高考精华总结---[全国通用]高中数学高考知识点总结

f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称


f(x)与f
?1
(x)的图象关于直线y?x对称


f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称


f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

a(a?0)个单位
y?f(x?a)

将y?f(x)图象?左移
?????????
右移a(a?0)个单位
y?f(x?a)
b( b?0)个单位
y?f(x?a)?b

?
上移
????? ????
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b
注意如下“翻折”变换：

f(x)???f(x)
f(x)???f(|x|)


如：f(x)?log
2
?
x?1
?

< br>作出y?log
2
?
x?1
?
及y?log
2
x?1的图象

y

y=log
2
x


O 1 x


19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?

（2）反比例函数：y?
k
?
k ?0
?
推广为y?b?
k
?
k?0
?
是中心O'( a，b)
的双曲线。
xx?a
2
b4ac?b
??
2

（3）二 次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?
x?
?
?图象为抛物线

??
2a4a
2
?
b4ac? b
2
?
b

顶点坐标为
?
?，
?
，对称轴x??

4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?

4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2
?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
b
2

如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
?k

?
?
?
2a
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x



一根大于k，一根小于k?f(k)?0


（4）指数函数：y?a
x
?
a?0，a?1
?

??

（5）对数函数y?log
a
xa?0，a?1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0

（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y



?k


O
k


x



20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a?1(a?0)，a

a
m
n
0?p

?
1
(a?0)

a
p
?
n
a
m
(a?0)，a
?
m
n
?
1
n
a
m
(a?0)


对数运算：log
a
M·N?log
a
M?log
a
NM?0，N?0


log
a
??
M1
?log
a
M?log
a
N，log
a
n
M?lo g
a
M

Nn
log
a
x

对数恒等式：a?x


对数换底公式：log
a
b?
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
log
c
b
n
?log
a
m
b
n
?log
a
b

log
c
am

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y )?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。


（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）


（3）证明单调 性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
??x
2
?……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调
性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：

（1）y?2x?3?13?4x


（2）y?
??
2x?4

x?3
2x
2

（3）x?3，y?

x?3

（4）y?x?4?9?x

（5）y?4x?
2
?
设x?3cos?，??
?
0，?
?
?

9
，x?(0，1]

x
11
l·R??·R
2
）

22


R


1弧度
O R
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l??·R，S
扇
?

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin??MP，cos??OM，tan??AT

y
T
B S

P


α

O





M
A x





如：若?
?
???0， 则sin?，cos?，tan?的大小顺序是
8

?
?
< br>又如：求函数y?1?2cos
?
?
?x
?
的定义域和值域。

?
2
?
?
?

（∵1?2cos
?
?
?x
?
）?1?2sinx?0

?
2
?

∴sinx?
2
，如图：

2


∴2k??
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
，0?y?1?2

44
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对
称轴吗？


sinx?1，cosx?1

y
y?tgx




x
?
?


?


O
?

2
2





对称点为
?
k

?
?
?
，0
?
，k?Z

?
2< br>?
??
?
，2k??
?
?
k?Z
?

22
?

y?sinx的增区间为
?
2k??
?
?

减区间为
?
2k??
?
，2k??
3?
?
?
k?Z
?

?
22
?
??

图象的对称点为
?
k?，0
?
，对称轴为x?k??

y?cosx的增区间为2k?，2k???
?
k?Z
?


减区间为2k???，2k??2?
?
k?Z
?

?
?
k?Z
?

2
??
??
?
?

图象的对称点为
?
?
k??，0
?
，对称轴为x?k?
?
k?Z
?

??
2
??
?

y?tanx的增区间为
?
?
k??，k??
?
k?Z

?
22
?

26. 正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记。或y?Acos
?
?x??
?

（1）振幅|A|，周期T?
2?

|?|

若f
?
x
0
?
??A，则x?x
0
为对称 轴。


若f
?
x
0
?
?0，则< br>?
x
0
，0
?
为对称点，反之也对。


（2）五点作图：令?x??依次为0，
?
，?，
3?
，2?，求出 x与y，依点
（x，y）作
22
图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

??

?
?(x
1
)???0
?

如图列出
?
?

?(x
2
)???
?
2
?

