-
第
22
章
二次根式
...........
..................................................
......................
2
§22
.1
二次根式
.......................
..................................................
....
3
阅读材料
.......................
..................................................
...............
5
§22
.2
二次根式的乘除法
...................
.............................................
5
1
．二次根式的乘法
.......
..................................................
.............
5
2
．积的算术平方根
.......
..................................................
.............
6
3
．二次根式的除法
.......
..................................................
.............
7
§
22.3
二次根式的加减法
...................
................................................
9
小结
<
/p>
.
............................
..................................................
......................
1
2
复习题
.
.
..................................................
.............................................
1
2
第
22
章
二次根式
人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发
射时必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙
速度．计算第一宇宙速度的公
式是
?
?
g
R
，
其中
g
为重力加速度，
R
为地球半径．
§
22.1
二次根式
在第
12
章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个
记号
a
．
回顾
当
a<
/p>
是正数时，
a
表示
a
的算术平方根，即正数
a
的正的平
方根．
当
a
是零时，
a
等于
0
，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．
当
a
是负数时，
a
没有
意义．
概括
a
（
a
≥
0
）表示非负数
a
的算术平方根，也就是
说，
a
（
a
≥
0
）是一个非负数，它的平
方等于
a
．即有：
<
/p>
（
1
）
a
≥
0
（
a
≥
0
）
；
（
2
）
(
a
)
2
=a
（
a
≥
0
）
．
形如<
/p>
a
（
a
≥
0
）的式子叫做二次根式．
注意
在二次根式
a
中，字母
a
必须满足
a
≥
0
，即被开方数必须
是非负数．
例
分析
解
x
是怎样的实数时，二次根式
x
?
1
有意义？
要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．
被开方数
x-1
≥
0
，即
x
≥
1<
/p>
．
所以，当
x
≥
1
时，二次根式
x
?
1
有意义．
< br>
思考
a
2
等于什么？
我们不妨取
a
的一些值，如
2
，
-2
，
3
，<
/p>
-3
，……分别计算对应的
a2
的值，看看有什么规律：
< br>2
2
=
4
=2
；
(
?
2
)
2
=<
/p>
4
=2
；
3
2
=
9
=3
；
(
?
3
)
2
=
9
=3
；
< br>
……
概括
当
a<
/p>
≥
0
时，
a
2
?
a
；
当
a
＜
0
时，
a
2
?
?
a
．
这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这
个性质，
可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：
4
x
2
?
(
2
x
)
2
=2x
（
x
≥
0
）
；
x
4
< br>?
(
x
2
)
2
?
x
2
．
练习
1
．计算：
（
1
）
(
8
)
2
；
（
2
）
(
9
)
2
；
< br>（
3
）
81
；
（
4
）
100
．
2
．
x
是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
< br>
（
1
）
x
?
3
；
（
2
）
2
x
?
5
；
（
3
）
5
1
；
（
4
）
< br>．
1
?
x
x
3
．
(
a
)
2
与
a
2
是一样的吗？说说你的理由，并与同学
交流．
习题
22.1
1
．
x
是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（
1
）
< br>x
?
1
；
（
2
）
3
x
?
2
；
（
3
）
2
．计算：<
/p>
（
1
）
(
7
)
2
；
（
2
）
(
3
1
；
（
4
）
．
2
x
?<
/p>
1
3
?
2
x
2
2
4
（
3
）
；
（
4
）
9
a
4
．
)
；
3
9
2<
/p>
3
．已知
2
＜<
/p>
x
＜
3
，化简：
(
x
?
2
)
?
x
?
3
．
4
．边长为
a
的正方形桌面，正中间有一个边长为
a
的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可
3
以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
（第
4
题）
阅读材料
蚂蚁和大象一样重吗
同学们一定听过
蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！
蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的
< br>火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！
< br>
我们这里谈论的话题是：
蚂
蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小
的大象，它们的重量明显不是一
个数量级的．但是下面的“推导”却会让你大吃一惊：
蚂
蚁和大象一样重！
设蚂蚁重量为
x
克，大象的重量为
y
克，它们的重量和为
2a
克，即
x+y=2a
．
两边同乘以（
x-y
）
，得
(x+y)(x-y)=2a(x-y)
．
即
2
x
2
?
y
2
?
