-
.
第二十二章
二次函数
22.1
二次函数的图象和性质
22.1.1
二次函数
b
，
c
是常数，
a
?
0
）的函数，叫做二次函数
.
这里<
/p>
1
．二次函数的概念：一般地，形如
y<
/p>
?
ax
2
?
bx
?
c
（
a
，
c
可以为零．二
次函数的定义域是全体实数．
需要强调：和一元二次方程类似
，二次项系数
a
?
0
< br>，而
b
，
2.
二次函数
y
?
ax
2
?
bx
?
c
的结构特征：
⑴
等号左边是函数，右边是关于自变
量
x
的二次式，
x
的最高次数是
2
．
b
，
c
是常数，
a
是二次项系数，
b
是一
次项系数，
c
是常数项．
⑵
a
，
22.1.2
< br>二次函数
y
?
ax
的图象和性质
2
1. <
/p>
二次函数基本形式：
y
?
ax
2
的性质：
a
的绝对值越大，抛物线的开口越小
.
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a
?
0
向上
?
0<
/p>
，
0
?
y
轴
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而减小；
< br>x
?
0
时，
y
有最小值
0
．
< br>
a
?
0
向下
?
0<
/p>
，
0
?
y
轴
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
?
0
时，
y
随
x
例
1
．若抛物线
y=ax
2
经过
P
（
1
，
的增大而增大；
x
?
0
时，
y
有最大值
0
．
﹣
2
）
，则它也经过
(
)
A
．
（
2
，
1
）
B
．
（﹣
1
，
2
）
C
．
（
1
，
2
）
D<
/p>
．
（﹣
1
，﹣<
/p>
2
）
【答案】
【解析】
试题解析：∵抛物线
y=ax
2
经过点
P
（
1
，
-2<
/p>
）
，
∴
x=-1
时的函数值也是
-2
，
即它也经过点（
-1
，
-2
）
．
故选
D
．
<
/p>
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
可编辑版
< br>
.
例
2
．若点
(2
，
-1)
在抛物线
y
?
ax
上，那么，当
x=2
时，
y=_________
【答案】
-1
【解析】
2
y
?
ax
试题分析：先把
(2
，
-1)
直接代入
即可得到解析式，再把
x=2
代入即可
.
2
由题意得<
/p>
4
a
?
?
1
，
a
?
?
1
1
，则
y
?
?
x
< br>2
，
4
4
当
x
?
2
时，
y
?
?<
/p>
?
4
?
?
1
.
考点：本题考查的是二次函数
点评：
解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式
.
2.
y
?
ax
2
?
c
< br>的性质：
上加下减
.
a
1
4
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
?
0
时，
y
a
?
0
向上
?
0<
/p>
，
c
?
y
轴
随
x
的增大而减小；
x
?
0
时，
y
有最小值
c
．
例
1
．若抛物线
y=ax
2
+c
经过点
P
（
l
，
－
2
）
，
则它也
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
?
0
时，
y
a
?
0
向下
?
0
，
c
?
y
轴
随
x
的增大而增大；
x
?
0
时，
y
有最大值
c
．
经过
（
）
A
．
P
1
（－
1
，－
2
）
B
．
P
2
（－
l
，
2
）
C
．
P
3
（
l
，
2
）
D
．
P
4
（
2
，
1
）
【答案】
A
【解析】
试题分析：因为抛物线
y=ax
2
+c
经
过点
P
（
l
，－
2
）
，且对称轴是
y
轴，所以点
P
（
l
，－
2
）的对称点是
（－
1
，－
2
）
，所以
P
1
（－
1
，－
2
）在抛物线上，故选：
A.
考点：抛物线的性质
.
例
2
．已知函数
y=ax+
b
经过（
1
，
3
）
，
（
0<
/p>
，﹣
2
）
，则<
/p>
a
﹣
b=
（
）
A
．﹣
1
B
．﹣
3
C
．
3
D
．
7
【答案】
D
．
可编辑版
.
【解析】
可编辑版
.
试题分析：∵函数
y=ax+b<
/p>
经过（
1
，
3<
/p>
）
，
（
0
，﹣
2
）
，
?
a
?
b
?
