-
.
燕尾定理
例题精讲
燕尾定理:
在三角形
ABC
中,
AD
,
BE
< br>,
CF
相交于同一点
O
,
那么,
S
?
ABO
:
S
?
ACO
?
BD
:
DC
A
E
O
B
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为
?
ABO
和
?
ACO
的形状很象燕子的尾巴,所
以这个定理被称为燕
尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于
任
何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
.
F
D
C
通过一道例题
证明燕尾定理:
如右图,
D
是
BC
上任意一点,请你说明:
S
1
:
S
4
?
S
2
:
S
3<
/p>
?
BD
:
DC<
/p>
A
S
2
E
S
3
B
S
1
S
4
D
C
【解析】
三
角形
BED
与三角形
CED
同高,分别以
BD
、
DC
为底,所以有
S
1
:
S
4
?
BD
:
DC
;
三角形
ABE
与三角形
EBD
同高,
S
1
:
S
2
?
ED
:
EA
;
三角形
ACE
与三角形
p>
CED
同高,
S
4
:
S
3
?
p>
ED
:
EA
,所以
S
1
:
S
p>
4
?
S
2
:
S
3
;
综上可得,
S
1
:
S
4
?
S
2
< br>:
S
3
?
BD
:
DC
.
.
.
【例
1
】
(
20
09
年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形
ABC
p>
的面积是
1
,
E<
/p>
是
AC
的中点,点
D
在
BC
上,且
BD
:
DC
?
1:
2
,
AD
与
BE
交于点
F
< br>.则四边形
DFEC
的面积等于
.
A
A
p>
A
E
B
D
F
C
B
3
3
E
F
3
< br>1
2
C
D
E
F
B
D
C
【解析】
方
法一:连接
CF
,
S
BD
1
S
△
ABF
AE
根据燕尾定理,
△
ABF
?
?
,
?
?
1
p>
,
S
△
ACF
DC
2
S
p>
△
CBF
EC
设<
/p>
S
△
BDF
?<
/p>
1
份,则
S
△<
/p>
DCF
?
2
份,
S
△
ABF
?
3
份,
S
△<
/p>
AEF
?
S
△<
/p>
EFC
?
3
份,
如图所标
5
5
所以
S
DCEF
?
< br>S
△
ABC
?
< br>
12
12
1
< br>1
方法二:连接
DE
,由题目条
件可得到
S
△
ABD
< br>?
S
△
ABC
< br>?
,
3
3
BF
S
△
ABD
1
1
1
2
1
?
?
,<
/p>
S
△
ADE<
/p>
?
S
△
ADC<
/p>
?
?
S
△
ABC
?
,所以
FE
S
1
2
2
p>
3
3
△
ADE
p>
1
1
1
1
1
1
1
S
△
DEF
?
?
S
△
DEB
?
?
?
S
△
< br>BEC
?
?
?
< br>?
S
△
ABC
< br>?
,
2
2
3
2
3
2
12
2
1
1<
/p>
5
而
S
△
CDE
?
?
?
S
△
ABC
?
.所以则四边形
DFEC
的面积等于
.
3
2
3
12
【巩固】如图,已
知
BD
?
DC
,
EC
?
2
A
E
,三角形
ABC
的面积是
30
,求阴影部分面积
.
A
E
F
F
A
E
F
A
E
p>
B
D
C
B
D
C
B
D
C
【解析】
题
中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步
< br>判断这道题不应该通过面积公式求面积
.
又因为阴影部
分是一个不规则四边形,所以我们需要对它
进行改造,那么我们需要连一条辅助线,
p>
(
法一
)
连接
CF
,因为
BD
?
DC
,
EC
?
2
AE
,三
角形
ABC
的面积是
30
,
1
1
< br>所以
S
△
ABE
?
S
△
ABC
?
10
,
S
< br>△
ABD
?
S
< br>△
ABC
?
15
.
3
2
S
S
AE
1
BD
根据燕尾定理,
△
ABF
?
?
,
△
ABF
?
?
1
,
S
△
CBF
EC
2
S
△<
/p>
ACF
CD
1
所以
S
△
AB
F
?
