
线性代数，多项式理论，群，环，域的基本概念。线性代数占的比重最大，它研究线性空间
及其线性映射
（包括具有度量的线性空间及与度量有关的线性变换）<
/p>
。
多项式理论是研究一
元和多元多项式环
。，群，环，域的基本概念是紧密结合多项式理论和线性变换（包括与度
量有关的线性变
换）理论，水到渠成地介绍一元（多元）多项式环、矩阵环、线性变换环、
模
p
剩余类域、正交群、酉群和辛群。
[
1
]
2
．选题的意义
随着现代工程技术的发展，多项式理论的用途越来越广泛。特别是在现代控制理论中，
频域法就是以多项式理论为数学工具的一种系统设计方法。而结式
(resultan
t)
是多项式理
论中一个比较重要的概念，它主要用于多项式之
间互质性的判定
[
2
]
。本文从多项式的结式
概念人手，
提出应用结式理论来
确定多元非线性多项式所有零点的系统方法，
并借助计算机
强大
的计算能力验证该方法在解非线性方程组的计算中是行之有效的。
凡是可化为多项式方<
/p>
程组求解的问题，
均可采用本文的方法进行研究，
特别是在电力电子领域中的谐波抑制方面
有广泛的应用。
[
3
,
4
]
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
2.1
一元多项式
定义
1.1
设
n
是一个非负整数，形式表达式
n
n
?
1
a
0
x
?
a
1
x
?
…
+
a
n
?
< br>1
x
+
a
n
,
a
n
,
a
n
?
1
,
…
a
0
?
K
(1.1)
称为系数在数域
K
中的一元多项式，或称数域
K
上的一元多项式
(
polynomial
)
。
i
< br>在多项式
(1.1)
中，
a
i
x
称为
i
次项
(
term
)<
/p>
，
a
i
称为第<
/p>
i
次项的系数。我们把数域
K
上
所有一元多项式的集合记为
K
< br>[
x
]
。用
f
(
x
),
g
(
x
),
…
或
f
,
g<
/p>
,
…
等符号表示多项式。
我们还规定：两个多项式
f
(
x
)
与
g<
/p>
(
x
)
的同次项
的系数全相等，并记为
f
(
x
)
?
g
(
x
)
。
又把所有系数都等于
0
的多项式称为零多项式，记为
0
。
多项式中系数不等于
< br>0
的最高次数的项称为多项式的首项
(
< br>leadingterm
)
，
其
系数称为
首
相
系
数
(
leading
coeffic
ient
)
，
首
相
系
数
等
于
1
的
多
项
式
称
为
首
一
多
项
式
(
monic
polynomial
)
。
首项的次数称为多项式的次数
(
degree
)
。
多项式
f
(
x
)
的次数记为
deg
f
。例如
(1.1)
式的多项式中如果
a
n
?
0
，其首项就是
a
n
x
n
，首项系数就是
a
n
，次数
等于
n
。规定零多项式的次数等于
??
.
?
?
的运算规则如下：
(
??
)
+
任何整数
=
??
，
(
??
)
?
(
??
)
?
??
，
??<
/p>
?
任何整数
零
次多项式就是一个非零常数
a
0
?
0
?
K
。
多项式在需多方面的性质非常类似于整数。首先定义多项式的加法运算
。设
n
f
(
x
)
?
a
n
x
?
a
n
?
1
x
n
< br>n
?
1
?
…
+
a
0
?
?
a
i
x
i
(1.2)
i
?
0
m
g
(
x
)
?
b
m
x
?
b
m
?
1
x
m
< br>m
?
1
?
…
+b
0
?
?
a
j
x
j<
/p>
(1.3)
j
?
0
不妨设定
n
?
m
。为方便起见令
b
n
?
b
n
?
1
?
…
?
b
m
?
1
?
0
。那么
f
(
x
)
和<
/p>
g
(
x
)
的和为：
n
f
(
x
)
?
g
(
x
)
def
(
a
n
?
b
n
)
< br>x
?