解条件组求?、?值


?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
，T?
?

|?|
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的
范围。

如：cos
?
x?

（∵??x?
?
??
?
23?
??
，x?
?
?，
?
，求 x值。

?
??
6
?
22
??
3?7?? 5??5?13
，∴?x??，∴x??，∴x??）

26636412
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数y?sinx?sin|x|的值域是


（x?0时，y?2sinx??2，2，x?0时，y?0，∴y??2，2）

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
????
?
?
x'?x?h

a?(h，k)

（1）点P（x，y）???????P'（x'，y'）， 则
?
平移至
?
y'?y?k

（2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0

?
?

如：函数y?2sin
?
?
2x?< br>?
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的
图象？
?
4
?
?

（y?2sin
?
2x ?
?
?
?
?
?
?
1
?
?
?
横坐标伸长到原来的2倍
?1???????????y?2sin2
?
x
?
?
?
?1

?
?
?
4
?
?
2
?
4
?

?
???
1个单位
4
?2sin
?
x?
?
?1?? ??????y?2sinx?1?
上平移
???????y?2sinx

??
4
左平移个单位
1
2
?y?sinx）

??????????
纵坐标缩短到原来的倍
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin??cos??sec ??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan
2222
?

4
?sin
?
?cos0?……称为1的代换。

2

“k·
?
??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变， 符号看象限”，
“奇”、“偶”
2
指k取奇、偶数。
7?
?

如：cos
9?
?tan
?
?
?
?
?sin
?
21?
?
?
?
6
?
4


D. 正值

又如：函数y?
A. 正值或负值
sin??tan?
，则y的值为
cos??cot?
B. 负值 C. 非负值
sin?
2
sin?
?
cos??1
?
c os?
?

（y??0，∵??0）

cos?
co s
2
?
?
sin??1
?
cos??
sin?sin??
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
??sin2??2sin?cos?

sin?
???
?
?sin?cos??cos?sin????
令???cos
?
???
?
?cos?cos??sin?sin??????c os2??cos
2
??sin
2
?

令???
t an
?
???
?
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
2
sin??
2
cos
2
??
ta n2??

2tan?

1?tan
2
?



asin??bcos??

sin??cos? ?
a
2
?b
2
sin
?
???
?
，tan??
?
?
?

4
?
b

a
?
2sin
?
??
?

sin??
?
3cos??2sin
?
??
?
?< br>?
?

3
?
应用以上公式对三角函数式化简。（化简 要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含
三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
?
??
?
?

（1）角的变换：如??
?
???
?
??，
???
?
?
?
??
?
?
?
??
?
……

??
22
??
2
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 < br>sin?cos?2
?1，tan
?
???
?
??，求tan
?
??2?
?
的值。

1?cos2?3
sin?cos?cos?1

（由已知得：

??1，∴tan??
2sin?2
2sin
2
?

如：已知

又tan
?
???
?
?
2

3
21
?
tan????tan?
??
1

∴tan
?
??2?
?
?tan
?
?
?? ?
?
??
?
??
32
?）

1?tan< br>?
???
?
·tan?
1?
2
·
1
8
32
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b
2
?c
2
?a
2

余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc
222
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
?
a?2RsinA
abc
?

正弦定理：???2R?
?
b?2RsinB

sinAsinBsinC
?
c?2RsinC
?

S
?
?
1
a·bsinC

2

∵A?B?C??，∴A?B???C


∴sin
?
A?B
?
?sinC，sin

如?ABC中，2sin

（1）求角C；

2
A?BC
?cos

22
A?B
?cos2C?1

2

c
2
，求cos2A?cos2B的值。

（2）若a?b?
2
22

（（1）由已知式得：1?cos
?
A?B
?
?2cos
2
C?1?1


又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0

2
1
或cosC??1（舍）

2
?

又0?C??，∴C?

3

∴cosC?

（2）由正弦定理及a
2
?b
2
?
222
1
2
c得：

2
2

2sinA?2sinB?sinC?sin

1?cos2A?1?cos2B?

∴cos2A?cos2B??
?3
?

34
3

4
3
）

4
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
??

反正弦：arcsinx?< br>?
?，
?
，x?
?
?1，1
?