3
?
< br>a
?
5
∴
?
，解得
?
．
?
b
?
?
2
?
b
?
?
2
∴
a
﹣
b=5+2=7
．
故选
D
．
<
/p>
考点：
1
．直线上点的坐标与方程的关系
；
2
．求代数式的值．
例
3
．两条直线
y
1
＝
ax
＋
b
与
y
2
＝
bx
＋
a
< br>在同一坐标系中的图象可能是下图中的
(
)
【答案】无正确答案
【解析】分析：
首先根据两个一次函数的图象，分别考虑
a
，
< br>b
的值，看看是否矛盾即可．
解：
A
、由
y
1
的图象可知，
a
＜
< br>0
，
b
＜
0
；由
y
2
的图象可知，
a>0
，
b<0
，两结论矛盾，故错误；
B
< br>、由
y
1
的图象可知，
a
＞
0
，
b
＞
0
；由
y
2
的图象可知，
a
＞
0
，
b<0
，两结论相矛盾，故错误；
C
、由
y
1
的图象可知，
a>0
，
b<0
；由
y
2
的图象可知，
a
＜
0
，
b
＜
0
，两结论相矛盾，故错误；
D
、由
y
1
的图象可知，
a
＞
0
，
b
＞
0
；由
y
2
的图象可知，
a<0
，
b<0
，两结论相矛盾，故错误．
故无正确答案．
点评：
此题主要考查了一次函数的图象性质，
要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数
y=kx+b
的图象有四种情况：<
/p>
①当
k
＞
0
，
b
＞
0
，函数
y=kx+b
的图象经过第一、二、三象限；
②当
k
＞
0
，
b<
/p>
＜
0
，函数
y=
kx+b
的图象经过第一、三、四象限；
③当
k
＜
0
，
b
＞
0
时
，函数
y=kx+b
的图象经过第一、二、四象限；
④当
k
＜
0
，
b
＜
< br>0
时，函数
y=kx+b
的图象
经过第二、三、四象限．
22.1.3
二次函数
y
?
a
< br>?
x
?
h
?
2
?
k
的
图象和性质
左加右减
.
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
x
?
h
时，<
/p>
y
随
x
的增大而
增大；
x
?
h
时，
a
?
0
向上
?
h<
/p>
，
0
?
X=h
y
随
x
的增大而减小；
x
< br>?
h
时，
y
有最小值
0
．
a
?
0
向下
?
h<
/p>
，
0
?
X=h
x
?
h
时，
y
随<
/p>
x
的增大而减小；
x
?
h
时，
可编辑版
.
y
随
< br>x
的增大而增大；
x
?
h
时，
y
有最大值
可编辑版
.
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
的性质：
2
0
．
例
1
．
将
数
y=x
2
3
化
成
h
）
2
+k
a
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
x
?
h
时，<
/p>
y
随
x
的增大而
增大；
x
?
h
时，
a
?
0
向上
?
h<
/p>
，
k
?
X=h
y
随
x
的增大而减小；
x
< br>?
h
时，
y
有最小值
k
．
< br>x
?
h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
?
h
时，
二
次
函
a
< br>?
0
向下
?
h<
/p>
，
k
?
X=h
y
随
x
的增大而增大；
x
< br>?
h
时，
y
有最大值
k
．
< br>﹣
2x
﹣
y=
< br>（
x
﹣
形
式
，
则
h+k
结果为（
）
A
．﹣
5
B
．
5
C
．
3
D
．﹣
3
【答案】
D
．
【解析】
试题分析：
y=x
2
-2x-3=
（
x
2
-2x+1
）
-1-3=
（
x-1
< br>）
2
-4
．
<
/p>
则
h=1
，
k=
-4
，
∴
h
+k=-3
．
故选
D
．
考点
:
二次函数的三种形式．
例
2
．把二次函数
y=x
2
+6x+4
配方成
y=a
（
x-h
）
2
+k
的形式，得
y=___
，它的顶点坐标是
___
．
【答案】
（
x+3
）<
/p>
2
-5
，
（
-3
，
-5
）
【解析】
试题
分析：
y=
x
2
+6x+4=
．
(
x
3)
2
5
< br>，则顶点坐标为（－
3
，－
5<
/p>
）
考点：二次函数的顶点式．
例
3
．把二次函数
y<
/p>
?
