人教版高中数学a和b区别-新课教a版高中数学必修5优秀教案
解三角形解答题专题训练 2017.12
1.在
?ABC
中,
角
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
,已知
csinA?3ac
osC
.
(Ⅰ)求
C
;
(Ⅱ)若
c?7
,且<
br>sinC?sin(B?A)?3sin2A
,求
?ABC
的面积.
解:(Ⅰ)由正弦定理,得
sinCsinA?3sinAcosC
,
因为
sinA?0
,解得
tanC?3
,
C?
?
3.
(Ⅱ)由
sinC?sin(B?A)?3sin2A
,得
s
in(B?A)?sin(B?A)?3sin2A
,
整理,得
sinBcosA?3sinAcosA
.
若
cosA?
0
,则
A?
?
2
,
21
c
?
,
?tan
,
b?
3
b3
173
.
?ABC
的面积
S?bc?
26
若
cosA?
0
,则
sinB?3sinA
,
b?3a
.
由余弦定理,
得
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
,
解得
a?1,b?3
.
?ABC
的面积
S?absinC?
综上,
?ABC
的面积为
1
2
33
.
4
7333
或.
64
2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知a+b=5,c=7
,且
4sin
2
A?B7
?cos2C?.
22
(Ⅰ) 求角C的大小;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
解: (Ⅰ)
∵A+B+C=180°由
4sin
2
∴
4?
A?B7C7
?cos2C?得4cos
2
?cos2C?
2222
1?cosC7
?(2cos
2
C?1)?
22
整理,得
4cos
2
C?4cosC?1?0
解得:
cosC?
1
2
∵
0??C?180?
∴C=60°
(Ⅱ)
由余弦定理得:c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC,即7
=a
2
+b
2
-ab
∴
7?(a?b)
2
?3ab
由条件a+b=5得
7=25-3ab , 故
ab=6
∴
S
?ABC
?ab
sinC??6?
所以
△ABC
的面积
S?
1
2
1
2
333
?
22
13
absinC?3
.
22
3.已知<
br>a,b,c
分别为
?ABC
三个内角
A,B,C
所对的边长,
且
acosB?bcosA?2ccosC
.
(1)求角
C
的值;
(2)若
c?4,a?b?7
,求
S
?ABC
的值.
解:(1)由正弦定理:
abc
,
??
sinAsinBsinC
得:
sinAcosB?sinBcosA?2sinCcosC
,
又
sinC?sin(A?B)?2sinCcosC
,
∴
cosC?
1
?
,
C?
.
23
(2)由余弦定理:
c
2
?a
2
?b
2
?2ab
cosC
,
即
4
2
?(a?b)
2
?2ab?2
abcos
?
3
,
∴
ab?11
,∴
S
?ABC
?
113113
absinC??11??
2224
4.在
?ABC
中,内角
A,B,C
的对边为
a,b,c
,已知
2cos
2
(1)求角
C
的值;
(2)若
c?2
,且
?ABC
的面积为
3
,求
a,b
.
解:(1)∵
2cos
2
A
?(cosB?3sinB)cosC?
1
.
2
A
?(cosB?3sinB)cosC?1
,∴
cosA?cosBcosC?3sinBcosC?0
,
2
∴
?cos(B?C)?cosBcosC?3sinBcosC?0
,
∴
?cosBcosC?sinBsinC?cosBcosC?3sinBcosC?0,
∴
sinBsinC?3sinBcosC?0
,
?
又∵
B
是三角形的内角,∴
tanC?3
(或
2sin(
C?)?0
)
3
又∵
C
是三角形的内角,∴
C?
?
3
.
1
?
(2)
S
?ABC
?3
,∴
absi
n?3
,∴
ab?4
,
23
又∵
c
2
?
a
2
?b
2
?2abcosC
,∴
4?(a?b)
2
?2ab?ab
,∴
a?b?4
,或
a?b?0
,
∴
a?b?2
.
1
5.锐角
?ABC
中,角A、B、C
的对边分别是
a、b、c
,已知
cos2C??
.
4
(Ⅰ)求
sinC
的值;
(Ⅱ)当
a?2
,<
br>2sinA?sinC
时,求
b
的长及
?ABC
的面积.