(
a
n
?
1
?
b
n
?
1
)
x
n
n
?
1
?
…
?
(
a
0
?
< br>b
0
)
?
?
(
a
i
?
b
i
)
x
i
i
?
0
显然数域
K
上的多项
式之和仍是一个
K
上的多项式。
很容易验证多项式的加法具有类似于整数加法（以及向量加法）的性质：
(
A
1)
加法结合律：
(
f
(
x
)
?
g
(
x
))
?
h
(
x
)
?
f
(
x
)
?
(
g
(
x
)
?
h
(
x
));
(
A
2)
加法交换律：
f
(
x
)
?
g
(
x
)
?
g
(
< br>x
)
?
f
(
x
);
(
A
3)
零多项式的特性：
0
?
f
(
x
)
?
f
(
x
)
?
f
(
x
)
?<
/p>
0;
(
A
4)
对于任意的多项式
f
< br>(
x
)
?
a
n
x
n
?
a
n
?
1
x
n
?
1
?
…
+
a
0
存在被称为负多项式的多项式
?
< br>f
(
x
)
def
?
a
n
x
n
?
a
n
?
1
x
n
?
1
?
…
?
a
0
，使得
f
(
x
)
?
(
?
f
< br>(
x
))
?
0.
有了负多项式的概念就可以定义多项式的减法。把两
个多项式
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的差定义
为：
f
(
x
)
?
g
(
x
)
def
f
(
x
)
?
(
?
g
(
x
))
再定义多项式的乘法：
设多项式
f
(
x
)
与
g
(
x
)
如<
/p>
(1.2)
，
(1.3)
式所示则定义它们的积为：
f
(
x
)
g
(
x
)
def
a
n
b
m
x
n
?
m
?
(
a
n
b
m
?
1
?
< br>a
n
?
1
b
m
)
x
n
?
m
?
1
?
…
?
(
a
1
b
0
?
a
0
b
< br>1
)
x
?
a
0
b
0
;
其中
s
次项
的系数为：
a
s
b
0
?
a
s
?
1
b
1
?
…
< br>?
a
1
b
s
?
1
?
a
0
b
s
?
i
?
j
?
s
?
a
b
i
j
(1.4)
所以
f
(
x
)
g
(
x
)<
/p>
可以表示成
n
?
m
f
(
x
)
g
(
x
)
?
?
(
?
a
b
)
< br>x
s
i
j
s
?
0
i
?
j
?
s
多项式的乘法也均有类似于整数乘法的性质：
(
M
1)
乘法结合律：
(
f
(
x
)
g
(
x
))
h
(
x
)
?
f
(
x
)(
g
(
x<
/p>
)
h
(
x
));
(
M
2)
乘法交换律：
f
(
x
)
g
(<
/p>
x
)
?
g
(
x
)
f
(
x
);
(
M
3)
多项式
1
的特征：
1
?
f
(
x
)
?
f
(
x
< br>)
?
f
(
x
)
?
1
;
此外乘法与加法之间还满足分配律：
f
(
x
)(<
/p>
g
(
x
)
?
h
(
x
))
?
f
(
x
)
g
(
< br>x
)
?
f
(
x
)
h
(
x
);
以及
(
f<
/p>
(
x
)
?
g
(
x
))
h
(
x
)
?
f
(
x
< br>)
h
(
x
)
?
g
(
x
)
h
(
x
);
以后我们把数域
K
上一元多项式的全体
K
[
x
]
称为一元多项式环，简称多项式环
(
polynomial
ring
)
。
在观察多项式的和与积的次数。
命题
1.1
对于多项式的乘法，有
deg(
f
(
x
)
g
(
x
))
?
deg
f
?
deg
g
,
特别当
f
(
x
)
?
0,
g
(
x
)
?
< br>0
时有
f
(
x
)
g
(
x
)
?
0
。<
/p>
推论
1.2
多项式的乘法满足消去律：如果
f
(
x
)
g
(
x
)
?
f
(
x
)
h
(
x
)
，且
f
(
x
)
?
