-
第四章
积分
由于抗生素的使用，由细菌引起
的传染病已在很大程度上得到控制．然而，
病毒（甚至是那些与普通感冒有关的）都不是
现代医学所能控制的．所以，
20
世纪
80
年代的一种致命病毒
HIV
（如上
所示）的出现，导致了艾滋病，这被认
为是一种成熟的公共卫生紧急事件．
流行病学家在解决艾滋病的奥秘上已发挥了
重要作用，
他们使用复杂的数学模型来预测爆发的严重程度．
许多用于流行病学
< br>的基本数学量将在本章研究．
在分析疾病的传播时，在
给定的时间内确定所报告的新病例数是很重要
的．
对这个数据的
仔细分析表明了生长速率，
这是用来预测未来某个时刻的案件
数
的．从数学上讲，这个想法是使用一个未知函数的变化率（即导数）来确定函
数本身的性
质．我们在第
4
．
1
< br>节介绍了这个问题的一个方面，称为积分．
艾滋病的研
究是复杂的，因为一个人一旦感染艾滋病病毒（即成为“HIV
阳性”）
，艾滋病症状出现前的潜伏期是高度可变的．因此，对艾滋病传播的实
际模型必
须从感染的人数开始，
并且考虑到这个变化的“潜伏期”．
一个
简单的
例子可以帮助我们说明研究的困难．
< br>假设作为讨论的基础，潜伏期在
4
个月内的传染病的感染
率如下表所示
那就是说在第一个月，据记录每月有
20
个新人被感染，在接下来的
2
个月
速率
上升至每月有
40
个新感染者，然
后下降到每月
30
个新的感染者．进一步来看，
假设潜伏期如下表所示．
让我们预计一下在第四个月和第五个月症状发展的新感染者的
个数．
请注意，
在第四个月症状发展
的人分为三个不同类别：
那些第一个月被感染
的有
3
个月的潜伏期，
在第二个月被感染的有
2
个月的潜伏期，
那些在第三个月
被感染的有一个月的潜伏期．那么每个类别症状发展的新个体的数量是
20
的
Number of months since
infection
1
2
Percentage developing symptoms
3
4
月份
1
2
3
4
Number
of new infections
20
40
40
30
20
50
20
10
20%
，
40
的
50%
和
40
的
20%
或者
0
．
2(20) +
0
．
5(40) +
0
．
2(40) = 4 + 20 + 8 =
32
．
类似的计算使我们作出第五个月的新病例数的以下预测：
0
．
1(20) +
0
．
2(40) +
0
．
5(40) +
0
．
2(30) = 36,
注意，
即使第四个月的感染率有所下降，第五个月的新病例数却增加了．
以上使用的计算总数的方法是第
4
．
2
节的重点．我们最初的目的是利用这
些方法来解决第
4
．
3
节曲线中的面
积计算的几何问题，
然后推广到第
4
．
4
节来
定义定积分．
< br>在这一点上，
我们准备提出所有数学中的最大结果之一：
微积分基
本定理，它揭示了导数与定积分之间的关系．
4
．
1
原函数
微积分为我们提供了一个了解周围
世界强大的工具集．
当工程师们最初为美
国宇航局设计航天飞机
时，
航天飞机配备了飞机发动机为飞行穿过大气层时提供
动力．
为了减少成本，飞机引擎被废弃，航天飞机成为了一个巨大的滑翔机．这
一决定的一个后
果是，
一旦航天飞机已经开始返回，
着落点就只有一个选择．<
/p>
更
重要的是，宇航员们必须在首次接近地面时就使航天飞机着落．
没有飞机引擎，
就没有第二次机会．显然，航天飞机的飞行路径必须精确的选择（和控制
）
．美
国宇航局的工程师们用微积分来给这些非常重要的问题提
供精确的答案．
虽然我
们不能处理航天飞机飞行复杂问题，我们