解:(Ⅰ)因为
cos2C?1?2sin
2
C??,0?C??
所以
sinC?
(Ⅱ)当
a?2,2sinA?sinC
时,由正弦定理1
4
?
2
1
4
10
.
4
aC
,解得
c?4
.
?
sinAsinC<
br>由
cos2C?2cos
2
C?1??,及0?C?
得
cos
C?
6
,
4
由余弦定理
c
2
?a
2?b
2
?2abcosC
,得
b
2
?6b?12?0<
br>,
解得
b?26
(负舍),
S
?ABC
?absi
nC?15
∴
?
?
?
b?26
?
?S?15
1
2
?
?
6.已知向量
m?(si
nx,cos(x?))
,
n?(cosx,?cos(x?))
,且
f(x
)?m?n
.
44
(1)求
f(x)
的单调递增区间;
3
??
(2)若函数
g(x)?f(x)?2sin
2
x?m?在区间
[?,]
上有零点,求
m
的取值范围.
244
?
解:(1)由
f(x)?m?n?sinxcosx?cos
2
(x?)<
br>
4
11
?
1111
?sin2x?[1?c
os(2x?)]?sin2x??sin2x?sin2x?
2222222
由<
br>2k
?
?
?
2
?2x?2k
?
?
?
2
,k?Z
,得
k
?
?
?
4
?x
?k
?
?
?
4
,k?Z
,
则
f(x)<
br>的递增区间为
[k
?
?
?
,k
?
?],k?
Z
.
44
?
13
?
(2)
g(x)?sin2x
??(1?cos2x)?m??2sin(2x?)?m
,
224
g(x)
有零点,即函数
y?2sin(2x?)
与
y?m
图像有交点,
4
?
?
??
函数
y?2sin(2x?)
在区间
[
?,]
上的值域为
[?1,2]
,
444
由图象可得,
m
的取值范围为
[?1,2]
. 7.如图,
D
是直角三角形
?ABC
斜边
BC
上一点,
AC?3DC
.
(Ⅰ)若
?DAC?30
?
,求
?B
;
(Ⅱ)若
BD?2DC
,且
AD?22
,求
DC
.
解:(Ⅰ)在
?ABC
中,根据正弦定理,有
ACDC
.
?
sin?ADCsin?DAC
3
.
2
∵
AC
?3DC
,所以
sin?ADC?3sin?DAC?
又
?ADC??B??
BAD??B?60
?
?60
?
,∴
?ADC?120
?<
br>,
∴
?C?180
?
?120
?
?30
?
?30
?
,∴
?B?60
?
.
(Ⅱ)设
DC?x
,则
BD?2x,BC?3x,AC?3x
,
∴
sinB?
AC36
?,cosB?,AB?6x
.
B
C33
在
?ABD
中,
AD
2
?AB
2
?
BD
2
?2AB?BD?cosB
,
即
(22)<
br>2
?6x
2
?4x
2
?2?6x?2x?
6
?2x
2
,得
x?2
.故
DC?2
.
3
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-
3
sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
解:(1)由已知得
?cos(A?B)?cosAcosB?3sinAcosB?0
,即有
sinAsinB?3sinAcosB?0
,因为
sinA?0
,
所以
sinB?3cosB?0
,又
cosB?0
,
所以
tanB?3
,
又
0?B?
?
,所以
B?
?
3
.
111
,有
b
2
?3(a?)
2
?
. 又
224
(2)由余弦定理,有
b
2
?a
2
?c2
?2accosB
. 因为
a?c?1,cosB?
0?a?1
,于是有
11
?b
2
?1
,即有
?b?1
.
42
9.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c且cos2B+3cosB﹣
1=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的最小值.
解:(1)在△ABC中,∵cos2B+3cosB﹣1=0,
∴2cos
2
B+3cosB﹣2=0,∴或cosB=﹣2(舍去),∴.
(2)∵a+c=1,由余弦定理,得b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB=(a+c)
2
﹣3ac=1﹣3a(1﹣a)=3a
2
﹣
3a+1,其中0<a<1,
∵f(a)=3a
2
﹣3a+1在
∴
上递减,在
.
