-
第二十二章
二次函数
22.1
二次函数的图象和性质
22.1.1
二次函数
1
．二次函数的概念：一般地，形如
y
?
ax
2
?
bx
?
c
（
a
，
b
，
c
是常数，
a
?
< br>0
）的函数，叫做二次函数
.
这里
需要
强调：和一元二次方程类似，二次项系数
a
?
< br>0
，而
b
，
c
可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.
二次函数
y
?
ax
2
?
bx
?
c
的结构特征：
⑴
等号左边是函数，右
边是关于自变量
x
的二次式，
x
的最高次数是
2
．
⑵
a
，
b
，
c
是常数，<
/p>
a
是二次项系数，
b
是一次项系数，
c
是常数项．
22.1.2
二次函数
y
?
ax
的图象和性质
2
1.
二次函数基本形式：
y
?
ax
2
的性质：
a
的绝对值越大，抛物线的开口越小
.
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而增大
；
x
?
0
时，
y
随
x
的
a
?
0
向上
?
0<
/p>
，
0
?
y
轴
增大而
减小；
x
?
0
时，
y
有最小值
0
．
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
?
< br>0
时，
y
随
x
的
a
?
0
向下
?
0
，
0
?
y
轴
例
1
．
若
抛
物
线
y=ax
2
经过
P
（
1
，
增大而增大
；
x
?
0
时，
y
有最大值
0
．
﹣
2
）<
/p>
，则它也经过
(
)
A
．
（<
/p>
2
，
1
）
B
．
（﹣
1
，
2
）
C
．
（
< br>1
，
2
）
D
．
（﹣
1
，﹣
2
）
【答案】
【解析】
试题解析：∵抛物线
y=ax
2
经过点
P
（
1
，
-2<
/p>
）
，
∴
x=-1
时的函数值也是
-2
，
即它也经过点（
-1
，
-2
）
．
故选
D
．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
例
2
．若点
(2
，
-1)
在抛物线
y
?
ax
上，那么，当
x=2
时，
y=_________
2
【答案】
-1
【解析】
2
y
?
ax
试题分析：先把
(2
，
-1)
直接代入
即可得到解析式，再把
x=2
代入即可
.
由题意得
4
a
?
?
1
，
a
?
?
，则
y
?
?
当
x
?
2
时，
y
?
?
?
< br>4
?
?
1
.
考点：本题考查的是二次函数
1
4
1
2
x
，
4
1
4
点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象
上的点适合这个二次函数的关系式
.
2.
< br>y
?
ax
2
?
c
的性质：
上加下减
.
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
?
0
时，
y
随
x
a
?
0
向上
?
0
，
c
?
y
轴
的增大而减小；
x
?
0
时，
y
有最小值
c<
/p>
．
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
?
0
时，
y
随<
/p>
a
?
0
向下
?
0<
/p>
，
c
?
y
轴
x
的增大而增大；
x
?
0
时，
y
有最大值
< br>c
．
例
1
．
若
抛
物
线
y=ax
2
+c
经过点
P
（
l
，－
2
）
，则它也经过
（
）
A
．
P
1
（－
1
，－
2
）
B
．
P
2
（－
l
，
2
）
C
．
P
3
（
l
，
2
）
D
．
P
4
（
2
，
1
）
【答案】
A
【解析】
试题分析：因为抛物线
y=ax
2
+c
经
过点
P
（
l
，－
2
）
，且对称轴是
y
轴，所以点
P
（
l
，－
2
）的对称点是
（－
1
，
－
2
）
，所以
P
1
（－
1
，－
2
）在抛物线上，故选：
A.
考点：抛物线的性质
.
例
2
．已知函数
y=ax+b
经过（
1
，
3
）
，
（
0
，
﹣
2
）
，则
a
﹣
b=
（
）
A
．﹣
1
B
．﹣
3
C
．
3
D
．
7
【答案】
D
．
【解析】
试题分析：∵函数
y=ax+b
经过（
1
，
3
）
，
（<
/p>
0
，﹣
2
）
，
?
a
?
b
?
3
?
a
?
5
< br>∴
?
，解得
?
< br>．
b
?
?
2
b
?
?
2
?
?