可以考虑一个理想化的模型．
当然，
没有人在看到航天飞机飞行时想到一个方程．
为了解决现实世界的问
题，
我们从一个物理原理开始，
并用它来产生一个物理系统
的数学模型．
然后我
们就可以解决数学问题，并根据物理问题来
解释解决方案．
让我们从考虑航天飞机飞向地球的垂直运动开
始．
，影响飞机运动的三种力
是：
向下
的重力，
空气阻力相反运动引起的推力以及机翼和机身的升力．
描述这
个问题的物理原理是牛顿第二定律：
力
< br>=
质量×加速度
或
F
?<
/p>
ma
．
那就是说，
作用于物体上的所有力的总和等于质量和加速度的乘积．
记住，
加速度是速度的
导数以及位置函数的二阶导数．
我们的任务可以概括为：识别出作用于一个物体的所有的力，利用牛顿第二
定律写出有关所有的力的方程，
然后针对对象的位置来解决．
不
幸的是，
所有这
< br>些步骤可能非常复杂．
例如，
我们将如何写出阻力和升力
公式？通过以不同速度
开车，你会知道你的速度越快，空气阻力就越大．航空工程师已经
由实验确定，
由于空气阻力受到的力，
F
d
与物体速度的平方成比例并且运动方向相反．那就
是说，当
速度
v
?
0
时
，力是负的，当
v
?
0
，力是正的．因此，对于下降的飞机
来说，
F
d
?<
/p>
kv
2
常数
k
?
0
其次，重力是很好理解和容易描述的．由于重力受到的力就是
物体的重量，
在这种情况下（至少在低海拔地区）基本上是恒定的．重量与质量的关系是
（负号表明重力作用向下．
）根据牛
W
?
?
mg
，万
有引力常数
g
大约是
32
ft
/
s
2
．
顿第二定律，我们有
F
?
ma
?<
/p>
?
mg
?
kv<
/p>
2
认识到
<
/p>
a
?
v
?
?
t
?
,
这使我们得到
< br>mv
?
?
t
?
?
?
mg
?
kv
2
?
t
?
（
1
．
1
）
请注意，方程（
1
．
1
）包括两个未知函数
v
?
t
?
和它
的导数
v
?
?
t
?
．这样的方
程称为微分方程．
不幸的是，
此时，
我们没有所需的数学机械
来解出这个方程的
v
?
t
?
．
为了解决这个问题，
我
们吧问题简化了
（简化问题一直是数学建模的第一
步）
．
假设重力是作用于飞机的唯一力量
（即忽略空
气阻力）
，
我们可以取
（
1
．
1
）
< br>中的
k
?
0
，这使我们得出
mv
?
?
t
?
?
?
mg
或
v
?
?
t
?
?
?
g
现在，
使
y
(
t
)<
/p>
成为位置函数，给出飞机开始返回后
t
秒
时的高度．由于加速
度是位移的二阶导数，我们有
y
?
?
?
t
?
?
?
32
．
你对计算导数很有经验，
但是你现在的任务类似于电视问答节目
Jeopardy
：
你知道
y
(
t
)
的二阶
导数是
-32
，但原函数是什么？更一般地，我们需要找到一个
方法来消除导数．
就是说，
给定一个函
数
f
?
x
?<
/p>
，
我们要找到另一个函数
F
?
x
?
< br>使
F
?
?
x
?
?
f
?
x
?
．我们称这样的函数
F
为
f
的一个原函数
.
例
1.1
求给定函数的原函数
.
求
f
?
x
?
?
x
2
的一个原函数
.
解：
注意
F
?
x
?
?
1
3
x
f
?
x
?
是
的一个原函数，因此，
3
F
?
?
x
?
?
d
?
1
3
?
2
?
x
< br>?
?
x
dx
?
3
?
进一步观察到
d
?
1
3
?
2
x
?
5
< br>?
x
?
?
dx
?
3
?
所以
G
?<
/p>
x
?
?
我们有<
/p>
1
3
x
?
