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精品
一、不定积分的解题技巧
引例：不定积分
∫
(1-x)cos2xdx
∫
(1-x)cos2xdx
=
∫
cos
2xdx-
∫
xcos2xdx
=(1/2)
∫
cos2xd2x-(1/4)
∫
2xcos2xd2x
=(1/2)sin2x-(1/
4)
∫
2xdsin2x
=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x
(1/4)
∫
sin2xd2x
=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C
∫
(1-x)cos2xdx
求导行：
1-x -1 0
积分行：
cos2x
1/2*sin2x -1/4*cos2x
所以：
∫
(1-x)cos2xdx
=(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C
注：分步积分的时候，
∫
a*bdx
哪个放到
d
后面去（那个先反过来求导）？
这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。越后的先放到
d
里去
如
∫
x^2
cosxdx x^2
是幂函数，
cosx
是三角函数。
所以，要这样化
∫
x^2dsinx
而不是
1
/3
∫
cosxdx^3
引例
2
：
∫
1/(1 x^4)dx
原式＝
1/2((1
x^2 1-x^2)/1 x^4)
=0.5(1 x^2/1 x^4)
0.5(1-x^2/1 x^4)
=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<
就是分子分母同除
x
的平方
>
如果是不定积分
,
两类换元法和
拼凑法
一般来说结合使用
灵活系数比较大
不过你要相信考试不定积分
形式比较简单
方法比较独到
,
绝对不是
“
暴力
“
积
出来的
,
一想到你的方法越做越陷入死路
,<
/p>
我想因该要变通
.
第二
,<
/p>
对于有独特的因子你要留意
.
定积分
,
比不定积分要难一些
,
因为很多函数是
没有初等函数的
,
方法是拼凑法和化
为
二元
再交换顺序
,
其中拼凑发很关键
,
我们要掌握
.
例题
大家平时做题目就很容易发现
方法与技巧
一、换元法
1.
凑微
分使用凑微分法的难处在于如何
“
凑
”
出一个函数的微分。
对于这个问题一方面
要求熟悉一些常见函数的微分形式
,
另一方面
,
对于那些不易观察的
,
则不
妨从被积函数
中拿出一个表达式
,
求其
微分
,
从而决定如何凑微分。
例
1.
求下列不定积分
:
(1)
∫
arcsinxx(1
-x)dx(2)
∫
x 1x(1 xex)dx
解
:(1)
分析
:
由于
darcsinx=12x(1-x)dx,
< br>故可如下凑微分
∫
arcsinxx(1-x)dx=2
∫
arcsinxd(arcsinx)=arcsin2x
C
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(2)
由于
d(xex)=ex(x
1)dx,
故可用如下解法
:
∫
x 1x(1 xex)dx=
∫
ex(x
1)xex(1 xex)dx=
∫
dxexxex(1 xex)=
∫
1xex-11 xexd(xex)=
lnxex1 xex C
ex
1=u44
∫
(u6-u2)du=
4u77-u33 C=47(ex 1)74-
43(ex 1)34 C
(2)
利用三角公式
1
sinx=sinx2 cosx2
可将被积函数有理化。
∫
1
sinxsinxdx=
∫
sinx2
cosx22sinx2cosx2dx
2.
拆
(
添
)
项将被积函数拆
(
添
)
项
,
把积分变为几个较简单的积分
,
是求不定积分常用的技
巧之一。
例
2.
求下
列不定积分
:
(1)
∫
1sin3xcosxdx
(2)
∫
dx(1 ex)2
解
:(1
)
当分母是
sinmxcosnx
的形
式时
,
常将分子
1
改写成
(sin2x cos2x),
< br>然后拆项进行
积分。
∫
1sin
3xcosxdx=
∫
sin2x cos2xsin3x
cosxdx=
∫
1sinxcosxdx
∫
cosxsin3xdx=
∫
d(2x)sin2x
∫
d(sinx)sin3x=
<
/p>
lncsc2x-cot2x-
∫
12s
in2x C
例
4.
求
∫
sec3xdx <
/p>
(2)
先给分子加一项减一项
,
再将积分拆项。
∫
dx(1
ex)2=
∫
1 ex-ex(1 ex)2dx=
∫
dx(1
ex)-
∫
exdx(1 ex)2=
∫
e-xe-x
1dx-
∫
d(ex 1)(1 ex)2=
ln(e-x 1) 11 ex
C
二、
有理化将被积函数中的无理函数化为有理函数
,
是积分常用的手
段之一。
有理化的方法常常是换元或利用三角恒等变换。
例
3.