∴
a
﹣
b=5+2=7
．
故选
D
．
<
/p>
考点：
1
．直线上点的坐标与方程的关系
；
2
．求代数式的值．
例
3
．两条直线
y
1
＝
ax
＋
b
与
y
2
＝
bx
＋
a
< br>在同一坐标系中的图象可能是下图中的
(
)
【答案】无正确答案
【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑
a
< br>，
b
的值，看看是否矛盾即可．
解：
A
、由
y
1
的图象可知，
a
＜
0
，
b
＜
0
；由
y
2
的图象可知，
a>0
，
b<0
，两结论矛盾，故错误；
B
、由
y
1
的图象可知，
a
＞
0
，
b
＞
0
；由
y
2
的图象可知，
a
＞
0
，
b<0
，两结论相矛盾，故错误；
< br>C
、由
y
1
的图象可知，
a>0
，
b<0
；由
y
2
的图象可
知，
a
＜
0
，
b
＜
0
，两结
论相矛盾，故错误；
D
、由
y
1
的图象可知，
a<
/p>
＞
0
，
b
＞
0
；由
y
2
的图象可知，
a<0
，
b<0
，两结论相矛盾，故错误．
故无正确答案．
点评：
此题主要考查了一次函数的图象性质，
要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数
y=kx+b
的图象有四种情况：<
/p>
①当
k
＞
0
，
b
＞
0
，函数
y=kx+b
的图象经过第一、二、三象限；
②当
k
＞
0
，
b<
/p>
＜
0
，函数
y=
kx+b
的图象经过第一、三、四象限；
③当
k
＜
0
，
b
＞
0
时
，函数
y=kx+b
的图象经过第一、二、四象限；
④当
k
＜
0
，
b
＜
< br>0
时，函数
y=kx+b
的图象
经过第二、三、四象限．
22.1.3
二次函数
y
?
a
< br>?
x
?
h
?
2
?
k
的
图象和性质
左加右减
.
a
?
0
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
x
?
h
时，<
/p>
y
随
x
的增大而
增大；
x
?
h
时，
y
随
向上
?
h
，
0
?
X=h
x<
/p>
的增大而减小；
x
?
h
时，
y
有最小值
0
．
x
?
h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
?
h
时，
y
随
a
?
0
向下
?
h
，
0
?
X=h
x
的增大而增大；
x
?
h
时，
y
有最大值
0
．
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
的性质：
< br>
a
的符号
2
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
x
?
h
时，<
/p>
y
随
x
的增大而
增大；
x
?
h
时，
y
随
a
?
0
向上
<
/p>
?
h
，
k
?
X=h
x
的增大而减小；
x
?
h
时，
y
有最小值
< br>k
．
a
?
0
x
?
h
时，
y
随
x
的增大而减小
；
x
?
h
时，
y
随
向下
<
/p>
?
h
，
k
?
X=h
x
的增大而增大；
x
?
h
时，
y
有最大值
< br>k
．
例
1
．将二次函数
y=x
2
﹣
2x
﹣
3
化成
y=
（
x
﹣
h
）
2
+k
形式，则
h+k
结果为（
）
A
．﹣
5
B
．
5
C
．
3
D
．﹣
3
【答案】
D
．
【解析】
试题分析：
y=x
2
-2x-3=
（
x
2
-2x+1
）
-1-3=
（
x-1
< br>）
2
-4
．
<
/p>
则
h=1
，
k=
-4
，
∴
h
+k=-3
．
故选
D
．
考点
:
二次函数的三种形式．
例
2
．把二次函数
y=x
2
+6x+4
配方成
y=a
（
x-h
）
2
+k
的形式，得
y=___
，它的顶点坐标是
___
．
【答案】
（
x+3
）<
/p>
2
-5
，
（
-3
，
-5
）
【解析】
试题
分析：
y=
x
2
+6x+4=
(
x
+
3)
2
-
5
< br>，则顶点坐标为（－
3
，－
5<
/p>
）
．
考点：二次函数的顶点式．
例
3
．把二次函数
y
?
1
2
x
?
3
x
?
4
配方成
y
＝
a
（
x
－
k
）
2
＋
h
< br>的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴
.