5
f
?
x
?
c
的一个原函数．事实上，对于任意常数
，
3
也是
d
?<
/p>
1
3
?
x
?
c
?
?
x
2
?
dx
?
3
?<
/p>
H
?
x
?
?
1
3
x
?
c
f
?
x
?
3
也是
的一个原函数，对于任意常数
c
．
因此，
一般来说，观察到如果<
/p>
F
是
f
的
任意原函数，
c
是任意常数，那么
d
F
?
x
?
?
c
?
?
F
?
?
x
?
?
0<
/p>
?
f
?
x
?
?
?
?
dx
因此，
除了
F
?
x
?
?
c<
/p>
也是
f
?
x
?
的一个原函数，对于任意常数
c
．这时候，你可能会问
F
?
x
?
?
c
之外
f
?
x
?
是否还有其他原函数．下面的定理给你的答案是没有．
上的
函数
f
的原函数
．那么，
定理
1
．
1
假设
F
和
G
都是区间
?
a
,
b
?
G
?
x
?
?<
/p>
F
?
x
?
?
c
证明：
对于某个常数
c
< br>由于
F
和
G
都是
f
的原函数，
我们有
G
?
?
x
?
?
F
?
< br>?
x
?
．
现在从第
2
．
9
，
对某些所需的常数
C
．
的
节的推论
9
．
1
得出，
G
?
x
?
?
F
?
x
?
?
c
定义
1
< br>．
1
设
F
是
f
的任意原函数．
f
?
x
?
不定积分的（相对
于
X
）定义为
?
f
?
x
?
dx
?
F
?
x
?
?
c
，
C
为任意常数（积分常数）
．<
/p>
这个计算积分的过程被称为积分．在这里，
f
?
x
?
被称为被积函数和定义
x
为积
分变量．
例
1.1
不定积分．计算
?
3
x
2
dx
3
x
2
是
x
3
的导数，所以
?
3
x
2
dx
?
x
3
?
< br>c
解：
认识到
例
1.2
．
确定不定积分的系数．计算
?
t
5
dt
．
d
6
1
6
d
?
< br>1
6
?
5
5
t
?
6
t
5
t
dt
?<
/p>
t
?
c
t
?
t
?
?
?
解：
我们知道
dx
6
dx
6
?
，所以
?
．
．因此
我们应该指出每一个求导规则会产
生相应的积分规则．
例如，
回想一下对于
每一个有理数的幂
r
，
有
证明了下面的结论．
x
r
?
1
?
c<
/p>
定理
1
．
2
（幂法则）
对
于任意有理数幂
r
?
?
1
，
?
x
dx
?
r
?
1
r
d
r
d
x
?
?
r
?
1
?
x
r
?
1
．
同样的
，
我们有
x
r
?
1
?
?
r
?
1
< br>?
x
r
．
这
dx
dx
例
1.3
幂法则的使用．计算
?
x<
/p>
17
dx
的值．
17
x
17
?
1
x
18
?<
/p>
c
?
?
c
解：
根据幂法则有，
?
< br>x
dx
?
17
< br>?
1
18
．
1
dx
3
?
x
含有负指数的幂法则
．计算
．
例
1.4
解
如果我们首先改写被积函数就可以使用幂法则．我们有
1
x
?
3
?
1
1
?
2
?
3
dx
< br>?
x
dx
?
?
c
?
?
x
?
c
3
?<
/p>
?
?
3
?
1
2
x
．
1
计算（
a)
?
xdx
和
(b)
?
3
dx
x
．
含有分数指数的幂法则．
例
1.5
解：
（
a
）如例
1
．
5
中所示，我们先改写被积函数然后再运用幂法则．我
们有
?
x
1
2
?
1
x
3
2
2
xdx
?
?
x
dx
< br>?
?
c
?
?
c
?
x
3
2
?
c
1
2
?
1
3
2
3
．
1
2
注意在最后的表达式中的分数
< br>3
就是用来消掉新指数
3 /
2
的．
（这是你求
导的时候会发生的）