-矿石
第八章
Black-Scholes
模型
<
/p>
金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。概率
论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。
< br>Robert
C.
Merton
，
1997
年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连
续时间金融》的前言中写
到：
过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功
能的工具。虽然在数
学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得
到更精确的理论解和
更精练的经验假设。
因此，在动态跨世模型
中引入的真实性越多，就能够得到比离散
时间模型越合理的最优规则。在这种意义上来说
，连续时间模型是静态和动态之间的分水
岭。
直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的
定价问题。二项树模
型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实
刻画。离散时间模型
的极限情况是连续时间模型。事实上，大多数衍生定价理论是在连续
时间背景下得到的。
与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型
具有离散时间模型所
没有的优势：（
1
）可以得到闭形式的解。闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期
保值问题至关重
要。（
2
）可以方便的利用随机分析工具。
任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确
定的方式发生变化，我们称
它为随机过程。如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，
随机过程可以分为离散时间
随机过程和连续时间随机过程。如果按照随机过程的值所取的
范围来分，随机过程可以分
为连续变量随机过程和离散变量随机过程。在这一章中，我们
先介绍股票价格服从的连续
时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。理解
这个过程是理解期权和其他
更复杂的衍生证券定价的第一步。与这个随机过程紧密相关的
一个结果是
Ito
引理，这个引
理是充
分理解衍生证券定价的关键。
In
this
chapter
we
study
the
best-
known
continuous
time
model,
the
Black-
SCHOLES
MODEL.
This
model,
developed
by
Fischer
Black
and
Myron
Scholes
in
1973,
describes
the
value of a European option on an asset
with no cash flows. The model has had a huge
influence
on the way that traders price
and hedge options. It has also been pivotal to the
growth and success
of
financial
engineering
in
the
1980s and
1990s. The
model
requires
only
five
inputs:
the
asset
price,
the
strike
price,
the
time
to
maturity,
the
risk-free
rate
of
interest,
and
the
volatility.
The
Black-Scholes
model
has
becomes
the
basic
benchmark
model
for
pricing
equity
options
and
foreign
currency
options.
It
is
also
sometimes
used,
in
a
modified
form,
to
price
Eurodollar
futures options, Treasury bond options,
caps, and floors. We cannot say that we have
mastered
option pricing theory unless
we understand the Black-Scholes formula.
本章的第二部分内容在连续时间下推导
Black-Schol
es
欧式期权定价公式，我们分
别利用套期保值方法和等价鞅测
度方法。并对所需的参数进行估计。最后讨论标的股票支
付红利的欧式期权定价问题。<
/p>
1
．连续时间随机过程
我们先介绍
Markov
过程。
定义
：一个随机过程
?
X
t
?
t
?
0
称为
Markov
过程
，如果预测该过程将来的值只与它的目
前值相关，过程过去的历史以及从过去运行到
现在的方式都是无关的，即
E
?
X
s
?
t
?
?
E
?
X
s
X
t
< br>?
（
1
）
这里，
s
?
t
，
?
t
表示直到时
间
t
的信息。
我们通常假设股票的价格过程服从
Markov
过程。假设
IBM
公司股票的现在的价格
是
100
元。如果股票价格服从
Markov
过程，则股票一
周以前、一个月以前的价格对于预测
股票将来价格是无用的。唯一相关的信息是股票当前
的价格
100
元。由于我们对将来价格
的预测是不确定的，所以必须按照概率分布来表示。股票价格的
Markov
性质说明股票在
将来任何时间的价格的概率分布不依赖于价格在过去的特殊
轨道。
股票价格的
Markov
性质与市场的弱形式的有效性有关。这说明股票现在的价格已
经包含了隐含在过去价格中的有用信息。
考虑一个随机过程的变量
X
t
。假设它现在的值为
10
，在任何时间区间
?
t
内它的
值的变化量，
X
t
?
?
t
?<
/p>
X
t
，服从正态分布
N
?
0
,
?
t
?
