-
Ch4
、不定积分
§
1
、
不定积分的概念与性质
1
、
原函数与不定积分
定义
1
：
若
F
< br>?
(
x
)
?
f
(
x
)
，则称
F
(
x
)
为
f
(
x
)
的原函数。
①
连续函数一定有原函数；
②
若
F
(
x
)
为
f
(
x
)
的原函数，则
F
(
x
)
?
C
也为
f
(
x
)
的原函数；
事实上，
?<
/p>
F
(
x
)
?
C
?
?
F
'
(
x
)
?
f
(
x
)
'
③
f
(
x
)
的任意两个
原函数仅相差一个常数。
事实上，由
?
F
1
(
x<
/p>
)
?
F
1
(
x
)
?
?
F
1
'
(
x
)
?
F
2
'
(
x
)
?
f
(<
/p>
x
)
?
f
(
x
)
?
0
，得
F
1
(
x
)
?
< br>F
2
(
x
)
?
C
'
故
F
(
x
)
?
C
表示了
f
(
x
)
的所有原函数，其中
F
(
x
)
为
f
(
x
)
的一个原函数。
< br>
定义
2
：
f
(
x
)
的所有原函数称为
f
(
x
)
的不定积分，记为
?<
/p>
f
(
x
)
dx
，
?
?
积分号，
f
(
x
)
?
被积函数，
x<
/p>
?
积分变量。
显然
?
f
(
x
)
dx
?
F<
/p>
(
x
)
?
C
例
1
、
求下列函数的不定积分
①
?
kdx
?
kx
?
C
?
1
?
?
1
< br>x
?
C
?
?
②
?
x
d
x
?
?
?
?<
/p>
1
?
ln
x
?
C
?
?
?
?
1
?
?
?
1
< br>
2
、
基本积分表
（共
24
个基本积分公式
）
3
、
不定积分的性质
①
< br>?
?
f
(
x
)
?
g
(
x
)
?
dx<
/p>
?
?
f
(
x
)
dx
?
?
g
(
x
)
dx
②
?
kf
(
x
< br>)
dx
?
k
?
f
(
x
)
dx
例
2
、
求下列不定积分
①
< br>?
dx
1
1
?
2
(
?
2
)
?
1
?<
/p>
x
dx
?
x
?
C
?
?
?
C
(
?
2
)
?
< br>1
x
x
2
?
(
k
?
0
)
②
?
dx
x
?
?
x
?
1
2
dx
?
1
x
(
?
1
2
< br>)
?
1
?
C
?
2
x
?
C
(
?
1
2
)
?
1
?
5
3
③
?
?
?
< br>2
?
2
1
?
x
1
?
x
?
?
?
dx<
/p>
?
5
arcsin
x
?
3
arctan
x
?
C
?
?
x
1
?
1
dx
?
?
e
?
1
?
x
④
?
?
?
x
e
x
?
?
dx
?
?
?
?
e
?
dx
?
?
?
?
ln
x
?
C
2
x<
/p>
?
2
x
ln
?
?
e
?
2
?
⑤
?
csc
x
?
csc
x
?
cot
x
?
dx
?
?
csc
2
xdx
?
?
csc
x
cot<
/p>
xdx
?
?
co
t
x
?
csc
x
?
C
dx
sin
2
x
?
cos
2
x
2
2
?
dx
?<
/p>
csc
xdx
?
sec
xdx
?
?
cot
x
?
tan
x
?
C
⑥
?
2
2
2
2
?
?
?<
/p>
sin
x
cos
x
sin
x
cos
x
⑦
?
cot
2
x
dx
?
?
csc
2
x
?
1
dx
?
?
cot
x
?
x
?
C
x<
/p>
4
x
4
?
1
?
1
1
?
1
3
?
2
dx
?
dx
?
x
?
1
?
dx
?
x
?
x
?
arctan
x
?
C
⑧
?
?
?
2
2
2
?
?<
/p>
3
1
?
x
1
?
x
1
?
x
?
?
?
?
§
2
、
不定积分的换元法
一、
第
一类换元法（凑微分法）
1
、
?
f
?
ax
?
b
?
dx
?
1
< br>1
?
?
?
?
f
ax
?
b
d
ax
?
b
,
即
dx
?<
/p>
d
?
ax
?
b
?
?
a
a
例
1
、
求不定积分
1
1
1
①
?
sin
5
xdx
?
?
sin
5
xd
?
5
x
?
5
x
?
u
?
sin
udu
?
?
cos(
5
x
)
?
C
5
5
5
1
< br>1
1
7
7
?
1
?
2
x
?
7
?
1
?
C
?
?
1
?
1
?
2
x
?
8
< br>?
C
②
?
?
1
?
2
x
?
dx
?<
/p>
?
?
?
1
?