1
2
x
?
3
x
?
4
配方成
y
＝
a
（
x
－
k
）
2
＋
h
的形式，并写出它的图象的顶点坐标、对称轴
.
2
可编辑版
【
答
案
】
y=
【解析】
.
顶
点
坐
标
（
3
，
-
）
，对称轴方程
x<
/p>
＝
3
可编辑版
.
试题分析：
y=
x
2
﹣
3x+4=
（
x
﹣
3
）
2
﹣
，
则顶点坐标（
3
，﹣
）
，对称轴方程
x=3
，
考点：二次函数的图像及性质
1
、二次函数图象的平移
（
1
）平移步骤：
k
?
；
方法一：
（
1
）将
抛物线解析式转化成顶点式
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
，确定其顶点坐
标
?
h
，
2<
/p>
2
k
?
处，具体
平移方法如下：
（
2
）保持抛物线
y
?
ax
的形状不变，将其顶点平移到
?
h
，
y=ax
2
向上
(
k
>
0
)
【或向下
(
k
<0)
】平移
|k
|<
/p>
个单位
y=ax
2
+
k
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
< br>|
k|
个单位
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
|
k|
个单位<
/p>
向上
(
k
>0)
【或下
(
k
<
0)
】
平移
|k
|
个单位
向右
(
h
>0)
【或左
(
h
<0)
】
平移
|
k|
个单位
y=a
(
x-h
)
2
向上
(
k
>0)
【或下
(
k
<0)
】平移
|k
|
个单位
y=a
(
x-h
)
2
+k
（
2
）平移
规律
在原有函数的基础上“
h
值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
（
1
）
y
?
ax
?
bx
?
c<
/p>
沿
y
轴平移
:<
/p>
向上（下）平移
m
个单位，
y
?
ax
?
bx
?
c
变成
2
2
y
?
ax
2
?
bx
?
c
?
m
（或
y
?
a
x
2
?
bx
?
c
?
m
）
（
2
）
y
?
ax
?
bx
?
c
沿轴平移：向左
（右）平移
m
个单位，
y
?
ax
?
bx
?
c
变成
2
2
y
?
a
(
x
?
m
)
2
?
b
(<
/p>
x
?
m
)
?
c
（或
y
?
a
(
x
?
m
)
2
< br>?
b
(
x
?
m
)
?
c
）
例
1
．将二次函数
y
＝
x
2
的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式
为
(
)
A
．
y
＝
x
2
－
1
B
．
y
＝
x
2
＋
1
C
．
y
＝
(x
－
1)
2
D
．
y
＝
(x
＋
1)
2
【答案】
A
【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数
y
＝
x
2
的图象向下平
移一个单位，则平移以后的二次
函数的解析式为：
y
＝
x
2
－
1.
故选
A.
可编辑版
.
例
2
．将二次函数
y=x
2
的图象向右平移
1
个单
位，再向上平移
2
个单位后，所得图象的函数表达式是
可编辑版
.
A
．
y=(x
–
1)
2
+2
B
．
y=(x+1)
2
+2
C
．
y=(x
–
1)
2
–
2
D
．
y=(x+1)
2
–
2
【答案】
A
．
【解析】
试题分析：
原抛物线的顶点为
（
0
，
0
）
，
向右平移<
/p>
1
个单位，
再向上平移
< br>2
个单位，
那么新抛物线的顶点为
（
1
，
2
）
．
可
设新抛物线的解析式为
y=
（
x
﹣
h
）
2
+k
，代入得
y=
（
x
﹣
1
）
2
+2
．
故选
A
．
考点：二次函数图象与几何变换．
2
例
3
．将二次函数
y
?
x
的图象如何平移可得到
y
?
x
?
4
x
?
3
的图象（
）
2
A
．向右平移
2
个单位，向上平移一个单位
B
．向右平移
2
个单位，向下平移一个单位
C
．向左平移
2
个单位，向下平移一个单位
D
．向左平移
2
个单位，向上平移一个单位
【答案】
C
<
/p>
【解析】
y
?
x
?