2
【答案】
y=
顶点坐标（
3
，
-
）
，对称轴方程
x
＝
3
【解析】
试题分析：
y=
x
2
﹣
< br>3x+4=
（
x
﹣
3
）
2
﹣
< br>，
则顶点坐标（
3
，﹣
）
，对称轴方程
x=
3
，
考点：二次函数的图像及性质
1
、二次函数图象的平移
（
1
）平移步骤：
k
?
；
方法一：
（
1
）将
抛物线解析式转化成顶点式
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
，确定其顶点坐
标
?
h
，
2<
/p>
k
?
处，具体平移方法如下：
（
2
）保持抛物线
y
?
ax
2
的形状不变，将其顶点平移到
?
h
，
向上
(
k
>
0
)
【或向下
(
k
<0)
】平移
|k
|
个单位
y=a
x
2
y=ax
2
+
k
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
< br>|
k|
个单位
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
|
k|
个单位<
/p>
向上
(
k
>0)
【或下
(
k
<
0)
】
平移
|k
|
个单位
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
|
k|
个单位
y=a
(
x-h
)
2
向上
(
k
>0)
【或下
(
k
<0)
】平移
|k
|
个单位
y=a
(
x-h
)
2
+k
（
2
）平移
规律
在原有函数的基础上“
h
值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
（
1
）
y
?
ax
?
bx
?
c<
/p>
沿
y
轴平移
:<
/p>
向上（下）平移
m
个单位，
y
?
ax
?
bx
?
c
变成
2
2
y
?
ax
2
?
bx
?
c
?
m
（或
y
?
a
x
2
?
bx
?
c
?
m
）
（
2
）
y
?
ax
?
bx
?
c
沿轴平移：
向左
（右）
平移
m
个单位，
y
?
ax
?
bx
?
c
变成
y
?
a
(
x
?
m
)
?
b
(
x
?
m
)
?
c
2
2
< br>2
（或
y
?
a
(
x
?
m
)
?
b
(<
/p>
x
?
m
)
?
c
）
2
例
1
．将二次函数
y
＝
x
2
的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为
(
)
A
．<
/p>
y
＝
x
2
－
1
B
．
y
＝
x
2
＋
1
C
．
y
＝
(x
－
1)
2
D
．
y
＝
(x
＋
1)
2
【答案】
A
【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数
y
＝
x
2
的图象
向下平移一个单位，则平移以后的二次
函数的解析式为：
y
＝
x
2
－
1.
故选
A.
例
2
．将二次函数
y=x
2
的图象向右平移
1
个单位，再向
上平移
2
个单位后，所得图象的函数表达式是
< br>
A
．
y=(x
–
1)
2
+2
B
．
y=(
x+1)
2
+2
C
< br>．
y=(x
–
1)
2
–
2
D
．
y=(x+1)
2
–
2
【答案】
A
．
【解析】
试题分析：
原抛物线的顶点为
（
0
，
0
）
，
向右平移<
/p>
1
个单位，
再向上平移
< br>2
个单位，
那么新抛物线的顶点为
（
1
，
2
）
．
可
设新抛物线的解析式为
y=
（
x
﹣
h
）
2
+k
，代入得
y=
（
x
﹣
1
）
2
+2
．
故选
A
．
考点：二次函数图象与几何变换．
2
例
3
．将二次函数
y
?
x
的图象如何平移可得到
y
?
x
?
4
x
?
3
的图象（
）
2
A
．向右平移
2
个单位，向上平移一个单位
B
．向右平移
2
个单位，向下平移一个单位
C
．向左平移
2
个单位，向下平移一个单位
D
．向左平移
2
个单位，向上平移一个单位
【答案】
C
【
解析】
y
?
x
?
4
x
?
3<
/p>
?
(
x
?
2)
?
1
，根据二次
函数的平移性质得：
向左平移
2
个单位
，向下平移一个单位
.
故选
C.
例
4
．已知点
P<
/p>
（﹣
1
，
m
）在二次函数
y=x
2
﹣
1
的图象上，则
m
的值为
；平移
此二次函数的图象，使点
P
与坐标原点重合，则平移后的函数图
象所对应的解析式为
．
【答案】
0
，
y=x
2
﹣
2x
．
【解析】
∵点
P
（﹣
1
，
m
）在二次函数
y=x
2
﹣
1
的图象上，
∴（﹣
1
）
2
﹣
1=m
，
解得
m=0
，
平移方法为向右平移
1
个单位，
平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（
1
，﹣
1
）
，
平移后的函数图象所对应的解析式为
y=
（
x
﹣
1
）
2
﹣
1=x
2
﹣
2x
，<
/p>
即
y=x
2<
/p>
﹣
2x
．
故答案为：
0
，
y
=x
2
﹣
2x
．
2
2
2<
/p>
、二次函数
y
?
a
?
x
?
h<
/p>
?
