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”领红包，每<
/p>
天都能领。付款前记得用红包
折看，对称以后关系现”
．
(3)
若
AP
⊥
OP
于点
P
，如图<
/p>
2-2(c)
，可以延长
AP
交
ON
于点
B
，
构造△
AOB
是等腰三
角形，
P
是底
边
AB
的中点，
可记为“
角平分线加垂
线，
三线合
一试试看”
．
M
A
P
< br>O
B
O
Q
P
M
第二讲角平分线模型的构造
3
月
角平分线
(l)
定义：如图
2-1
，如果∠
AOB
＝∠
BOC
，那么∠
< br>AOC=2
∠
AOB=2
∠
BOC
，像
OB
这
样，从一个角
的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，
叫作这个角的角平分线．
α
α
图
2-1
(d)
(4)
若过
P
点作
PQ
∥
ON
交
OM
于点
Q
，
如图
2-2(d)
，
可以构造△
POQ
是等腰三角形，可记为“
角平分
线十平行线，等腰三角形必呈现”
．
例
1
(1)
如图
2-3(a)
，在△
ABC
中，∠
C=90
。
，
AD
平分
∠
CAB
，
BC=
6cm
，
BD=4cm
，那么点
D
到直线
AB
的距
离是（
）
cm.
(c)
N
N
(2)
角平分线的性质定理<
/p>
①如果一条射线是一个角的平分线，
那
么它把这个
角分成两个相等的角，
②
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相
等．
(3)
角平分线的判定定理
①在角的内部，
如果一条射线的端点与角的顶点重
合，
且把一个角分成两个等角，
那么这条射线是这
个角的平分线，
②在角的内部，
到一个角两边距离相等的点在这个
角的平分线上，
<
/p>
与角平分线有关的常用辅助线作法，
即角平分线的
四大基本模型，
已知
P
是∠
MON
平分线上一点，
(l)
若
PA
⊥
OM
于点
A
，
如图
2-2(a)
，
可以过
P
点作
PB
⊥
ON
于点
B
，则
PB=PA.
可记为“
图中有角平
分线，可向两边作垂线”
．
M
A
A
C
(2)
如图
2-3(b)
，已知：∠
1=
∠
2
，∠
3=
∠
4
，
求
证：
AP
平分∠
BAC
．
A
D
图
2-3
（
a
）
B
B
1
2
3
C
4
P<
/p>
图
2-3
（
b<
/p>
）
A
M
P
P
O
(a)
(b)
(2)
若点
A
是射线
OM
上任意一点，如图
2-2(b)
，
可以在
ON
上截取
OB=OA
，
连接
PB
，
构造△
OPB
∽△
OPA.
可记为“
图中有角平分线，可以将图对
1
B
N
O<
/p>
B
N
例
2
如图
2
-4(a)
，
Rt
△
< br>ABC
中，∠
ACB=90
°，
CD
⊥
AB
，
垂足为
D.
AF
平分∠
CAB
，交
CD
于点
E
，
交
CB
于点
F
⑴求证：
CE= CF.
C
F
E
A
D
图
2-4
（
a
）
B
例
3
阅读下列学习材料：
如图
2-5(a)
所示，
OP
平分∠
MON
，
A
为
OM
上一
点，
< br>C
为
OP
上一点，连接
AC
，在射线
ON
上截
取
OB
=OA
，连接
BC(
如图
2-5(b))<
/p>
，易证△
AOC
≌△
BOC.
M
A
M
A
P
P
C
O
图
2-5
（
a
）
N
C
O
B
图
2-
5
（
b
）
N<
/p>
⑵将图
2-4(a)
中的△
ADE
沿
AB
向右平移到△
A
，
D<
/p>
，
E
，
的位置，
使点
E
，
落在
BC
边上，其它条件不
变，
如图
2-4(b)
所示．试猜想：
BE'
与
CF
有怎样的
数量关
系？请证明你的结论．
C
F
E
A
A'
图
2-4
（
b
）
D
E'
D'
B
请根据上面的学习材料，解答下列各题：
(l)
如图
2-5(c)
< br>所示，
在△
ABC
中，
AD
是△
BAC
的
外角平分线，
P
是
AD
上异于点
A
的任意一点，
试
比较
PB+PC
与<
/p>
AB+AC
的大小，并说明理由．
A
B
C
图
2-5
（
c
）
D
2
(2)
如图
2-5(d)
所示，
AD
是△
ABC
的内角平分线，
其它条件不变，
试比较
PC
－
PB
与
AC
－
AB
的大
小，并说明理由．
< br>
A
A
P
B
D
图
2-5
（
d
）
C
D
E
B
图
2-7
（
a
）
C
例
4 <
/p>
如图
2-6(a)
，已知等腰直角三角形
ABC
中，∠
A=90
°，
AB=AC
，
BD
平分∠
ABC
，
CE
⊥
BD
，垂
足
为点
E
，
求证：
BD=2CE.
A
E
D
B
C
(2)
如图
2-7(b)
，
BD
、
CE
分别是△
ABC
的内角平
分线，其它条件不变；
A
G
E
D
F
图
2-6
（
a
）
B
图
2-7
（
b
）
C
(1)
如图
2-7(a)
< br>，
BD
、
CE
< br>分别是△
ABC
的外角平
分线，
过点
A
作
AD
上
BD
、
AE
⊥
CE
，垂足分别
为
< br>D
、
E
，连接
< br>DE.
1
求证：
DE
∥
BC
，
DE=
(AB+BC+AC)
；
2
(3)
如
图
2-7(c)
，
BD
为△
ABC
的内角平分线，
C
E
为△
ABC
的外角平分线，其它条件
不变，
则在图
2-7(b)
、
图
2-7(c)
两种
情况下，
DE
与
BC
< br>还
平行吗？它与△
ABC
三边又
有怎样的数量关系？
请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。
< br>
A
D
F
B
C
E
图
2
-7
（
c
）
3
变式
如图
2
-8
，在△
ABC
中，
AB=3AC,
∠
BAC<
/p>
的平分
线交
BC
于点
D
，过点
B
作
BE
⊥
AD
，垂足为
E
，
求证：
AD=DE
A
A
A
D
B
C
B
E
D
F
C
< br>
(2)
过
D
< br>点作
EF
∥
BC
，
如图
2-9(b)
，
交
AB
于点
E
，
交
AC
于点
F
，图中又增加了几个等腰三角形？
(3)
如图
2-9(c)
，若将题中的△
ABC
改为不等边三
角形，
其他条件不变，
图中有几个等腰三角形？直
接写出线段
EF
与
BE<
/p>
、
CF
有什么关系？
A
图
2-9
（
a
）
图
2-9
（
b
）
E
D
F
(4
)
如图
2-9(d)
，
BD
平分∠
ABC
，
CD
平分外角∠
ACG
.
DE
∥
BC
交
AB
于点
E
，交
AC
于点
F
线段
EF
与
BE
< br>、
CF
有什么关系？并说明理由．
A
E
F
D
B
图
2-9
（
c
）
C
C
D
B
图
2-8
E
B
图
2-9
（
d
）
C
G
例
6
如图
2
-9(a)
，
AB=AC
，
BD
，
CD
分别平分∠<
/p>
ABC
，
∠
AC
B.
问：
(l)
图
2-9(a)
中有几个等腰三角形？
(5)
如图
2-9(e)
，
BD
、
CD
为外角∠
CBM
、∠
BCN
的平分线，
DE
∥
BC
交
AB
延长线于点
E
，交
AC
延长线于点
F
，直接写出线段
EF
与
BE
、
CF
有什
么关系？
4
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