S
△
AB
C
?
7.5
,
S
△
BFD
?
15
?
7.5
?
7.5
,
4
所以阴影部分面积是
30
?
10
p>
?
7.5
?
12.
5
.
1
(
法二<
/p>
)
连接
DE
,由
题目条件可得到
S
△
ABE
?
S
△
ABC
?
10
,
3
AF
S
△
ABE
1
1
1
2
?
?
,
S
△
BDE
?
S
△
BEC
?
?
S
△
ABC
?
10
,所以
< br>FD
S
△
BDE
1
2
2
3
.
.
1
1
1
1
1
1
S
p>
△
DEF
?
?
p>
S
△
DEA
?
p>
?
?
S
△
ADC
?
?
?
?
S
△
ABC
?
2.5
,
2
2
3
2
3
2
2
1
< br>
p>
而
S
△
CDE
p>
?
?
?
S
△
ABC
?
10
.所以阴影部分的面积为
12.5
.
3
2
【巩固】
如图,
三角形
AB
C
的面积是
200
cm
2
,
E
在
AC
上
,
点
D
在
BC
上,
且
AE
:
EC
?
3:5
,
BD
:
DC
?
2:3
,
AD
与
BE
交于点
F
< br>.则四边形
DFEC
的面积等于
.
A
A
p>
A
E
F
B
D
C
B
F
D
C
E
E
< br>B
D
F
C
【解析】
连
接
CF
,
S
△
ABF
BD
2
6
S
AE
3
6
?
?
?
,
△
ABF
?
?
?
,
<
/p>
S
△
ACF
DC
3
9
S
△
p>
CBF
EC
5
10
根据燕尾定理,
设
S
< br>△
ABF
?
6
< br>份,则
S
△
ACF
?
9
份
,
< br>S
△
BCF
?
< br>10
份,
S
△
< br>EFC
?
9
?
< br>所以
S
DCFE
?
200
?
(6
?
9
?
10)
?
(
5
45
3
份,
S
△
CDF
?
10
?
?
?
6
份,
3
?
5
8
2
?
3
45
45
?
6)
?
8
?
(
?
6)
?
93
(cm
2
)
8
8
【巩固】
如图,
已知
< br>BD
?
3
DC
< br>,
EC
?
2
AE
,
BE
与
CD
相交于点
O
,
则
△
ABC
被分成的
4
部分面积各占
△
AB
C
面积的几分之几?
A
A
1
1
< br>E
2
4.5
D
< br>1
C
E
O
9
O
2
13.5
B
D
C
B
3
【解析】
连
接
CO
,
设
S
△
AEO
?
1
份,则其他部分的面积如图所示,所以
S
△
ABC
?
1
?
2
?
9
?
18
?
3
0
份,所以四部
1
2
< br>?
4.5
13
9
3
13.5
9
分按从小到大各
占
△
ABC
面积的
,
?
,
?
,
?
30
3
0
60
30
10
30
20
1
1
【巩固】
(
2007
年香港圣公会数学竞赛
)
如图所示,在
△
ABC
中,
CP
?
CB
,
CQ
?
CA
,
BQ
与
AP
相交于
2
3
点
X
,若
△
ABC
的面积为
6<
/p>
,则
△
ABX
的
面积等于
.
C
C
Q
X
A
B
A
P
Q
X
B
C
P
Q
4
1
X
A
1
4
P<
/p>
B
【解析】
方
法一:连接
PQ
.
1
1
2
1
1
由于
C
P
?
CB
,
C
Q
?
CA
,所以
S
V
ABQ
?
S
V
ABC
,
S
V
BPQ
?
S
V
BCQ
?
S
V
ABC
.
2
3
3
2
6
2
1
由蝴蝶
定理知,
AX
:
XP
< br>?
S
V
ABQ
< br>:
S
V
BPQ
< br>?
S
V
ABC
< br>:
S
V
ABC
< br>?
4:1
,
3
6
.
.
4
4
1
2
p>
2
所以
S
V
ABX
?
S
V
ABP
?
?
S
V
ABC
?