?
k
与
y
?
ax
2
?
bx
?
c
的比较
2
从解析式上看
，
y
?
a
?<
/p>
x
?
h
?
?
k
与
y
?
ax
2
?
bx
?
c
是两种不同的表达
形式，后者通过配方可以得到前者，即
2
b
?
4
ac
?
b
2
b
4
a
c
?
b
2
?<
/p>
y
?
a
?
x
?
，其中
h
?
?
，
．
k
?
?
?
2
a
4
a
2
a
4
a
?
?
2
3<
/p>
、二次函数
y
?
ax
2
?
bx
?
c
图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数
y
?
< br>ax
2
?
bx
< br>?
c
化为顶点式
y
?
a
(
x
< br>?
h
)
2
?
k
，
确定其开口方向、对称轴及<
/p>
c
?
、以
顶点坐
标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
.
一般我们选取的
五点为：顶点、与
y
轴的交点
?
0
，
c
?
关于对称轴对称的点
?
2
h
，
c
?
、与
x
轴的交点
?
x
1
，
0
?<
/p>
，
?
x
2
，
0
?
（若与
x
轴没有交点，则取两组关于对
及
?
0
，
称轴对称的点）<
/p>
.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，与
y
轴的交点
.
4
、二次函数
y
?
ax
2
?
bx
?
c
的性质
?
b
4
ac
?
b
< br>2
?
b
1.
当
a
?
0
时，抛物线开口向上，对称轴为<
/p>
x
?
?
，顶点坐
标为
?
?
，
?
．
2
a
4
a
2
a
?
?
4
ac
?
b
2
b
b
b
当
x
?
?
时，
y
随
x
的增大而减小；
当
x
?
?
时，
y
随
x
的增大而增大；
当
x
?
?
时，
y
有最小值
．
4
a
2
a
2
a
2
a
?
b
4
ac
?
b
2
?
b
b
2.
当
a
?
0
时，抛物线开口向下，对称轴为
x<
/p>
?
?
，顶点坐标为
?
?
，
时，
y
随
x
的增
?
．当
x
?
?<
/p>
2
a
4
a
2
a
2
a
?
?
4
ac
?
b
2
b
< br>b
大而增大；当
x
?
?
时，
y
随
x
的增大而减小；当
x
?<
/p>
?
时，
y
有最大
值
．
4
a<
/p>
2
a
2
a
例
1
．当
a < 0
时，方程
ax
2
+bx+c=0
无实数根，则二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图像一定在
（
）
A
、
x
轴上方
B
、
x
轴下方
C
、
y
轴右侧
D
、
y
轴左侧
【答案】
B
【解析】
试题分析：∵方程
ax
2
+bx+c=0
无实数根，∴
b
2
+4ac<0
，即函数图形与
x
轴没有交点
又∵
a < 0
，∴二次函
数
y=ax
2
+bx+c
的图像一定在
x
轴下方
故选
B
．
考点：二次函数的性质
例
2
．已知二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象如图，则
a
、
b
、
c
满足
（
）
A
、
a
＜
0
，
b
＜
0
，
c
＞
0
B
、
a
＜
0
，
b
＜
0
，
c
＜
< br>0
C
、
a
＜
0
，
b
＞
0
，
c
＞<
/p>
0
D
、
a
＞
0
，
b
＜
0
，
c
＞
0
【答案】
A
【解析】
试题分析：由于开口向下可
以判断
a
＜
0
，由与
y
轴交于正半轴得到
c
＞
0
，又由于对称轴
x
=-
＜
0
，所以可以找到结果．
试题解析：根据二次函数图象的性质，
∵开口向下，
∴
a
＜
0
，
∵与
y
轴交于正半轴，
∴
c
＞
0
，
又∵对称轴
x=-
b
＜
0
，可以得到
b
2
a
b
＜
0
，
2
a
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