2
ax
?
2
ay
．
x
2
?
2
< br>ax
?
y
2
?
2
ay
．
(
x
?
a
)
2
?
(
y
?
a
)
2
．
(
x
?
a
)
< br>2
?
(
y
?
a
)
2
，
可变形为
两边都加上
a
，得
于是
可得
所以
x
?
a
?
y
?
a
，
x
?
y
．
< br>
这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论，
岂不荒唐！
那么毛病究竟出在哪里呢？亲爱
的同学，你能找出来吗？
§
22.2
二次根式的乘除法
1
．二次根式的乘法
计算：
（
1
）
4
?
25
与
4
?
25
；
（
2
）
16
?
9
与
16
?
9
．
思考
对于
2
?
3
与
2
?
3
呢？
从计算的结果我们发现，
2
?
3
=
2
?
3
这是什么道理呢？
事实上，根据积的乘方法则，有
(<
/p>
2
?
3
)
2
?
(
2
)
2
?
(
3
)
2
?
2
?
3
，
并且
2
?
3<
/p>
＞
0
，
所以
2
?
3
是
2
×
3
的算术平方根，即
2
?<
/p>
3
=
2
?
3
一般地，有
．
a
?
b
?
ab
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
这就是说，两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘．
注意，在上式中，
a
、
b
都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．
例
1
计算：
（
1
）
7
?
6
；
（
2
）
1
?
32
．
2
解
（
1
）
7
?
6
?
7
?
6
?<
/p>
42
．
（
2
）
1
1
?
32
?
?
32
?
16
?
4
．
2
2
2
．积的算术平方根
上面得到的等式
a
?
b
?
，也可以写成
ab
（
a
≥
< br>0
，
b
≥
0
）
．
a
b
?
a
?
b<
/p>
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
例
2
化简，使被开方数不含完全平方
的因式（或因数）
：
（
1
）
12
；
（
2
）
4
a
3
；
（
3
）
a
4<
/p>
b
．
解
（
1
）
12
?
2
2
?
3
?
2
< br>2
?
3
?
2
3
．
（
2
）
4
a
3
?
4
?
a
2
?
a
?
2
< br>a
2
?
a
?
2
a
a
．
（
3
）
a
4
b
?
a
4
?
b
?
(
< br>a
2
)
2
?
b
?
a
2
b
．
例
2
各题中给出的二次根式，被开方数的因
式中有一些幂的指数不小于
2
，即含有完全平方
的因式
（或因数）
，
如
（
1
）
中
12
?
2
?
3
，
（
2
< br>）
中
4
a
?
2
?
a
?
a
，
（
3
）
中
a
4
b
?
(
a
2
)
2
?
< br>b
，
通常可根据积的算术平方根的性质，并利用
a
2
?
a
（
a
≥
0
< br>）
，将这个因式（或因数）
“开
方”出来．
2
3
2
2
做一做
计算下列各式，并将所得的结果化简：
（
1
）
3
?
6
；
（
2
）
3
a
?
15
a
．
3
．二次根式的除法
讨论
两个二次根式相除，
怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，
和
同伴讨论，提出你的见解．
概括
一般地，有
a
b
．
?
________
（
a
≥
0
，
b
＞
0
）
这就
是说，两个二次根式相除，
___________________________
．
例
3 <
/p>
（
1
）
计算：<
/p>
15
3
；
（
2
）
24
6
．
解
（
1
）
15
3
?
?
15
?
5
．
3
（
2
）
24
6
24
?
4
?
< br>2
．
6
小题（
2
）也可先将分子化简为
2<
/p>
6
，从而容易算得结果．
上面得到的等式，也可以写成
a
b
．
?