0
，那么
g
(
x
)
?
h
(
x
)
。
[<
/p>
5
]
命题
1.2
设
f
(
x
),
g
(
x
)
?
K
[
x
]
，则
(1)deg
cf
(
x
)<
/p>
?
deg
f
(<
/p>
x
),0
?
c<
/p>
?
K
(2)d
eg(
f
(
x
)
?
g
(
x<
/p>
))
?
max
?
deg
f
(
x
),deg
g
(
x
)
?
[
6
]
2.2
结式的定义
< br>我们知道，
结式在代数中有着许多重要应用。
利用结式能
有效地解决两个一元多项式以
及两个二元多项式的公共零点问题。我们还知道，判别式在
多项式理论中占有重要的地位。
根据判别式不但可以判定一个多项式是否有重根，
而且还可以根据判别式的符号判定实系数
多项式的根的情况。而判别式
恰与结式有密切联系，前者往往通过后者进行计算。
结式能够起到在两个联立的多项式方程中消去一个变量的作用。
先考虑两个一元多项式
f
(
x
)
?
a
0
x
n
?
a
1
x
n
?
1
?
…<
/p>
+
a
n
?
1
x
+
a
n
?
K
[
x
],
g
< br>(
x
)
?
b
0
x
m
?
b
1
x
m
?
1
?
…
+b
m
?
1
x
+b
m
?
K
[
x
],
其中
n
,
< br>m
?
0
,
并且允许首项系数
a
0
,
b
0
等于
0
。
用
x
组：
<
/p>
m
?
1
,
x
m
?
2
,
…
x
,1
分别乘
f
(
x
)
，用
x
n
?
1
,
x
n
?
2
,
…
x
,1
分别乘
g
(
x
)
，
可以得到以下等式
x
m
?
1
f
(
x
< br>)
?
a
0
x
n
?
m
?
1
?
a
1
x
n
?
m
?
2
?
…
+
a
n
x
< br>m
?
1
x
m
?
2
f
(
x
)
?
a
0
x
n
?
m
?
2
?
…
+
a
< br>n
x
m
?
2
……………………………………………………
f
(
x
)
?
a
0
x
n
?
a
1
x<
/p>
n
?
1
?
…
+
a
n
x
n
?
1
g
(
x
)
?
b
0
x
n
?
m
?<
/p>
1
?
b
1
x
n
?
m
?
2
?
…
+b
m
?
1
< br>x
n
?
1
x
n
?
2
g
(
x
)
?
b
0
x
n
?
m
?
2
?
…
+b
m
x
n
?
2
……………………………………………………
g
(
x
)
?
b
0
x
m
?
b
1
x<
/p>
m
?
1
?
…
+b
m
(1)
我们把等式组右边的系数矩阵记为
?
a
0
?
?
?
?
A
?
?
?
b
0
?
?
?
?
< br>?
?
a
1
…
…
…
a
0
a
1
…
…
…
…
b
1
b
0
a
0
a
1
…
…
< br>b
m
a
n
…
a
n
…
…
…
…
…
…
b
1
…
…
b
m
…
…
…
…
…
b
< br>0
b
1
…
…
?
?
?
…
?
?
a
n
?
}
m
行
(2)
?
}
n
行
?
?
…
?
?
b
m
?
?
则
A
?
M
< br>n
?
m
(
K
)
。现在用矩阵
A
的最后一列元素的代数余子式
A
1,
< br>n
?
m
,
A
2,
n
?
m
,
…
,
A<
/p>
n
?
m
,
n
?
m
分别去乘
(1)
的各个等式并把乘积相加。
根据行列
式的代数余子式
的性质，等式右边的
x
n
?
m
?
1<
/p>
,
…
,
x
的系数都等于
0
，只有常数项系数等于行列式
A
。也就是
说得到下述结果：
n
Res
(
f
,
g
)
?
a
m
nm
m
0
?
g
(
a
i
)
?
(
?
1)
b
n
[
7
,
8
]
0
i
?
