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专题训练
角的计算
类型
1
利用角度的和、差关系
找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．
1
．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝
75
°，∠
BOC
＝
< br>30
°，求∠AOD
的度数．
解：因为∠AOC＝
75
°，∠
BOC
＝
30
°，
所以∠AO
B
＝∠AOC－∠BOC＝
75
°－<
/p>
30
°＝
45
°
.
又因为∠BOD＝
75
°，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝
45
°＋
75
°＝
120
°
.
2
．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．
(
两个三角板中的锐角分别为
45
°、
45
°和
30
°、
60
°
)
(1)
如图
1
所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD
时，
求∠CAE
的度数；
(
2)
如图
2
所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD
时
，求∠ACD
的度数．
解：
(1)
因为∠BAD＋∠DAC＝
90
°，∠
DAC
＝
4
∠B
AD
，
所以
5∠BAD＝
90
°，即∠BAD＝
18
°
.
所以∠DAC＝4×18°＝
72
°
.
因为∠
DAE
＝
90
°，
所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝
18
°
.
(2)
因为∠BCE＝∠D
CE－∠BCD＝
60
°－∠BCD，∠
ACE
＝3∠BCD，
所以∠AC
B＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋
60
°－∠BCD＝<
/p>
90
°
.
解得
∠BCD＝
15
°
.
所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝
90
°＋
15
°＝
105
°<
/p>
.
类型
2
利用角平分线的性质
角的平分线将角
分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．
3
．如图，点
A
，
O
，
E
在同一
直线上，∠
AOB
＝
40
°，∠
EOD
＝
28
°
46
′，
OD
平
分∠COE，求∠COB
的度
数．
解：因为∠EOD＝
28
°
46
′，
OD
平分∠COE，
所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°
46
′＝
57
°
3
2
′
.
又因为∠AOB＝
40
°，
所以∠COB
＝
180
°－∠AOB－∠COE＝
1
80
°－
40
°－
57
°
32
′＝
< br>82
°
28
′
< br>.
4
．已知∠AOB＝
40
°，
OD
是∠BOC
的平分线．
(
1)
如图
1
，当∠AOB
与∠BOC
互
补时，求∠
C
OD
的度数；
(2)
如图
2
，当∠AOB
与∠BO
C
互余时，求∠COD
的度数．
解：
(1)
因为∠AOB
< br>与∠BOC
互补，
所以∠AO
B＋∠BOC
＝
180
°
.
又因为∠AOB＝
40
°，
所以∠BOC＝
180
°－
40
°＝
140<
/p>
°
.
因为
OD
是∠BOC
的平分线，
1
所以∠COD＝
∠BOC＝
70
°
.
2
(2)
因为∠AOB
与∠BOC
互余
，
所以∠AOB＋∠BOC＝
90<
/p>
°
.
又因为∠AOB＝
40
°，
所以∠BOC＝<
/p>
90
°－
40
°
＝
50
°
.
因为
OD
是∠BOC
的平分线
，
1
所以∠COD＝
∠BOC＝
25
°
.
2
类型
3
利用方程思想求解
在解决有关余角、
补角，
角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知
数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．
2
5
．一个角的余角比它的补角的
还少
40
°，求这个角的度数．
3
解：设这个角的度数为
x
°，根据题意，得
2
90
－
x
＝
(180
－
x)
－
40.
3
解得
x
＝<
/p>
30.
所以这个角的度数是
30
°
.
6
．如图，已知∠AOE
是平角
，∠
DOE
＝
20
°，
OB
平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC<
/p>
的度数．
解
：设∠COD＝
2x
°，则∠BOC＝
3x
°
.
因为
OB
平分∠A
OC
，
所以∠AOB＝
3x
°
.
所以
2x
＋<
/p>
3x
＋
3x
＋<
/p>
20
＝
180.
解得
x
＝
20.
< br>所以∠BOC＝3×20°＝
60
°
.
1
7
．如图
，已知∠AOB＝
∠BOC，∠
COD
＝∠AOD＝
3
∠
AOB
，求∠
AOB
和∠COD
的
度数．
2
解：设∠AOB＝
x
°，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝
3x
°
.
1
因为∠AOB＝
∠BOC，
2
所以∠BOC＝
2x
°
.
所以
3x
＋
3x
＋
2x
＋
x
＝
360.
< br>解得
x
＝
40.
所以∠AOB＝
40
°，∠
COD
＝
120
°
.
类型
4
利用分类讨论思想求解
在角度计算中
，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．
2
8
．已知∠AOB＝
75
°，∠
AOC
＝
∠AOB，
OD
平分∠AOC，求∠BOD
< br>的大小．
3
2
解：因为∠AOB＝
75
°，∠
AOC
＝
∠AOB，
3
2
所以∠AOC＝
×75
°＝
50
°
.
3
因为
O
D
平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝
< br>25
°
.
如图
1
，∠
BOD
＝
75
°＋
25
°＝
100
°；
如图
2
，∠
BOD
＝<
/p>
75
°－
25
°
＝
50
°
.