______
（
a
≥
0
，
b<
/p>
＞
0
）
这就是说
，商的算术平方根，等于
__________________
．
利用这个性质可以进行二次根式的化简．
例
4
化简
1
2
．
（要求分母中不含二次根式，并且
二次根式中不含分母）
解
1
2
?
1
1
?
2
2
2
2
．
?
?
?
< br>?
2
2
2
2
?
2
2
2
2
1
2
的被开
方数中含有分母，
通常可利用分式的基本性质将它配成完全平方
这里，
二次根式
数，再“开方”出来．
按照例
2
和例
4
的要求化简后的二次根式，
被开方数中不含分母，
并且被开方数中所有因式
的幂的指数都小于
2
，像这样的二次根式称为
最简二次根式
．<
/p>
二次根式的除法，
也可采用化去分母中
根号的办法来进行，
只要将分子、
分母同乘以一个恰
当的因式（也是二次根式）就可以了．如例
4
，将
分子、分母同乘以
2
，得
1
2
?
1
?
2
2
?
2
?
2
(
2
)
2
?
2<
/p>
．
2
练习
1
．化简：
（
1
）
27<
/p>
；
（
2
）
25
a
3
；
（
3
）
2
．计算：
（
1
）
21
?
35
；
（
2
）
2
b
?
6
b
；
（
3
）
1
3
；<
/p>
（
4
）
2
．
5
8
20
；
（
4
）
65
a
39
a
．
3
< br>．现有一张边长为
5cm
的正方形彩纸，欲从中剪下一个
面积为其一半的正方形，问剪下的
正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再
算出近似值，精确到
0.01
）
习题
22.2
1
．化简：
（
1
）
250
；
（
2
）
32
x
4
；
（
3
）
2
．计算：
14
7
；
（
4
）
5
．
6
（
1
）
18
?
30
；
（
2
）
3
?
2
；
（
3<
/p>
）
8
ab
?
6
ab
3
；
75
（
4
）
40
98
；
（
5
）
20
?
1
5
；
（
6
）
2
x
3
8
x
．
3
．某液晶显示屏的对角线长
36cm
，其长与宽之比为
4
∶
3
，试求该液晶显示屏的面积．
< br>
4
．本章导图中给出了第一宇宙速度的计算公式：
?
?
gR
，其中<
/p>
g
通常取
9
.<
/p>
8
米
/
秒
2
，
R
约为
6370
千米．试计算第一宇宙速度．
（结果用
科学记数法表示，并保留两个有效数字）
§
22.3
二次根式的加减法
试一试
计算：
（
1
）
3
3
?
2
3
；
（
2
）
3
a
?
2
a
< br>?
4
a
．
概括
与整式中同类项的意义相类
似，我们把像
3
3
与
< br>?
2
3
，
3
a
、
?
2
a
与
4
a
这样的几
个二次根式，称为
同类二次根式<
/p>
．
二次根式的加减，与整式的加减相类
似，关键是将同类二次根式合并．
例
1
解
计算：
3
2
?
3
?
2
2
?
3
3
．
3
2
?
3
?
2
< br>2
?
3
3
?
(
3
2
?
2
2
)
?
(
3
?
3
3
)
?
2
?
2
< br>3
．
思考
计算：
8
?
18
?
1
2
．
分析
先将各二次根式化简：
8
?
4
?
2
?
4
?
2
?
2
2
，
18
?
_
_____________________
，
12
?
___________________
___
．
解
8
?
18<
/p>
?
12
=
2
2
?
_____
___+___________
=____________________
．
二次根式相加减，先把各个二次根式化
简，再将同类二次根式合并．
例
2
计算：
（
1
）
27
?<
/p>
12
?
45
；<
/p>
（
2
）
25
x
?
16
x
?
9
x
．
4
解
（
1
）
27
< br>?
12
?
45
< br>
?
3
3
?
2
3
?
3
5
?
3
?
3
5
．
（
2
）
25
x
?
16
x
?
9
x
< br>
4
5
x
?
4
x
?
3
x
2
5
?
(
?
4
?
3
)
x
2
7
?