4
x
?
3
?
(
x
?
2)
?
1
，根据二次函数的平移性质得：
向左平移
2
个单位，向下平移一个单位
.
故选
C.
例
4
．已知点
P
（﹣
1
，
m
）在二次函数
y=
x
2
﹣
1
的图
象上，则
m
的值为
；平移此二次函数的图象，使点
P<
/p>
与
坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为
．
【答案】
0
，
y=
x
2
﹣
2x
．
【解析】
∵点
P
（﹣
1
，
m
）在二次函数
y=x
2
﹣
1
的图象上，
∴（﹣
1
）
2
﹣
1=m
，
解得
m=0
，
平移方法为向右平移
1
个单位，
平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（
1
，﹣
1
）
，
平移后的函数图象所对应的解析式为
y=
（
x
﹣
1
）
2
﹣
1=x
2
﹣
2x
，<
/p>
即
y=x
2<
/p>
﹣
2x
．
故答案为：
0
，
y
=x
2
﹣
2x
．
2
2
2<
/p>
、二次函数
y
?
a
?
x
?
h<
/p>
?
?
k
与
y
?
ax
2
?
bx
?
c
的比较
2
可编辑版
.
2
从解析式上看，
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
与
y
?<
/p>
ax
?
bx
?<
/p>
c
是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
2
b
?
4
ac
?
b
2
b
4
ac
?
b
2
?
y
?
a
?
x
?
k
?
，其中
h
?
?
，
．<
/p>
?
?
2
a
?
4
a
2
a
4
a
?
2
3
、二次函数
y
?
ax
2
?
bx
?
c
图象的画法
2
2
五点绘图法：利用配方法将二次函数
y
?
ax
?
bx
?
c
化为顶点式
y
?
a
(
x
?
h
)
?
k
，
确定其开口方向、对称轴及
c
?
、以
顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
.
一般我们选取的五点为：顶点、与
y
轴的交点
?
0
，
c
?
关于对称轴对称的点
?
2
h
，
c
?
、
与
x
轴的交点
?
x
< br>1
，
0
?
，
?
x
2
，
0
?
（若与
x
轴没有交点，
则取两组关于对
及
?
0
，
称轴对称的点
）
.
画草图时应抓住以下几点：开口
方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，与
y
轴的交点
.
4
、二次函数
y
?
ax
2
?
bx
?
c
的性质
?
b
4
ac
< br>?
b
2
?
b
1.
当
a
?
0
时
，抛物线开口向上，对称轴为
x
?
?<
/p>
，顶点坐标为
?
?
，
?
．
2
a
4
a
2
a
?
?
当
x
?
?
b
b
b
时，
y
随
x
的增大而减小；当
x
?
?
时，
y
随
x
的增大而增大；当
x
?
?
时，
y
有最小值
2
a
2
a
2
a
4
ac
?
b
2<
/p>
．
4
a
?
b
4
ac
?
b
2
?
b
b
x
?
< br>?
2.
< br>当
a
?
0
时，抛物线开口向下，对称轴为
x
?
?
，顶点坐标为
?
?
< br>，
．当
时，
y
< br>随
x
的
?
2
a
4
a
2
a
2
a
?
?
4
ac
?
b
2
b
b
增大而增大；当
x
?
?<
/p>
时，
y
随
x
的增大而减小；当
x
?
?
时，
y
有最大值
．
4
a
2
a
2
a
例
1
．当
a < 0
时，方程
ax
2
+bx+c=
0
无实数根，则二次函数
y=ax
2<
/p>
+bx+c
的图像一定在
（
）
A
、
x
轴上方
B
、
x
轴下方
C
、
y
轴右侧
D
、
y
轴左侧
【答案】
B
【解析】
试题分析：∵方程
ax
2
+bx+c=0
无实数根，∴
b
2
+4ac<0
，即函数图形与
x
轴没有交点
又∵
a < 0
，∴二次函
数
y=ax
2
+bx+c
的图像一定在
x
轴下方
故选
B
．
考点：二次函数的性质
例
2
．已知二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象如图，则
a
、
b
、
c
满足
（
）
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