1
?
f
(
?
j
)
< br>
j
?
1
(
A
m
?
1
m
x
?
…
+
A
?
< br>1
1,
n
?
m
,
n
?
m
)
f
(
x<
/p>
)
?
(
A
m
?
1,
n
?
m
x
n
?
?
+
A
< br>n
?
m
,
n
?
m
)
g
(
x
)
?
A
我们引进以下定义：
定义
1
设
f
(
x
)
?
a
0
x
n
?
a
1
x
n
< br>?
1
?
…
+
a
n
?
1
x
+
a
n
,
g
(
x
)
?
b
m
?
1
0
< br>x
m
?
b
1
x
?
…
+
b
m
?
1
x<
/p>
+b
m
,
是
K
[
x
]
的两个多项式，并且
n
,
m
?
0
。
则称行列式
a
0
a
1
…
…
…
a
n
a
0<
/p>
a
1
…
…
…
a
n
…
…
…
…
…
…
a
0
a
1
…
…
…
a
n
}
m
行
< br>b
0
b
1
…
…
b
m
}
n
行
b
0
b
1
…
…
b
m
…
…
…
…
…
< br>…
b
0
b
1
…
…
b
m
为
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的结式
(
resultant
)
，记为
< br>Res
(
f
,
< br>g
)
。
根据结式的定义，我们可以把
(3)
式改写成以下形式：
u
(
x
)
f
(
x
)
?
v
(
x
)
g
(
< br>x
)
?
Res
< br>(
f
,
g
)
。
其中
u
(
x
)
?
A
?
1
1,
n
?
m
x
m
?
…
+
A
m
,
n
?
m
,
v
(
x
)
?
A
1
m
?
1,
n
?
m
x
n
?
?
…
+
A
n
?
m
,
n<
/p>
?
m
.
显然有
deg
u
(<
/p>
x
)
?
m
,deg
v
(
x
)
?
n
.
这样就证明了以下命题
(3)
命题
1
设
n
n
?
1
f
(
x
)
?
a
0
x
?
a
1
x
?
…
< br>+
a
n
?
1
x
+
a
n
,
m
m
?
1
g
(
x
)
?
b
0
x
?
b
1
x
< br>?
…
+b
m
?
1
x
+b
m
,
是
K
[
x
]
的两个
多项式，并且
n
,
m
< br>?
0
。则存在多项式
u
(
x
),
v
(
x
)
?
K
[
x
]
，
deg
u
(
x
)
?
m
,deg
v
(
x
)
?
n
，使得
u
(
x
)
f
(
x
)
?
v
(
x
)
g
< br>(
x
)
?
Res
(
f
,
g
)
(4)
利用这个命题可以证明下面的定理。
定理
2
设
<
/p>
n
n
?
1
f
(
x
)
?
a
0
x
?
a
1
x
?
…
+
< br>a
n
?
1
x
+
a
n
,
m
m
?
1
g
(
x
)
?
b
0
x
?
b
1
x
?
…
< br>+b
m
?
1
x
+b
m
,
是
K
[
x
]
的两个多项式，
其中
n
,
m
?
0
。
则结式
Res
(
f
,
g
)
?
0
的充分必要条件是：
或者
a
0
?
b
0
?
0
，或者
f
(
x
)
与
g
(
< br>x
)
有次数大于
0
的公因式（或等价地，
f
(
x
)
和
g
(<
/p>
x
)
有公共的
复
数根）
。
证明：
(
?
)
设
Res
(
f
,
g
)
?
0
则<
/p>
(2)
式矩阵
A
的行向量
?
1
,
…
,
?
m
?
n
线性相关，存在不全
为零的数
k
1
,
…
,
k
m
?
n
使得
k
1
< br>?
1
+?
+
k
m
?
n
?
m
?
n
?<
/p>
0
。用
k
i
分别乘等式组
(1)
的各式并相加，就
可得到
m
?
1
n
?
1
(
k
1
x
+?
+
k
m
)
f
(
x
)
?