< br>x
．
2
例
3
计算：
?
（
1
）
(
2
?
1
)(
2
?
1
)
；
（
2
）
(
a
?
2
b
)(
a
?
2
b
)
．
解
（
1
）
(
2
?
1
)(
2
?
1
)
?
(
2
)
2
?
1
2
?
2
?
1
?<
/p>
1
．
（
2
）
(
a
?
2
b
)(
a
?
2
b
< br>)
?
(
a
)
2
?
(
2
b
)
2
?
a
?
2
b
．
练习
1
．下
列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（
1
）
2
12
，
27
；
（
2
）
50
，
3
8
；
（
3
）
2
ab
，
3
8
ab
；
（
4
）
3
a
2
b
，
27
ab
2
．
2
< br>．下列二次根式中，哪些与
4
2
是同类二次根式？
12
,
24
,
27
,
50
,
3
．计算：
（
1
）
2
3
?
3
?
4
．计算：
1
．
2
3
3
；
（
2
）
5
3
?
3
75
．
4
（
1
）
(
3
?
2
)(
3
?
2
)
；
（
2
）
(
2
a
?
3
)(
2
a
?
3
)
．
习题
22.3
1
．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（
1
）
3
20
,
50
；
（
2
）
28
,
2
7
；
< br>3
（
3
）
2
m
2
m
3
y
27
x
；<
/p>
（
4
）
．
,
,
n
n
4
x
25
y
2
．计算：
（
1
）
3
5
?
2
?
5
?
4
2
；
（
2
< br>）
2
75
?
3
27
?
12
；
（
3
）
72
?
18
?
3
．计算：
（
1
）
(
1
?
3
2
．
2
（
2
）
(
< br>a
?
b
)(
?
a
?
b
)
．
x
)(
1
?
x
)
；
4
．用一根铁丝做成一个正方形，使它恰
好能嵌入一个直径为
20cm
的圆中（如图）
< br>，求这根
铁丝的长度．
（结果精确到
0.1cm
）
（第
4
题）
5
．已知二次根式
< br>2
a
?
1
与
7
是同类二次根式，试写出三个
a
的可能取值．
小结
一、
知识结构
二次根式的化简
二次根式
二次根式的运算
二、
概括
1
理解符号
a
的意义是研究二次根式的关键．
a
表
示非负数
a
的算术平方根，即有：
（
1
）
a
≥
0(a
≥
0
）
；
（
2
）
(
a
)
2
=a
（
a
≥
0
）
．
要注意二次根式中字母的取值范围：
被开方数必须是非负数．
2
二次根式的化简是进行二次根式运
算的重要手段，
二次根式的化简主要包括两个方面：
（
1
）
如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再
“开
方”出来．
（
2
）
如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数）
，可利用积的算术平
方根的性质，将
它“开方”出来．
在
化简过程中，都需要将被开方数中的完全平方“开方”出来，在这里，二次根式的性质
“
(
a
)
2
=a
（
a
≥
0
）
”起着举足轻重的作用．
3
二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减．
（
1
）
二次根式乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：
；
a
?
b
?
ab
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
a
b
?
a
（
a
≥
0
，
b
＞
0
）<
/p>
．
b
（
2
）
二次根式的加
减类似于整式的加减，
关键是合并同类二次根式．
通常应先将二
次根式
化简，再把同类二次根式合并．
二次根式运算的结果应尽可能化简．
复习题
A
组
1
．计算：
（
1
）
5
?
2
；
（
2
）
5
?
10
；
（
3
）
14
35
；
（
4
）
52
?
2
13
；
（
5
）
5
24
2
；
（
6
）
(
12
?
5
8
)
?
3
；
?
3
2
3
2
（
7
）
a
?
b
；
（
8
）
5<
/p>
a
2
?
4
a
2
（
a
≥
0
）
；
a
；
（
10
）
(
（
9
）
12
?
6
3
m
n
m<
/p>
n
?
)(
?
