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第
4
章
不定积分
内容概要
名称
不
定
积
分
计
算
方
法
性
质
不
定
积
分
的
概
念
设
主要内容
f
(
x
)
，<
/p>
x
?
I
,
若存在函数
F
(<
/p>
x
)
,
使得对任
意
x
?
I
均有
F
?
(
x
)
?
f
(
x
)
f
(
x
)
< br>dx
，则称
F
(
x
)
为
f
(
x
)
的一个原函数。
上的不定积分，记为
或
dF
(
x
)
?
f
(
x
)
的全部原函数称为
f
(
x
)
在区间
I
?
f
(
x
)
dx
?
F
(
x
)
?
C
注
:(1)<
/p>
若
f
(
x
)
连
续
,
则
必
可
积
；
(
２
)
若
F
(
x
),
G
(
x
)
均
为
f
(
x
)
的
原
函
数
，
则
F
(
x
)
< br>?
G
(
x
)
?
C
。故不定积分的表达式不唯一
。
性质
1
：
性质
2:
d
?
f
(
x
)
dx
?
?
f
(
x
)
dx
;
f
(
x
)
dx
?
?
f
(
x
)
< br>或
d
?
?
?
?
?
?
?
dx
?
F
?<
/p>
(
x
)
dx
?
F
(
x
)
?
C
或
?
dF
(
x
)
?
F
(
x
)
?
C
；
?
[
?<
/p>
f
(
x
)
?
?
g
(
x
)]
dx
?
?
?
f
(
x
)
dx
?
< br>?
?
g
(
x
)
dx
，
?
,
?
为非零常数。
< br>
设
性质
3
：
第一换元
积分法
（凑微分法
)
第二类
换元积
分法
f
(
u
)
的
原函数为
F<
/p>
(
u
)
，
u
?
?
(
x
)
可导，则有换元公式：
?
f
(
?
(
x
))
?<
/p>
?
(
x
)
dx
?
?
f
(
?
(
x
))
d
?
(
x
)
?
F
(
?
(
x
))
?
C
设
x
?
?
(
t
)
单调、可导且导数不为零，
f
[
?
(
t
)]
?
?
< br>(
t
)
有原函数
F
(
t
)
,
则
?
f
(
x
)
dx
?
?
f
(
?
(
t
))
?
?
(
t
)
dt
?
F
(
t
)
?
< br>C
?
F
(
?
?
1
(
x
))
?
C
分部积分法
?
u
(
x
)
v
?
(
x
)
dx
?
?
u
(
x
)
dv
(
x
)
?
u
(
x
)
< br>v
(
x
)
?
?
v
(
x
)
du
(
x<
/p>
)
若有理函数为假分式
,
则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理
按情况确定。
有
理
< br>函
数
积
分
本章
的地
位与
作用
在下一章定积分中由微积分基本
公式可知
---
求定积分的问题
,
实质上是求被积函数的原函数问题
;
后继课
程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分
,
最终的
解决都归结为对定积分的求
解
;
而求解
微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中
起
到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度
,
几
乎完全取决于对这一章掌握的好
坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！
课后习题全解
习题
4-1
1.
求下列不定积分
：
知识点
:
直接积分法的练习——求不定积分的基本方法
。
思路分析
:
利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分
!