S
V
ABC
?
?
6
?
2.4
.
5
5
2
5
5
方法二:连接
CX<
/p>
设
S
△
CPX<
/p>
?
1
份,根据燕尾定理标出其他部分面积
,
所以
S
△
ABX
?
6
?
(1
?
1
?<
/p>
4
?
4)
?
p>
4
?
2.4
【巩固】如图,三角形
ABC
的面积是
1
,
BD<
/p>
?
2
DC
,
p>
CE
?
2
AE
p>
,
AD
与
BE
p>
相交于点
F
,请写出这
4
部分
的面积各是多少
?
A
E
F
B
D
C
B
6
8
A
1
F
2
4
E
C
D
【解析】
连
接
CF
,设
S
△
AEF
?
1
份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,所以
1
6
2
8
2<
/p>
?
4
2
S
△
AEF
?
,
S
△
ABF
?
?
,
S
△
BDF
?
,
S
FDCE
?
?
21
21
7
21
21
7
【巩固】<
/p>
如图,
E
在
AC
上,
D
在
BC
上,
且
AE
:
EC
?
2:3
,
BD
:
DC
?
1:
2
,
A
D
与
BE
交于点
F
.
四边形
DFEC
2
的面积等于
22
cm
,则三角形
ABC
的面积
.
A
A
A
1.6
E
2
F
2.4
1
2
C
D
E
F
B
D
C
B
F
D
E
B
C
【解析】
连
接
CF
,
根据燕尾定理,
S
△
ABF
BD
1
S
△
ABF
AE
2
?
?
,
?
?
,
S
< br>△
ACF
DC
2
S
△
CBF
EC
3
设
S
< br>△
BDF
?
1
< br>份
,
则
S
△
DCF
?
2
份
,
S
△
A
BF
?
2
份
,
S
△
AFC
?
4
份
,
S
p>
△
AEF
?
4
p>
?
份
,
S
△
EFC
?
4
?
所以
S
△
ABC
2
?
1.6
2
?
3
3
?
2.4
份
,
如图所标
,
所以
S
EFDC
?
2
p>
?
2.4
?
4.4
份
,
S
△
p>
ABC
?
2
?
p>
3
?
4
?
9
份
2
?
3
?
22
?
4.4
?
9
?
45
(cm
2
)
【巩固】三角形
p>
ABC
中,
C
是直
角,已知
AC
?
2
,
CD
?
2
,
CB
?
3
,
AM
?
BM
,那么三角形
AMN
(
阴影
部分
)
的面积为多少?
A
M
N
C
p>
【解析】
连
接<
/p>
BN
.
A
p>
M
N
D
B
C
D
B
△
ABC
的面积为
3
?
2
?
2
?
3
根据燕尾定理,<
/p>
△
ACN
:
△<
/p>
ABN
?
CD
:
BD
?
2:1
;
.
.
同理
△
CBN
:
△
CAN
?
BM
:
AM
?
1:1
< br>
设
△
AMN
< br>面积为
1
份,则
△
MNB
的面积也是
1
份,所
以
△
ANB
的面积是
< br>1
?
1
?
2
份,而
△
ACN
< br>的
面积就是
2
?
2
?
4
份,
< br>△
CBN
也是
4
份,这样
△
ABC
的面积为<
/p>
4
?
4
?
1
?
1
?
10
份,所以
△
AMN<
/p>
的
面积为
3
?<
/p>
10
?
1
?
p>
0.3
.
p>
【巩固】如图,长方形
ABCD
的面积是<
/p>
2
平方厘米,
EC
?
2
DE
,
F
是
DG
的中点.阴影部分的面积是多
少
平方厘米
?
A
F
B
G
D
E
C
B
B
A<
/p>
A
3
F
3
G
1
D
D
E
F
x
2
y
3
x
y
C
E
G
C
【解析】
设
S
△
DEF
?
1
份,则根据燕尾定理其他面积如图所示
S
阴影
?
5
5
S
△
BCD
?
平方厘米
.
12
12
【例
2
】
如图所示,在四边形
ABCD
中,
p>
AB
?