?
2
?
?
2
?

反余弦：arccosx?0，?，x??1，1

??
?

反正切：arctanx?
?
?
?，
?
，
?
x?R
?

?
22
?
????
34. 不等式的性质有哪些？

（1）a?b，
c?0?ac?bc

c?0?ac?bc

（2）a?b，c?d?a?c?b?d


（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd


（4）a?b?0?
1111
?，a?b?0??

abab
n
nn

（5）a?b?0?a?b，
n
a?b


（6）| x|?a
?
a?0
?
??a?x?a，|x|?a?x??a或x?a


如：若
2
11
??0，则下列结论不正确的是（
ab
2
）


A.a??b
2

C.|a|?|b|?|a?b|
答案：C
35. 利用均值不等式：
D.
ab
??2

ba
a?b
?

a?b?2aba，b?R；a?b?2ab ；ab?
?
??
求最值时，你是否注

?
2
?22
?
?
?
2
意到“a，b?R
?
”且“等号 成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定
值？（一正、
二定、三相等）
注意如下结论：
2

a?b
2
a
2
?
?b
2
?ab?
2ab
a?b
?
a， b?R
?
?


当且仅当a?b时等号成立。


a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc ?ca
?
a，b?R
?


当且仅当a?b?c时取等号。


a?b?0，m?0，n?0，则


b
a
?
b?ma?na
a?m
?1?
b?n
?
b


如：若x?0，2?3x?
4
x
的最大值为

（设y?2?
?
?
3x?
4
?
?
x
?
?
?2?212?2?43


当且仅当3x?
4< br>x
，又x?0，∴x?
23
3
时，y
max
?2?4 3）


又如：x?2y?1，则2
x
?4
y
的最小值为


（∵2
x
?2
2y
?22
x?2y
?22
1
，∴最小值为22）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。

如：证明1?
1
2
2
?
1
3
2
? …?
1
n
2
?2

（1?
111111
??……??1???……?

1?22?3< br>2
2
3
2
n
2
?
n?1
?
n
?1?1?

11111
???……??
223n?1n< br>1
?2??2）
n


37.解分式不等式
f(x )
?a
?
a?0
?
的一般步骤是什么？

g(x)
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始


如：
?
x?1
??
x?1
??
x ?2
?
?0

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1

23
1
?

（解集为
?
x|x?
??
）

2
??

41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题


如：设f(x)?x
2
?x?13，实数a满足|x?a|?1


求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

证明：
|f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a?a?13)|

22
?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)

?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|

?|x|?|a|?1

又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1

∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2
?
|a|?1
?

（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值


a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值


例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是

（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和


u
min
?3?
?
?2
?
?5，∴5?a，即a?5

或者：x?3?x?2?
?
x?3
?
??
x?2
?
?5，∴a?5）

43. 等差数列的定义与性质

定义：a
n?1
?a
n
?d(d为常数)，a
n
?a
1
?
?
n?1
?d


等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y



前n项和S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?
n?1
?
2
d


性质：
?
a
n
?
是等差数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；


（2）数列
?
a
2n?1
?
，
?
a
2n
?
，
?
ka
n
?b
?
仍为等差数列；


S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
…… 仍为等差数列；


（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；


（4） 若a
n
，b
n
是等差数列S
n
，T
n
为前 n项和，则
a
m
S
2m?1
?；

b
m
T
2m?1

（5）
?
an
?
为等差数列?S
n
?an
2
?bn（a，b为常数 ，是关于n的常数项为
0的二
次函数）

S
n
的最值可求二次函数S
n
?an
2
?bn的最值；或者 求出
?
a
n
?
中的正、负分界
项，即：
?
a?0

当a
1
?0，d?0，解不等式组
?
n
可得S
n
达到最大值时的n值。

a?0
?
n?1
a
n
?0

当a< br>1
?0，d?0，由
?
可得S
n
达到最小值时的n值。

?
?
a
n?1
?0

如：等差数列?
a
n
?
，S
n
?18，a
n
?a< br>n?1
?a
n?2
?3，S
3
?1，则n?

（由a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n?1
?3，∴a
n?1
?1


又S
3
?