上递增,
,又0<b<1,∴
10.已知
?ABC
中,
a
,
b
,
c
分别是角
A
,
B
,C
的对边,且
b
2
,
c
2
是关于
x<
br>的一元二次方
程
x
2
?(a
2
?bc)x?m?0<
br>的两根.
(1)求角
A
的大小;
(2)若
a?3
,设
B=
?
,
?ABC
的周长为
y
,求
y
?f(
?
)
的最大值.
b
2
?c
2
?a
2
1
?
,又∵解:(1)在
?ABC
中,依题意有:
b?c?a?bc
,∴
cosA?
2bc2
??
bca
A
?(0,
?
)
,∴
A?
;(2)由
a?3
,
A?
及正弦定理得:
???2
,
33
sinBsinCsinA
222
∴
b?2sinB?2sin
?
,
c
?2sinC?2sin(
故
y?a?b?c?3?2sin
?
?2sin(
由
0?
?
?
2
?
2
?
?B)?2
sin(?
?
)
,
33
2
?
?
?
?
)
,即
y?23sin(
?
?)?3
,
6<
br>3
?
2
?
??
5
?
??
得:
?
?
??
,∴当
?
??
,即
?
?
时,
y
max
?33
.
3
366662
11
.已知在△ABC中,(1)若三边长a,b,c依次成等差数列,sinA:sinB=3:5,
求三个内角中最大角的度数;
(2)若
BA?BC?b
2
?
?
a?c
?
2
,求cosB.
解:(1)在△ABC中有sinA:sinB=3:5,
∴a:b=3:5,设a=3k,(k>0)则b=5k,
∵a,b,c成等差数列,∴c=7k,
222
3k
?
?
?
5k
?
?
?
7k
??
∴最大角为C,有cosC
==﹣,∴C=120°
2?
?
3k
?
?
?
5k
?
(2)由
BA?BC
=b
2
﹣(a﹣c)
2 得:accosB=b
2
﹣(a﹣c)
2
,
即accosB
=a
2
+c
2
﹣2accosB﹣(a
2
+c
2<
br>﹣2ac),∴3cosB=2,∴cosB=.
12.在
?ABC
中,a,b,c
分别为角
A,B,C
所对的三边,
a
2
?(
b?c)
2
?bc
,
(Ⅰ)求角
A
;
(Ⅱ)若
BC?23
,角
B
等于
x
,周长为
y
,求
函数
y?f(x)
的取值范围.
解:(Ⅰ)由
a
2
?(b
?c)
2
?bc
,得
a
2
?b
2
?c2
??bc
,
b
2
?c
2
?a
2<
br>1
?
?cosA??
又
0?A?
?
,
A?
2bc2
3
(Ⅱ
)
?
ACBC
BC23
?,
?AC??sinx??sinx?4s
inx
?
sinxsinA
3
sin
3
2
同理:
AB?
BC2
?
?sinC?4sin(?x)
sinA3
?y?4sinx?4sin(
2
??
?x)?23?4
3sin(x?)?23
36
?A?
?
3
?0?x?
2
?
3
故
x?<
br>??
5
?
?
1
?(,)
,
sin(x?)?
(,1]
,
?y?(43,63]
.
666
62
13
.在
?ABC
中,
(2a?c)cosB?bcosC
(1)求角B的大小;
(2)求
2cos
2
A?cos(A?C)
的取值范围.
解:(1)由已知得:
(2sinA?sinC)?sinBcosC
,
即
2sinAcosB?sin(B?C)
∴
cosB?
∴
B?
?
3
1
2
(2)由(1)得:
A?C?
2
?
,故
2co
s
2
A?cos(A?C)?2cos
2
A?cos(2A?
32
?
)
3
1331
?(cos2A?1)?(?co
s2A?sin2A)?sin2A?cos2A?1
2222
?sin(2A?)?1
6
?
又
0?A
?
2
?
??
3
?
∴
?2A??
3662
所以
2cos
2
A?cos
?
A?C
?
的取值范围是
(0,2]
.
14.在△
(Ⅰ)求;
面积的最大值.
中,内角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
,已知.