2
x
?
d
(
1
?
2
x
)
?
?
?
2
2
7
?
1
16
③
?
④
?
dx
1
d
?
x
a
?
1
?
x
?
?
?
arctan
?
?
?
C
a
2
?
x
2
a
< br>?
1
?
?
x
a
?
2
a
?
a
?
dx<
/p>
a
?
x
2
2
(
20
)
?
?
d
?
x
a
?
< br>1
?
?
x
a
?
2
?
x
?
?
arcsin
?
?
?
C
?
a
?
(
23
)
2
、
?
f
?
x
n
?
x
n
?
1
dx
?
例
2
、
求不定积分
2
1
n
n
n
?
1
n
f
x
dx
,
即
x
d
x
?
dx
?
n
?
?
?
1
①
?
x
1
?
x
dx
?
?
?
1
?
x
2
2
?
d
?
1
?
x
?
1
2
2<
/p>
1
1
?
?
?
1
1
?
x
2
2
2
?
1
?
?
1
?
1
2
1
?
C
?
?<
/p>
1
?
x
2
3
?
?
3
2
?
C
②
?
x
2
e
?
x
dx
?
?
③
?
④
?
3
1
?
x
3
1
?
x
3
3
e
d
?
x
?
< br>?
e
?
C
?
3
3
?
?
1
1
1
?
1
?
?
1
?
cos
dx
?
?
cos
d
?
?
sin
?
?
?
?
?
C
2
?
x
x
x
x
?
?
?
x
?
cos
x
x
dx
?
2
?
cos
x
d
x
?
2
sin
x
?
C
?
1
?
1
?
?
?
dx
?
?
d
?
?
?
?
x
2
?
x
?
?
?
?
?
1
?
?
dx
?
2
d
x
?
?
?
?
x
?
1
3
、
dx
?
d
ln
x
,
e
x
dx
?
de
x
,
sin
xdx
?
?
d
cos
x
,
cos
xdx
?
d
sin
x
,
sec
2
xdx
?
d
tan
x
,
x
1
1
sec
x
tan
xdx
?
d
sec
x
,
dx
?
d
arctan
x
,
dx
?
d
arcsin
x
,
2
2
1
?
x
1
?
< br>x
x
dx
?<
/p>
?
d
a
2
?
x
2
,
?
a
2
?
x
2
例
3
、
求不定积分
sin
x
d
cos
x
①
?
tan
xdx
?
?
dx
?
?
?
?
?
ln
cos
x
?
C
?
ln
sec
x
?
C
cos
x
cos
x
cos
x
d
sin
x
②
?
cot
xdx
?
?
dx<
/p>
?
?
?
ln
sin
x
?
C
?
?
ln
cos<
/p>
x
?
C
sin<
/p>
x
sin
x
se
c
x
?
sec
x
?
tan
x
?
d
?
sec
x
?
tan
x
?
③
?
sec
xdx
?
?
dx
?
?
?
ln
?
sec
x
?
tan
x
?
?
C
sec
x
?
tan
x
sec
x
?
tan
x
csc
x
?
csc
x
?
cot
x
?
d
?
csc
x
?
cot
x
?
④
?
csc
xdx
?
?
dx
?
?
?
ln
?
csc
x
?
cot
x
?
?
C
csc
x
?
cot
x
csc
x
?
cot
x
1
d
ln
x
⑤
?
dx
?
?
?
ln
?
ln
x
?
?
C
x
ln
x
ln
x
⑥
?
dx
d
?
tan
x
?
1
?
?
?
ln
?
tan
x
?
1
?
?<
/p>
C
2
?
tan
x
?
1
cos
x
?
1
?
tan
x
?
(
16
)
(
17
)
(
18
)
(
19
)
<
/p>
e
x
d
1
?
e
x
dx
?
?
?
ln
1
?
e
x
?
C
⑦
?
x
x
1
?
e
1
?
e<
/p>
?
?
?
?
dx
1
?
e
x
?
e
x
x
?
?
x
< br>?
ln
1
?
e
?
C
⑧
?
x
x
?<
/p>
1
?
e
1
?
e
?
?
?
?
e
x
de
x
x
⑨
< br>?
dx
?
?
arctan
e
?
C
2
x
2
< br>?
x
1
?
e
1
?
?
e
?
⑩
?
x
1
?
x
2
e
?
1
?
x
2
dx
?
?
?
e
?
1
?
x
2
d
?
1
?
x
2
?<
/p>
?
e
?
?
?
1
?
x
2
?
C
例
4
、
求不定积分
①
?
dx
1
?
1
1
< br>?
1
?
d
(
x
?
a
)
d
(
x
?
a
)
?
?
?
dx
?
?
?
?
?
?
x
?
a
?
2
a
?