求下列不定积分
:(
1)
∫
e2x4ex 1dx
(2)
∫
1 sinxsinxdx
解
:(1
)
∫
e2x4ex
1dx=
∫
exd(ex 1)4ex 1?
解
:
∫
sec3xdx=secxd(tanx)
=
secxtanx-
∫
tan2xsecxdx
=
secxtanx-
∫
(sec2x-1)secxdx
=
secxtanx lnsecx tanx-
∫
sec3dx
故
< br>:
∫
sec3xdx=12(secxtanx
=
∫
dx2cosx2
∫
dx2sinx2
=
lnsecx2tanx2
lncscx2-cotx2 C
三、方程法运用分部积分公式后<
/p>
,
有时会出现如下的情况
:
∫
f(x)dx=g(x) K
∫
f(x)dx(K
≠
1)
< br>此时可把它看作关于
∫
f(x)dx
的方程
,
解
得
:
∫
f(x)dx=11-Kg(x) C
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lnsecx tanx) C
四、
抵消法将原始积分拆项后
,
对其中一项用分部积分公式
,
以抵消另一项
,
或对拆开的两
项各分部积分一次后
,
将未积出的部分抵消
,
这也是求不定积分时常用的技巧。
例
5.
求下列不定积分
:(1)
∫
lnx-1(lnx)2dx(2)
∫<
/p>
esinxxcos3x-sinxcos3xdx
解
:(1)
∫
lnx-1(lnx)2dx=
∫
1
lnx-
∫
dx(lnx)2=
xl
nx
∫
x?-1ln2x?1xdx-
∫
dx(lnx)2=
xlnx
∫
dx(lnx)2-
∫
dx(lnx)
2=xlnx C
(2)
∫
esin
xxcos3x-sinxcos2xdx=
∫
esinx?x?cosxdx-
∫
esinxs
inxcos2xdx=
∫
xdesinx-
∫
esinx-
∫
esinx
d1cosx=
xesinx-
∫
esinxdx-esinxcosx
∫
1cosx?
esinx?cosxdx=xesinx-esinxcosx C
五、其他方法
1.
递推法运用分部积分法
,
可建
立
In
关于下标的递推公式。由此递推公
式
,
就把计算
In
< br>归结为计算
In-1,
依此类推
,
最后归结为计算
I1,I0
。
例
6.
求
∫
dx(x2 1)3
解
:
令
In=
∫
dx(x2 1)n
因为
In-
1=
∫
dx(x2 1)n-1=x(x2 1)n-1-
∫
x?(1-n)?2x(x2
1)ndx=x(x2 1)n-1
2(n-1)
∫
(x2
1)-1(x2 1)ndx=
x(x2 1)n-1
2(n-1)?
In-1-2(n-1)?In
又
I1=
∫
dx1
x2=arctanx C
从而
∫
dx(x2
1)3=I3=x4(x2 1)2
34I2=x4(x2 1)2
34x2(x2 1) 12I1=x4(x2
1)2
3x8(x2 1)
38arctanx C
2.
待定系数法这里所说的待定系数法
,<
/p>
是指在求不定积分时
,
若预知结果的形式
,
只是
其中含有待定的常数时
,
可用求导的方法确定这些常数
,
进而求出积分。例
7.
计算下列积
分
(1)
∫
sinx
8cosx2sinx
3cosxdx(2)
∫
x3e2xdx
解
:
由于<
/p>
(2sinx
3cosx)
′
=2cosx-3sinx
故可假设
sinx
8cosx=A(2sinx 3cosx) B(2cosx-3sinx)
这里<
/p>
A,B
为待定系数
,
比较两端
sinx
及
cosx
项的系数
,
得
:2A-3B=13A-2B=8,
故
A=2,B=1
则
∫
sinx 8cosx2sinx 3cosxdx=
∫
2 (2sinx
3cosx)
′
2sinx
3cosxdx=
2x
ln2sinx 3cosx C
(2)
对于型如
∫
ekx?Pn(x)dx
的积分
(
其中
Pn(x)
为
< br>n
次多项式
),
它的原函数也形
如
ekx?Qn(x),
这里的
Qn(
x)
为某个
n
次待定多项式。
即有
:
∫
ekx?Pn(x)dx=ekx?Qn(x) C
两端求导得
:ekx?Pn(x)=kekx?Qn(x)
ekx?Q
′
n(x)
所以
In=x2(n-1)?(x2 1)n-1
2n-32(n-1)In-1
(n=2,3,
…
)
即
:Pn(x)=k?Qn(x)
Q
′
n(x)
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