(
Ⅱ)若
b?2
,求△
解:(Ⅰ)由已知及正弦定理得
sinA?sinBco
sC?sinCsinB
又
A?
?
?(B?C
)
,故
sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC
得
sinB?cosB
,又
B?
?
0,
?
?
,所以
B?
?
4
.
(Ⅱ)
⊿
ABC
的面积
S?
12
acsinB?ac
2
4
由已知及余弦定理得
4?a
2
?c
2
?2accos?
4
又
a
2
?
c
2
?2ac
.故
ac?
4
2?2
,当且仅当a?c
时,等号成立.
因此⊿
ABC
的面积的最大值为
2?1
.
15.如图,在△
ABC
中,已知
?B?45
,D是BC边上一点,
AD=10,AC=14,DC=6,求AB的
长.
A
B
D
C
10
2
?6
2
?14
2
1
??
,
解:在△
ABC
中,∵AD=10,AC=14,DC=6∴
cos?ADC?
2?10?62
∴
?ADC?120
, ∴
?ADB?60
∴在△
ABD
中,∵
?B?45
,
∴
ABAD
,
?
sin60sin45
∴
AB?10?2?
3
?56.<
br>
2
?
6
16.在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,
b,c,已知函数
f(x)?sin(2x?)
满足:对
于任意
x?R,f(
x)≤f(A)
恒成立.
(1)求角A的大小;
(2)若
a?3
,求BC边上的中线AM长的取值范围.
解:(1)由题意,∵对于任意
x?R,f(x)≤f(A)
恒成立,
∴
f(x)?sin(2x?)
的最大值为
6
f(A)
,
?
当
f(x)
取得最大值时,
2x?
?
?
6
?2k
?
?
?
2
,k?Z
,即
x?k
?
?
?
3
,k?Z
,
∴
A?k
?
?,k?Z
,又∵A是三角形的内角,即
0?A?
?
,∴
A?
3
?
3
.
(2)∵AM是BC边上的中线,
∴在△ABM中,
AM
2
??2AM?
在△ACM中,
AM
2
??2
AM?
3
4
3
4
3
?cos?AMB?c
2
, ①
2
3
?cos?AMC?b
2
, ② 2
又∵
?AMB?
?
??AMC
,∴
cos?AMB?
?cos?AMC
,
b
2
?c
2
3
?
①+②得
AM??
.由余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccos?b
2
?c
2
?bc?3
,
24
3
2
b
2
?c
2
∵
0?b?c?3?bc≤,∴
3?b
2
?c
2
≤6
,
2
22
∴
?AM
2
≤
,即
3
4
9
433
?AM≤
22
17.设
?ABC
的内角
A
,
B
,
C
,所对的边长分别为
a
,
b<
br>,
c
,
m?
?
cosA,cosC
?
,n?
?
3c?2b,3a
,且
m?n
.
?
(1)求角
A
的大小;
(2)若
a?b
,且<
br>BC
边上的中线
AM
的长为
7
,求边
a
的值
.
解:(1)∵
m?n?0
,∴
(2b?3c)cosA?3acosC<
br>,
∴
(2sinB?3sinC)cosA?3sinAcosC
,
4分
2sinBcosA?3sinAcosC?3sinCcosA?3sin(A?C)
,
则
2sinBcosA?3sinB
, 6分∴
cosA?
(2
)由(1)知
A?
设
AC?x
,则
MC?
3
?,∴
A?
;
2
6
?
6
,又∵
a?b
,∴
C?
2
?
,
3
1
x
,
AM?7
,在
?AMC
中,由余弦定理得:
2
A
C
2
?MC
2
?2AC?MCcosC?AM
2
,
xx2
?
即
x
2
?()
2
?2x?cos?(7)
2
,
223
解得
x?2
,即
a?2
.
18.在
?ABC
中,
m?(2a?c,cosC),n?(b,cosB)
且
m
∥
n
(1)求角B的大小;
(2)若
b?
1
,当
?ABC
面积取最大时,求
?ABC
内切圆的半径.
解:(1)因为
m
∥
n
,所以
(2a?c)cosB?bcosC
?0
,
?
(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC
,
即
2sinAcosB?sin(B?C)
,
?cosB?
1
?<
br>?B?