?
a
1
?a
3
?
·3?3a
2
2
?1，∴a
2
?
1

3
?
1
?
?
?1
?
n
a?ana ?a·n
?
3
?
??
1n
?
2n?1
?< br>???18

∴S
n
?
222

?n?27）

44. 等比数列的定义与性质

定义 ：
a
n?1
?q（q为常数，q?0），a
n
?a
1
q
n?1

a
n

等比中项：x、G、y成等比数列?G
2
?xy，或G??xy

?
na
1
(q?1)
n

前n项和：S?
?
（要注意!）

?
a
1
1?q
n
(q?1)
?
1?q
?
??

性质：
?
a
n
?
是等比数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
·a
n
?a
p
·a
q


（2）S
n
，S
2n
?S< br>n
，S
3n
?S
2n
……仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么？

< br>（n?1时，a
1
?S
1
，n?2时，a
n
?Sn
?S
n?1
）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法

111

如：
?
a
n
?
满足a1
?
2
a
2
?……?
n
a
n
?2n?5
2
22
解：
n?1时，
?1?

1
a
1
?2?1?5，∴a
1
?14

2
?2?

111

n?2时，a
1
?
2
a
2
?……?
n?1
a
n?1
?2 n?1?5
2
22

?1???2?得：

∴a
n
?2
n?1
1
a
n
?2

2
n

?
14(n?1)

∴a
n
?
?
n?1

(n?2)
?
2
［练习］

数列
?
a
n
?
满足S
n
?S
n?1
?

（注意到a
n?1
5
a
n?1
，a
1
?4 ，求a
n

3
S
?S
n?1
?S
n
代入得：
n?1
?4

S
n

又S
1
?4，∴
?
S
n
?
是等比数列，S
n
?4
n


n?2时，a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
n?1

（2）叠乘法

例如：数列
?
a
n
?
中，a
1< br>?3，
解：
a
n?1
n
?，求a
n

a
n
n?1
a
2
aaa
12n?11
·< br>3
……
n
?·……，∴
n
?

a
1
a
2
a
n?1
23na
1
n

又a
1
?3，∴a
n
?
3

n
（3）等差型递推公式

由a
n
?a
n?1
?f( n)，a
1
?a
0
，求a
n
，用迭加法

n?2时，a
2
?a
1
?f(2)
?
?
a
3
?a
2
?f(3)
?

?
两边相加，得 ：
…………
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?

a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)


∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］

数列
?
a
n
?
，a
1
?1，a
n
?3
n?1
?an?1
?
n?2
?
，求a
n


（a
n
?
1
n
3?1）

2
??
（4）等比型递推公式

a
n?ca
n?1
?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0

< br>可转化为等比数列，设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?


?a
n
?ca
n?1
??
c?1
?
x


令(c?1)x?d，∴x?
??
d

c?1
d
?
d

∴
?
，c为公比的等比数列

?
a
n
?< br>?
是首项为a
1
?
c?1c?1
??

∴a
n
?
dd
??
n?1
?
?
a
1
?
?
·c

c?1
?
c?1
?
?
?
d
?
n?1
d

?
c?
c?1
?
c?1

∴a
n
?
?
a
1
?
［练习］

数列
?
a
n
?
满足a
1
?9，3a
n?1
?a
n
?4，求a
n

4
?

（a
n
?8
?
?
?
?
?
3
?
（5）倒数法
n?1
?1）


例如 ：a
1
?1，a
n?1
?
2a
n
，求a
n

a
n
?2
2a
n

由已知得：< br>1
?
a
n
?2
?
1
?
1

a
n?1
2a
n

∴
1
a
n?1
?
11
?

a
n
2
1
?
11

?
?
??
为等差数列，?1，公差为

?
a
n
?
a
1
2

?111
?1?
?
n?1
?
·?
?
n?1
?

a
n
22

∴a
n
?
2

n?1
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
如：
?
a
n
?
是公差为d的等差数列，求
?
1

aa
k?1
kk?1
n
解：
由
n
111
?
11
?
??
?
?
?
?
d?0
?

a
k
·a
k?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n
11
?
11
?

∴
?
?
?
?
?
?

aadaa< br>?
k?1
kk?1
k?1
kk?1
?