?
x
?
a
x<
/p>
2
?
a
2
2
a
?
?
x
?
a
x
?
a
?
?
?
1
x
?
a
ln
?
C
2
a
x
?
a
?
?
dx
?
(
21
)(
22
)
x
2
?
x
?
2
x
2
?
< br>1
?
x
?
3
x
?
3
?
dx
?
dx
?
1
?
②
?
?
?
1
?
x
2
?
?
1
?
x
2
< br>1
?
x
2
1
d
x
2
?
1
dx
1
2<
/p>
?
x
?
?
2
?
3
?
?
x
?
ln
1
?
x
?
< br>3
arctan
x
?
C
2
2
x
?
1
2
1
?
x
?
?
?
?
x
?<
/p>
4
1
2
x
?
2
?
6
1
d
x
2
?
2
x
?
5
dx
③
?
2
dx
?
?
2
dx
?
?
2
?
3
?
2
2
x
?
2
x
?
5
2
x
?
2
< br>x
?
5
x
?
2
x
?
5
?
x
?
1
?
?
4
1
3
x
?
1
ln
x
2
?
2
x
?
5
?
arctan
?
C
2
2
2
< br>1
?
cos
2
< br>x
1
1
1
1
1
④
?
s
in
2
xdx
?
?
dx
?
x
?
?
?
cos
2
xd
?
2
x
?
?
x
?
sin
2
x
?
C
2
2
2
2
2
4
1
1
1
⑤
< br>?
sin
5
x
< br>cos
3
xdx
?
?
?
sin
8
x
?
sin
2
x
?
dx
?
?
cos
8
x
?
cos
2
x
?
C
2
16
4
cot
x
< br>cos
xdx
d
sin
x
d
ln
sin
x
⑥
?
dx
?
?
?
?
?
?
?
ln
ln
sin
x
?
C
ln
sin
x
sin
ln
sin
x
sin
x
ln<
/p>
sin
x
ln
s
in
x
dx
1
?
sin
x
d
cos
x
1
2
⑦
?
?
?
dx
?
sec
xdx
?
?
tan
x
?
?
C
2
2
?
?
1
?
sin
x
cos
x
cos
x
c
os
x
?
?
?
?
?
⑧
?
dx
dx
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
csc
x
?
?
?
d
?
x
< br>?
?
?
cos
x
?
sin
< br>x
4
?
?
4
?
2
sin
?
x
?
?
4
?
2
?
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
ln
?
csc
x
?
?
cot
x
?
?
C
?
?
?
?
?
?
?
4
?
4
?
?<
/p>
2
?
?
?
二、
第
二类换元法
1
、三角代换
例
1
、
?
a
2
?
x
2
dx
解：
令
x
?
a
sin
t
(
或
a
cos
t
)
，则
a
2
?
x
2
?
a
cos
t
,
dx
?
a
cos
tdt
1
?
cos
2
t
a
2
?
1
?
?
< br>?
dt
?
dt
< br>?
cos
2
td
2
t
原式
=
< br>?
a
cos
t
< br>?
a
cos
tdt
?
a
?
?
< br>?
?
?
2
2
?
2
?
2
a
2
a
2
a
2
x
a
2
x
a
2
?
x
2
< br>?
t
?
sin
< br>2
t
?
C
?
arcsin
?
?
2
?
?
?
C
2
4
2
a
4
a
a<
/p>
?
1
2
x
1
a
arcsin
?
x
a
2
?
x
2
?
C
2
a
2
例
2
、
?
dx
a
2
?
x
2
?
?
d
?
x
a
?
1
?
?
x
a
?
2
x<
/p>
?
arcsin
?
C
a
解：
令
x
?
a
si
n
t
a
co
s
tdt
x
原式
=
?
?
?
d
t
?
t
?
C<
/p>
?
arcsin
?
C
a
cos
t
a
例
3
、
?
dx
a<
/p>
?
x
2
2
解：
令
x
?
a
tan
t
(
或
a
cot
t
)
，则
a
2
?
x
2
?
a
sec
t
,
dx
?
a
< br>sec
2
tdt
?
x
2
?
< br>a
2
x
?
a
sec
2
tdt
< br>?
?
sec
tdt
?
ln
?
sec
t
?
tan
t
?
?
C
?
ln
?
?
?
< br>?
C
原式
=
?
?
a
sec
t
a
a
?
?
?
?
ln<
/p>
x
?
x
2
?
a
2
?
C
例
4
、
?
dx
x
x
< br>?
4
2
?
?
(
24
)
解：
令
x<
/p>
?
a
tan
t<
/p>
(
或
a
cot<
/p>
t
)
，则
x
2
?
4
?
2
sec
t
,
dx
?
2
sec
2
tdt
?
x
2
?
a
2
x
?
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例
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解：
令
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(
25
)
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