(
k
m
?<
/p>
1
x
?
?
k
m
?
n
)
g
(
x
)
?
0
令
m
?
1
n
?
1
u
(
x
)
?
k
1
x
+?
+
k
m
,
v
(
x
)
?
k
m
?
1
x
?
?
k
m
?<
/p>
n
,
则
u
(
x
),
v
(
x
)
不全为零，且<
/p>
u
(
x
)
f
(
x
)
?
?
v
(
x
)
< br>g
(
x
)
若
a
0
,
b
0
不全为零，不妨设
a
0
?
0,
< br>则
deg
f
(
< br>x
)
?
n
，因而
f
(
x
)
v
(
x
)
g
(
x
)
。如果
(
f
(
x
),
g
(
x
))
?
1
，
，有
f
(
x
)
v
(
x
)
。若
v
< br>(
x
)
?
0
会得到
u
(
x
)
?
0
，
与
u
(
x
),
v
(
x
)
不全为零矛
盾。但
deg
< br>v
(
x
)
?
n
?
deg
f
(
x
),
又导出矛盾。所以
deg(
f
(
x
),
g
(
x
))
?
0
。令
d
(
x
)
?
(
f
< br>(
x
),
g
(
x
))
。由于
< br>d
(
x
)
次数大于
0
，
它一定有一个复数根<
/p>
c
。根据多项式的根与一
次因式的关系，
有
x
?
c
d<
/p>
(
x
)
。由于<
/p>
d
(
x
)
是
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的最大公因式，因此又有
x
?
c
f
(<
/p>
x
),
x
?
c
g
(
x
).
再次利用根与一次因式的关系，就可得到
f
(
c
)
?
g
(
c
)
?
0.
这说明
f
(
x
)
与
g
(
x
)
有公共的复数根
c
。
(
?
)
如果
a
0
?
b
0
?
0
，则由结式的定义，
Res
(
f
,
g
)
?
0.<
/p>
设
d
(
x
)
?
(
f
(
x
),
g
(
x
))
。如
果
d
(
x
< br>)
次数大于
0
，则由上证，
f
(
x
)
与
g
(
x
)
有公共的复数根
c
。把<
/p>
c
代入
(4)
，
即有
Res
(
f
,
g
)
?
0
.
[
9
]
2.3
结式的一些传统算法
2.3.1
预备知识
我们知道
,
结式在代数中有着许多重
要应用。
利用结式能有效地解决两个一元多项式以
及两个二元多
项式的公共零点问题我们还知道
,
判别式在多项式理论中占有
重要的地位根
据判别式不但可以判定一个多项式是否有重根
,
而且还可以根据判别式的符号判定实系数
多项式的根的情况而判
别式恰与结式有密切联系
,
前者往往通过后者进行计算有关结
式的
计算
,
在一般高等代数教程中大致有以下两种方法
,
其一是行列式法
,
其二是公式法
.
本综
述给出另一种计算结式的方法这种方法在计算结式时只
须对所给两个一元多项式进行有限
次带余除法即
(
辗转相除
)
就可以了这种方法的优点在于它既可以避
免高阶行列式的复杂计
算
,
又可以避开求多项式的所有根的困难实践表明
,
就连普通的中学生也可以根据本综述
所给出的方法计算结式。
[
10
]
我们的讨论要用到以下预备知识：
仅限于在复数域上进行讨论。
n
n
?
1
设
f
(
x
)
?
a
0
x
?
a
1<
/p>
x
?
…
?
a
n
(
n
?
0)
(1)
m
m
?
1
与
g
(
x
)
?
b
0
x
?
b
1
x
?
…
< br>?
b
m
(
m
?