)
．
2
3
2
3
2
．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？
（
1
）
2
18<
/p>
2
7
（
2
）
；
,
,
40
；
2
3
5
m
2
< br>m
a
3
2
ab
3
（
3
）
；
（
4
）<
/p>
．
,
,
2
n
n
2
b
25
3
．
x
取何值时，下列各二次根式有意义？
（
1
）
3
x
?
4
；
（
2
）
2
?
2
x
．
<
/p>
3
4
．
x
是怎样的实数时，
(
x
?
2
)(
3
?
x
)
?
x<
/p>
?
2
?
3
?
x
？
5
．
钳工车间用圆钢做正方形螺母，
所需螺母边长为
a
，
问下料
时至少要用直径多大的圆钢？
（第
5
题）
6
．
如图，
边长为
8
米的正方形大厅，
地面由大小完全相同的黑、
白正方形方砖相间铺成．
求
每块方砖的边长．
（第
6
题）
B
组
7
8
9
10
11
若
a
2
?
a
?
0
，则
a
的取值范围是
__________________
．
若
a
?
3
?
3
?
a
有意义，则
a
的值为
______________
．
2
2
若
(
x
?
2
)
?
(
x
?
2
)
，则
x
的取值范围是
________________<
/p>
．
试写出一
个式子，使它与
2
?
1
之积不含二次根式．
2
<
/p>
数
a
、
b
在数轴上的位置如图所示，化简
(
a
?
1
)
?
(
b
?
1
< br>)
2
?
(
a
?
b
)
2
．
(
第
11
题
)
C
组
12
化简：
1
1
?
2
?<
/p>
1
2
?
3
?
?
?
1
8
?
9
．
13
19
世纪俄国文学巨匠列夫·
托尔斯泰曾在作品
《一个人需
要很多土地吗》
中写了这样
一个故事：
有一个叫巴霍姆的人到草原上去购买土地，
< br>卖地的酋长出了一个非常奇怪的地价
“每天
1000
卢布”
，意思是谁出
1000
卢布，
只要他日出时从规定地点出发，日落前返回出发点，所走过
的路线圈起的土地就全部归他．
如果日落前不能回到出发点，
那么他就得不到半点土地，
白
出
1000
卢布．
巴霍姆觉得这个
条件对自己有利，便付了
1000
卢布．第二天天刚亮，他就连
忙在草原上大
步向前走去．
他走了足足有
10
俄里
（
1
俄里≈
1.0668
公里）
，
才朝左拐弯；
接着又走了许久，
才再向左拐弯
；这样又走了
2
俄里，这时他发现天色不早，而自己离出发点还
足有
15
俄里
的路程，于是只得改变方
向，径直朝出发点奔去……最后，他总算如期赶到了出发点，
却因
过度劳累，口吐鲜血而死．
请你算一算，
< br>巴霍姆这一天走了多少俄里路？他走过的路线围成的土地面积有多大？
（结果
保留二次根式）
第
23
章一
元二次方程
.................................
.............................................
2
§23
.1
一元二次方程
.....................
..................................................
.
3
§23
.2
一元二次方程的解法
..................
..........................................
4
阅读材料
..................................................
....................................
2
7
§23
.3
实践与探索
......................
..................................................
..
2
8
小结
.
..
..................................................
................................................
3
0
复习题
.
...........................
..................................................
...................
3
1
第
23
章一
元二次方程
绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，
安排面积为
900
平方米的一块长方形绿地，并且长比
宽多
10
米，那么绿地的长和宽各为多少？
设宽为
x
米，可列出方程
x
(
x
?
10
)
?
900<
/p>
，
整理得
方程
x<
/p>
?
10
x
?
900
?
0
中未知
数
x
的最
高次数是
2
，它是一个一元二次方程．
2
x
2
?
10
x
?
900
?
0
．
§
23.1
一元二次方程
问题
1
绿苑小区规划设计时，准备在
每两幢楼房之间，安排面积为
900
平方米的一块长方形绿地，
并且长比宽多
10
米，那么绿地的长和
宽各为多少？
分析
我们已经知道可以运用方程解决实际问题．