，且不相交时间区间变化量是独
立的。
在任何两年内它的值的变化量为
X
t
?
2
?
X
t
，满足
X
t
?
2
?
X
t
=
X
t
?
2
?
X
t
?
< br>1
+
X
t
?
1
?
X
t
由
假
设
，
X
t
?
2
?
X
t
?
1
与
X
< br>t
?
1
?
X
t
独
立
，
且
X
t
?
2
?
X
t
?
1
服
从
N
?
0
,
< br>1
?
，
X
t
?
1
?
X
t
服
从
N
?
0
,
1
?
。两个独立正态分布随机变量的和为正态分布随机变量，均值为各个均
值的和，方
差为各个方差的和。所以
X
t
?
2
?
X<
/p>
t
服从正态分布
N
?
0
,
2
?
在任何半年内，
< br>X
t
?
0
.
5
?
X
t
服从正态分布
N
?
0
,
0
.
5
?
不确定性与时间的平方根成比例。
上面假设的过程称为布朗运动
(Brownian
motion)
，也称为
Wiener
process
。这是一种
特殊的
Markov
随机过程，在每年的变化量的均值为
< br>0
，方差为
1
。
定义：
一个
(
标准的、
1-
维
)
布
朗运动
是一个连续的适应过程
z
={<
/p>
z
t
,
?
t
; 0
?
t
<
?
}
，其值
域为
R
且满足如下性质：
< br>
（
1
）
z
0
?
0
a.s
.
（
2
）
对任意的
0
?
<
br>为均值，以
s
,
增量
z
t
?
z
s
独立于
?
s
，且服从以
0
(
t-s
)
为方差的正态
分布。
有时，我们将用到区间
[0,
T
]
上的布朗运动
z
={
z
t
,
?
t
;
0
?<
/p>
t
?
T
}
，这里
T
>0,
这个概念可
以类似地定义。
性质：
1
）一个标准布朗运动既是
Markov
过程又是鞅。
2
）在任何小时间区间
?
t
内的变化量为
?
z
?
?
?
t
这里
?
是标准正态分
布。
3
）任何两个小时间区间的变化
量是独立的。
< br>考虑变量在时间
T
内的值的增加量
z
T
?
z
0
。可以把它视为
z
< br>在
N
个小时间区间
?
t
的增量的和，这里
N
?
因此
N
T
?
t
（
2
）
z
T
?
z
0
?
?
?
i
?
t
i
?
1
这里
?
i
是独立的
标准正态分布。
var
?
z
T
?
z
0
?
?
N
?
t
?
T
例子：
E
?
z
T
?
z
0
?
?
0
推广的
Wiener
过程
dx
?
adt
?
bdz
这里
a
,
b
视常数。
为了理解（
3
），分别考虑它右边的两部分
< br>
（
1
）
adt
说明
x
在单位时间的期望漂移率为
a
dx
?
adt
或者
x
?
x
0
?
at
这里
x
0
是
x
在时间
0
的值。
（
2
）
bdz
是加在
x
轨道上的噪声或者扰动。
在一个小时间区
间
?
t
，
x<
/p>
的变化量
?
x
为
（
3
）
?
x
?
a
?
t
?
b
?
?
t
< br>因此
?
x
服从正态分布
E
?
?
x
?
?
a
< br>?
t
var
< br>?
?
x
?
?
b
2
?
t
E
?
x
T
?
x
0
?
?
aT
在一个时间区间
T
，
x<
/p>
的变化量
x
T
?
x
0
为正态分布
2
var
?
x
T
?
x
0
?
?
b
2
T
所以推广的
Wiener
过程的期望漂移率
(average drift per unit of time)
为
a
，方差率
(variance
per unit of time)
为
b
。
Ito
过程
dx
?
a
(
x
,
t
)
dt<
/p>
?
b
(
x
,
t
)
dz
在一个小时间区间
?
t
，
x
的变化量
?
x
为
（
4
）
?
x
?
a
(
x
,
t
)
?
t
?