?
11
?
?
11
??
11
?
1< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?……?
?
?
?
?
d
?
?
a
1
a
2
??
a
2
a
3
??< br>a
n
a
n?1
?
?
?
1
?
11
?
?
?
?
d
?
a
1
a
n?1
?

［练习］

求和：1?
111

??……?
1?21?2?3
1?2?3?……?n

（a
n
?……?……，S
n
?2?
（2）错位相减法：
1
）

n?1

若
?
a
n
?
为等差数列，
?
b
n
?
为 等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?
（差比数列）前n 项

和，可由S
n
?qS
n
求S
n
，其中 q为
?
b
n
?
的公比。


如：S
n
?1?2x?3x?4x?……?nx
23n?1
?1?

?2?

234n?1
?nx
n

x·S
n
?x?2x?3x?4x?……?
?
n?1
?
x
2n?1
?nx
n

?1???2?：
?
1?x
?
S
n
?1?x?x?……?x

x?1时， S
n
1?x
?
nx
?
??
n
n
?
1?x
?
2
1?x


x?1时，S
n
?1?2?3?……?n?
n
?
n?1
?
2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S
n
?a
1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?
?
相加

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a2
?a
1
?
?

2S
n
??
a
1
?a
n
?
?
?
a
2< br>?a
n?1
?
?……?
?
a
1
?a
n
?
……

［练习］
x
2
?
1
??
1
??
1
?
，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f( 4)?f

已知f(x)?
??????
?
?
2??
3
??
4
?
1?x
2
?
1
?
??
?
x
?
2

1
?
x

（由f(x)?f
?
?
? ?
?
?
x
?
1?x
2
2
x
21
???1

222
1?x1?x
?
1
?1?
??
?
x
?
1
?
??
?
1
?
??
?
1
?
?

∴原式?f (1)?
?
f(2)?f
?
?f(3)?f?f(4)?f
???? ??
????
?
2
?
?
?
3
?
?
?
4
?
??????

?
11
?1?1?1?3）

22
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

S
n
? p
?
1?r
?
?p
?
1?2r
?
?……? p
?
1?nr
?
?p
?
n?
?
?
n
?
n?1
?
?
r
?
……等差问题

2
?
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款— —分期等额归
还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方 式，从借款日算起，一期（如一年）
后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按 复利），那么每期应还x
元，满足

p(1?r)?x
?
1 ?r
?
n
n?1
?x
?
1?r
?
n?2< br>?……?x
?
1?r
?
?x

n
?
1?
?
1?r
?
n
?
1?r
?
?1
?

?x
?

?
?x
r
?
?
1?
?
1?r
?
?
?

∴x?
pr
?
1?r
?
n
?
1?r
?
n
?1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分 类计数原理：N?m
1
?m
2
?……?m
n


（m
i
为各类办法中的方法数）


分步计数原理：N?m
1
·m
2
……m
n


（m
i
为各步骤中的方法数）

（2）排 列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
m
n
.

< br>A
n
?n
?
n?1
??
n?2
?
… …
?
n?m?1
?
?
m
n!
?
m?n?

n?m!
??

规定：0!?1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元 素的一个组合，所有组合个数记为C
m
n
.

n
?
n?1
?
……
?
n?m?1
?
A
m
n!< br>
C?
n

??
m
m!m!
?
n?m
?
!
A
m
m
n

规定：C
0

n
?1

（4）组合数性质：


C
n
?C
n
mn?mm?101nn
，C
m
?C
m
n
?C
n n?1
，C
n
?C
n
?……?C
n
?2

50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定 位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问
题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐 一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
x
i< br>?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x
1
?x
2
?x
3
?x
4
，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
??
解析：可分成两类：

（1）中间两个分数不相等，

有C
5
?5（种）

4

（2）中间两个分数相等

x
1
?x
2
?x
3
?x
4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理

(a?b)? C
n
a?C
n
a
n0n1n?1n?22n?rrn
b?C
2
b?…?C
r
b?…?C
n
n
a
na
n
b

rn?r

二项展开式的通项公式：T
r?1
?C
n
ab
r
(r?0，1……n)