3
BE
p>
,
AD
?
3
AF
,四边形
AEOF
的面积是
12
,那么平行四边
形
p>
BODC
的面积为
________
.
A
F
2
E
B
O
C
D
B
E
1
A
4
O
6
F
8
D
6<
/p>
C
【解析】
连
接
AO
,
BD
,
根据燕尾定理
S
△
< br>ABO
:
S
△
< br>BDO
?
AF
:
FD
?
1:
2
,
S
△
AOD
:
S
△
BOD
?
AE
:
BE
?
2
:1
,
< br>设
S
△
BEO
< br>?
1
,
则其他图形面积,如图所
标,所以
S
BODC
?
2
S
AEOF
?
2
?
12
?
24
.
【例
3
】
ABCD
是边长为
12
厘米的正方形,
E
、
F
分别是
AB
、
BC<
/p>
边的中点,
AF
与
CE
交于
G
,则四边形
AGCD
的面积是
_________
平方厘米.
D
C
D
C
G
F
G
F
A
E
< br>B
【解析】
连
接
AC
、
设
S
△
AGC
G
B
,
(
1<
/p>
?
1
?
1
)
?
2
?
6
?
1
份,
根据燕尾定理得
S
△
AGB
?
1
份,
S<
/p>
△
BGC
?
1<
/p>
份,
则
S
正方形
?
A
E
B
p>
份,
S
ADCG
?
3
?
1
?
p>
4
份,所以
S
AD
CG
?
12
2
?
6
?
4
?<
/p>
96
(cm
2
)
【例
4
】
如图,正方形
< br>ABCD
的面积是
120
平方厘
米,
E
是
AB
的中点,
F
是
BC
的中点,四边形
BGHF
的
p>
面积是
_____
平方厘米.
.
.
A
D
A
D
E
< br>G
H
E
G
H
【解析】
连
接
BH
,
根据沙漏模型得
BG
:
GD
?
1:
2
,
设
S
△
BHC
?
1
份,根据燕尾定理
S
△
CHD
?
2
份,
S
△
BH
D
?
2
份,
1
2
7
7
(
p>
1
?
2
?
2)
?
2
?
10
份,
S
BFHG
p>
?
?
?
,所以
p>
S
BFHG
?
12
0
?
10
?
?
14
(
平方厘米
).
因此
S
正方形
?
2
3
6
6
【例
5
】
如图所示,在
< br>△
ABC
中,
BE
:
EC
?
3:1
,
D
是
AE
的中点,那么
AF
:
FC<
/p>
?
.
B
F
C
B
p>
F
C
A
F
A
F
D
D
B
【解析】
连
接
CD
.
E
C
B
E
< br>C
由于
S
△
ABD
:
S
△
BED
?
1:1
,
S
△
BED
:
S
△
BCD
?
3:
4
,所以
S
△
ABD
:
S
△
BCD
?
3:
4
,
根据燕尾定理,
AF
:
FC<
/p>
?
S
△
ABD<
/p>
:
S
△
BCD<
/p>
?
3:
4
.
p>
【巩固】在
?
ABC
中,
BD
:
DC
?
3:
2
,
AE
:
EC
?
3:1
,求
OB
:
OE
?
?
A
A
O
B
【解析】
连
接
OC
.
E
D
C
O
B
D
p>
E
C
因为
BD
:
DC
?
3:
2
,根据燕尾定理,
S
?
AOB
:
S
?
AOC
?
BD
:
BC
?
3:
2
,即
S
?
AOB
?
又
AE
:
EC
?
3:1
,所以
S
?
AOC
?
所以
OB
:
OE
?
S
?
AOB
:
S
?
AOE
3
S
?
AOC
;
2
4
3
3
< br>4
S
?
AOE
< br>.则
S
?
AOB
?
S
?
AOC
?
?
S
?
AOE
?
2
S
?
AOE
,
3
2
2
3
?
2
:1
.
【巩固】在
?
ABC
中,
BD
:
< br>DC
?
2:1
,
AE
:
EC
?
1:3
,求
OB
:
OE
?
?
A
E
O
< br>C
B
.
D