< br>b
(
x
,
t
)
?
?
t
所以
Ito
过程在一个小时间区间
?
t
的期望漂移
率为
a
(
x
,
t
)
，方差率为
b
(
x
,
t
)
。
Ito
引理
2
2.
股票的价格过程
< br>我们讨论不支付红利股票价格服从的随机过程。我们可以假设股票的价格过程服从
推广的
Wiener
过程，即常的期望漂移率和常数方差率。
但是，这个过程不满足股票价格的
一个关键特征：投资者要求的股票期望回报率应该独立
于股票价格，股票回报率在短时间
内的变动也应该独立于股票的价格。如果当股票价格是
10
元时，投资者要求的每年期望回
报
率是
14%
，则当股票的价格是
50<
/p>
元时，投资者要求的每年期望回报率也是
14%
< br>。通常
我们也假设在一个短时间
?
t
内，回报率的变动也独立于股票的价格。
如下的
Ito
过程满足要求
dS
?
?
Sdt
?
?
Sdz
这里
?
,
?
为常数。我们称之为几何布朗运动。这是应用
最广泛的描述股票的价格过程。
?
是股票价格的波幅，
?
是股票价格的期望回报率。
如果没有随机项，则
?
S
?
?
< br>?
t
S
在极限状态下
dS
?
?
dt
S
从而
S
T
?
S
0
e
?
T
这说明，当方差率为
0
时，股票价格以每单
位时间连续复利率
?
增长。
例子：
几何布朗运动的离散时间版本为
<
/p>
?
S
?
?
?
t
?
??
?
t
S
The variable
?
S
is the change
in the stock price,
S
, in a
small interval of time,
?
t
; and
?
is a
random
drawing from a standardized normal distribution.
The parameter,
?
, is the
expected rate
of return per unit of
time from the stock and the parameter,
?
, is the volatility of the
stock price.
Both
of
these
parameters
are
assumed
constant.
The
left
hand
the
above
equation
is
the
return
provided by the stock in a short period
of time,
?
t
. The
term
?
?
t
is
the expected value of this
return,
and
the
term
??
?
t
is
the
stochastic
component
of
the
return.
The
variance
of
the
2
stochastic component (and,
therefore, of the whole return) is
?
?
t
.
This is consistent with the
definition
of
the
volatility,
?
,
that
is
,
?
is
such
that
?
?
t
is
the
standard
deviation
of
the
return in a short time period,
?
t
.
正态分布
?
S
~
N
?
?<
/p>
t
,
?
2
?
t
S
?
?
参数
?
和<
/p>
?
The process for
the stock prices developed in this chapter
involves two parameters
?
and
?
.
The
parameter,
?
, is the expected
continuously compound return earned by an investor
per year. Most
investors require higher
returns to induce them to take higher risks. It
should also depend on the
level of
interest rates in the economy. The higher the
level of interest rates, the higher the expected
return required on any given stock.
Fortunately, we do not have to concern
ourselves with the determinants of
?
in any detail because
the value of a derivative dependent on
a stock is, in general, independent of
?
. The parameter
?
,
the stock
price volatility, is, by contrast, critically
important to the determination of the value of
most derivatives. Typical values of
?
for a stock are in the
range 0.20 to 0.40.
对
ln<
/p>
S
利用
Ito
引
理得到
?
?
2
?
d
ln
S
?
?
?
?
?
2
?
?
dt
?
?
dz
?
?
这说明
ln
S
服从推广的
Wi
ener
过程。从而
ln
S
在时间
0
和
T
之间的变化量过程正态分布
2
< br>?
?
?
?
?
?
?
?
ln
S
T
?<
/p>
ln
S
0
~
N
?
?
?
T
,
?
T
?
?
?
?
< br>2
?
?
?
?
即
2
?
?
?
?
ln<
/p>
S
T
~
N
?
?
ln
S
0
?
?
?
?
2
?
?
< br>?
?
?
?
T
,
?
T
?
?
?
?
S
T
的期望值
S
T
的方差