C
r
n
为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：
n?r

（1）对称性：C
r
r?0，1，2，……，n

n
?C
n
??
1nn

（2）系数和：C< br>0
n
?C
n
?…?C
n
?2


C
n
?C
n
?C
n
?…?C
n
? C
n
?C
n
?…?2
135024n?1

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?
n
?
2
；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式

?
?1< br>?
项，二项式系数为C
n
?
2
?
n?1n?1
系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为C
n
2
?C
n
2
22
n?1n?1
n

如：在二项式
?
x?1
?
11
的展开式中，系数最小的项系数为

（∵n＝11


∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第
（用数字
表示）
12
?6或第7项

2
r

由C
1 1
x
11?r
(?1)
r
，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：


?C
11
??C
11
??426


又如：
?
1?2x
?
2004
65
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?……?a
2004
x
2004
?
x?R
?
，则

?
a
0
?a
1
?
?
?
a
0
?a
2
?
?
?
a
0
?a
3?
?……?
?
a
0
?a
2004
?
? （用数字作答）


（令x?0，得：a
0
?1


令x?1，得：a
0
?a
2
?……?a
2 004
?1


∴原式?2003a
0
?
?
a
0
?a
1
?……?a
2004
?
?20 03?1?1?2004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0


（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。



A B




（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
（并）。


（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。


（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B??


（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

A?A??，A?A??

的和

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立
事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)?
A包含的等可能结果m
?

一次试验的等可能结果的总数
n

（2）若A、B互斥，则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)


（3）若A、 B相互独立，则PA·B?P
?
A
?
·P
?
B
?< br>

（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
k
k次的 概率：P
n
(k)?C
k
n
p
?
1?p
?
n?k
??

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
?
C
2
2
?
4
?
?
< br>?
P
1
?
2
C
10
15
??
（2）从中任取5件恰有2件次品；
3
?
C
2
10?
4
C
6
?
?

?
P
2
?
5
21
?
C
10
?
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10
3

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴m?C
3
·46?4

23
C
2
44
3
·4·6?4

∴P
3
?

?
3
125
10
2213

（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）

∴n?A
10
，m?C
4
A
5
A
6

23
C
2
10
4
A
5
A
6< br>
∴P
4
?

?
5
21
A
10
5223
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，
它的特征是从总体中 逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成
若干部分，每部分只取一个；分层 抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明
显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概 率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的 概率，用样本的期望（平均值）和方
差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差
?
x
m ax
?x
min
?
；

（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。

其中，频率?小长方形的面积?组距×

样本平均值：x?

样本方差：S
2
?
频率

组距
1
x
1
?x
2
?……?x
n

n
??
1
?
x
1
?x
?
2
?
?
x
2
?x
?
2
?……?
?
x
n
?x
?
2

n
??
如：从1 0名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组
成此参赛队的概率为___ _________。
42
C
10
C
5

（）

6
C
15
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|


（3）单位向量|a
0
|?1，a
0
?
a

?
??
?
?
|a|

（4）零向量0，|0|?0

长度相等

（5）相等的向量?
?
a?b

?
??
??
?
方向相同
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a

（7）向量的加、减法如图：
??????

???

OA?OB?OC

???

OA?OB?BA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e
1
，e
2
是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

? ??
实数对?
1
、?
2
，使得a??
1
e
1
??
2
e
2
，e
1
、e
2
叫做 表示这一平面内所有向量

的一组基底。
（9）向量的坐标表示
?????

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

?
? ?
a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a?
?
x，y
?< br>，即为向量的坐标

????
表示。

设a?x1
，y
1
，b?x
2
，y
2


则a?b?x
1
，y
1
?y
1
，y
2?x
1
?y
1
，x
2
?y
2


?a??x
1
，y
1
??x
1
，?y
1


若Ax
1
，y
1
，Bx
2
，y
2

?
??
?
??
?
??
?????
?
?
???
????
?

则AB?
?
x2
?x
1
，y
2
?y
1
?

?

|AB|?
?
x
2
?x
1?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2< br>，A、B两点间距离公式

?????
57. 平面向量的数量积

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。


?为向量a与b的夹角，??0，?


B
??
?
??
?

b

O
?