23
(2)由(1)得
?B?
?
3
,又
b?1
,
?ABC
中 <
br>2
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB得
b
2
?a
2
?c
2
?ac
即
1?3ac?
?
a?c
?
,
又因为
?
a?c<
br>?
2
?4ac
.得
1?3ac?4ac
即
ac?1<
br>.所以
S
?ABC
?
当且仅当
a?c?1
时
S
?ABC
最大值为
133
acsinB?ac?
244
1
33
.此时由
S
?ABC
?
?
a?b?
c
?
r
,
r?
.
2
46
1
19
.设
?ABC
的内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c,
且
bcosC?a?c
.
2
(Ⅰ)求角
B
的大小; <
br>(Ⅱ)若
b?1
,求
?ABC
的周长
l
的取值范围.
1
解:(Ⅰ)∵
bcosC?a?c
,
2
a
2<
br>?b
2
?c
2
1
?a?c
, ∴由余弦定理,得b.
2ab2
∴
a
2
?b
2
?c
2<
br>?2a
2
?ac
,
∴
a
2
?c
2
?b
2
?ac
,
∴
2accosB?ac
,则
cosB?
?
1
,
∵
B?(0,
?
)
,∴
B?
.
3
2<
br>(Ⅱ)
l?a?b?c?a?c?1,由(1)知a
2
?c
2
?1?ac
,
3
∴
(a?c)
2
?1?3ac
∴
(a?c)
2
?1?3ac?1?(a?c)
2
∴
(a?
c)
2
?4
.∴
a?c?2
.
4
又∵
a
?c?b?1
,∴△ABC的周长
l?a?b?c?(2,3]
.
20.如
图,在
?ABC
中,点
D
在
BC
边上,
?CAD?
?
4
,AC?
72
,cos?ADB??
.
210
(1)求
sin?C
的值;
(2)若
BD?5
,求
?ABD
的面积.
解:(1)因为
cos?ADB??
又因为
?CAD?
272
,所以
sin?ADB?
.
1010
?
4
,所以
?C?
?ADB?
?
4
.
?
?
??
722224
?
所以
sin?C?sin
?
?ADB?
?
?sin?A
DB?cos?cos?ADB?sin?????
.
4
?
4410210
25
?
(2)在
?ACD
中,由
ADAC
,
?<
br>sin?Csin?ADC
74
?
AC?sin?C
25
??
22
. 得
AD?
sin?ADC
710
10
所以
S
?ABD
?
1172
AD?BD?sin?ADB??22?5??7.
2210
?
A?B
?
21.在△ABC中,角A,B,C所
对的边分别为
a
,b,c,且
2sin
2
??
?cos2C
?1
,
a
=1,
2
??
b=2.
(1)求∠C和边c;
(2)若
BM?4BC
,
BN?3BA,且点P为△BMN内切圆上一点,求
PA?PB?PC
的最
值.
?<
br>A?B
?
解:(1)因为
2sin
2
??
?cos2
C?1
,
2
??
222
?
A?B
?
co
s2C?1?2sin
2
??
?cos(A?B)??cosC
2
?
?
所以,
2
所以
2cosC?cosC?1?0
,所以
c
osC??1
或
cosC?
1
2
,
又因为
C?(
0,
?
)
,所以
cosC?
1
?
C?
2<
br>,所以
3
.由余弦定理可得,
c?a
2
?b
2
?2abcosC?3
.
建立坐标系,由(1)A
?
3,0,B
?
0,0
?
,C(0,1)
,由
BM?4BC
,
B
N?3BA
知
22
?
M(0,4),N
?
3,0
?
,△BMN的内切圆方程为:
?
x?1
?
?
?
y
?1
?
?1
,设
P(x,y)
,则令
?<
br>x?1?cos
?
,
?
?
?
0,2
?
?
?
?
y?1?sin
?
PA?PB?PC?x?3?
y
2
?x
2
?y
2
?x
2
?
?<
br>y?1
?
222
??
2
2
?3x
2
?3y
2
?23x?2y?4?11?23?4sin
?
?6?23cos<
br>
?
??
?11?23?64?243sin
?
?
?
?
?
?11?23?64?243
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