0)
(2)
均为复数域上两个一元多项式。
我们称
m
?
n
阶
(
Syl
vester
)
行列式：
a
0
a
1
…
…
…
a
0
a
1
…
…
…
…
a
0<
/p>
a
1
…
…
b
m
a
n
…
a
n
…
…
…
…
…
…
…
a
n
}
m
行
}
n<
/p>
行
(3)
b
0
b
1
b
0
b
1
…
…
b
m
…
…
…
< br>…
…
…
b
0
b
1
…
…
b
m
为
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的结式，记作
Res
(
f<
/p>
,
g
)
。
不难证明下列诸式成立：
Res
(
f
,
g
)
?
(
?
1)
nm
Res
(
g
,
f
)
(4)
若
a
0
?
0,
b<
/p>
0
?
0,
又
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
与
?
< br>1
,
?
2
,
…
?
m
分
别为
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的全部（复）根，
则
n
m
Res
(
f
,
g
)
?
a
m
0
?
g
(
a
)
?
< br>(
?
1)
i
i
?
1
nm
b
n
0
?
f
(
?
)
(5)
j
j
?
1
为了本文的需求，我们再给出关于
结式的一个补充定义：若
g
(
x
)
为任一次数大于零的
多项式，
r
为任一复数，我们规定：
Res
(
g
(
x
),
r
)
?
Res
(
r
,
g
(
x
))
?
r
(6)
其中
?
(
g
(
x<
/p>
))
?
m
（记号
?
(
g
(
x
))
表示
g
(
x
)
的次数）<
/p>
关于
(6)
式
的合理性可作如下的解释：根据结式定义
,
因为
g
(
x
)
< br>是
m
(
m
?
0)
次多项
式，若数
r
?
0
，则
r
是零次多项式，故
g
(
x
)
与
r
的结式应该是
m
?
0<
/p>
阶行列式，而
g
(
x
)
的
系数不应在行列式中出现，既
（
m
阶行列式）
。
0
0
m
r
Res
(
g
(
x
),
r
)
?
r
…
r
=
r
m
特别地，我们规定
Res
(
g
(
x
),0
)
?
Res
(0,
g
(
x
))
?
0
(7)
2.3.2
主要结果
命题
1
若
f
(
x
)
，
g
(
x
)
（见式
(1)
，
(2)
）满足
f
(
x
)
?
g
(
x
)
q
(
x
)
?
r
(
x
)
且
< br>r
(
x
)
?
0
，
nm
?
m
!
n
?<
/p>
l
b
0
Res<
/p>
(
r
,
g
)
(8)
则
Res
(
f
,
g
)
?
(
?
1)
其中
?
(
r
(
x
))
?
l
证
若
l
?
0
，根据公式
(
5)
，我们有
0
Res
(
f
,
g
)
?
Res
(
g
(
x
)
q
(
x
)
?
r
(
x
),
g
(
x
))
m
m
?
(
?
1)
b
nm
n
0
?
[
g
(
?
)
q
(
?
)
?
< br>r
(
?
)]
?
(
?
1)
j
j
j
j
?
1
nm
n
0<
/p>
b
?
r
(
?
)
j
j
?
1
?
(
?
1)
nm
?
ml
b
(
?
1)
b
n
?
l
0
ml
l
0
?
r
(
?
)
?
(
?
1)
j
j
?
1
m
nm
?
ml
n
?
l
b
0
Res
(
r
,
g
)
若
l
?
0
，
既
r
(
x
)
为
< br>某
一
非
零
数
r
，
借
助
于
我
们
规
定
的
式
(6)
易
知
n
m
n
Res
(
f
,
g
)
?
(
?
1)
nm
b
0
r
?
< br>(
?
1)
nm
< br>b
0
Res
(
< br>r
,
g
)
。从而式
(8)
获证。
类似地，由公式
(4)
与
(8)
不难证明
命题
2
若<
/p>
f
(
x
)
，
g
(
x
)
（见式
(1)
，
(2)
）满足
g
(<
/p>
x
)
?
f
(
x
)
q
(
x
)
?
r
(
x
)
且
r
(
x
)
?
0
，
m<
/p>
?
1
则
Res
(
f
,
g
)
?
a
0
Res
(
f
,
r
)
(9)
其中
?
(
r<
/p>
(
x
))
?
l
。
0
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