?
a

D A

数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。

（2）数量积的运算法则

①a·b?b·a

????
?????

②(a?b)c?a·c?b·c


③a·b?x
1
，y
1
·x
2
，y
2
?x
1
x
2
?y
1
y
2


注意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)


（3 ）重要性质：设a?
?
x
1
，y
1
?
，b?
?
x
2
，y
2
?


①a⊥b? a·b?0?x
1
·x
2
?y
1
·y
2
? 0


②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|


?a??b（b?0，?惟一确定）


?x1
y
2
?x
2
y
1
?0


③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|

?
?
2?
22
1
2
1
????
???
??
? ??????
??
????
??????
????
???????? ??

④cos??
［练习］
a·b
?
?
|a|·|b|
?
?
x
1
x
2
?y
1y
2
x?y·x?y
2
1
2
1
2
2< br>2
2

?
?
?
?
?
?

（1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则

|a?b?c|?
答案：
22

???


（2）若向量a?
?
x，1
?
，b?
?
4，x?
，当x?
答案：2
??
时a与b共线且方向相同

??

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60
o
，那么|a?3b|?
答案：
13

58. 线段的定比分点
????


设P
1
?
x
1
，y
1
?
，P2
?
x
2
，y
2
?
，分点P
?
x，y
?
，设P
1
、P
2
是直线l上两点，P点在

??
l上且不同于P
1
、P
2
，若存在一实数?，使P
1
P??PP
2
，则?叫做P分有向线段

?
P< br>1
P
2
所成的比（??0，P在线段P
1
P
2
内，??0，P在P
1
P
2
外），且

x
1
??x
2
x
1
?x
2
??
x?
x?
?
?
??
1??
2
，P为 P
1
P
2
中点时，
?

?

?
y?
y
1
??y
2
?
y?
y
1
?y
2
?
?
1??2
?
?
如：?ABC，A
?
x
1
，y
1
?
，B
?
x
2
，y
2
?
，C
?
x
3< br>，y
3
?

x
1
?x
2
?x
3
y?y
2
?y
3
?

则?ABC重心G的坐标是
?
，
1
??

??
33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面
性质

?
判定
???线⊥线???线⊥面???面⊥面????

线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a

b
??

线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则


a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO







线面垂直：
P
??
O
a


a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a


O
α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?


面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?


α a


l


β


a⊥面?，b⊥面??a∥b


面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b



??

60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

?＝0时，b∥?或b??

o

（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0
o
???180
o



（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO ，则AO⊥棱
l
，
∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：cos??cos?·cos?

A



θ
O
β


B
????????????????????????C?
D
α


（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的
为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B


（①arcsin
36
；②60
o
；③arcsin）

43
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝A D，求面PAB与
面PCD所成的锐二面角的大小。
P F



D C


A E B

（∵A B∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB
的交线…… ）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离， 构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，
或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；

（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
（3）直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC< br>1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
D C

A B




D
1
C
1


A
1
B
1


62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素？

S
正棱锥侧
1
?C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

2

V
锥
?
1
底面积×高

3
63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R
2
?d
2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。


（4）S
球
?4?R，V
球
?
2
4
?R< br>3

3
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半 径R与内切球半径r之
比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面
积为（ ）

A.3?
答案：A
64. 熟记下列公式了吗？
< br>（1）l直线的倾斜角??
?
0，?
?
，k?tan??
B. 4?C.33?D.6?

y
2
?y
1
?
?
?
?
??，x
1
?x
2
?

?
x
2
?x
1
?
2
?
< br>P
1
?
x
1
，y
1
?
，P
2
?
x
2
，y
2
?
是l上两点，直线l的方向向量 a?
?
1，k
?

（2）直线方程：
< br>点斜式：y?y
0
?k
?
x?x
0
?
（k存 在）


斜截式：y?kx?b


截距式：
x
?
y
?1

ab

一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）


（3）点P< br>?
x
0
，y
0
?
到直线l：Ax?By?C?0的距 离d?

（4）l
1
到l
2
的到角公式：tan??

l
1
与l
2
的夹角公式：tan??
Ax
0
?B y
0
?C
A?B
22

k
2
?k
1

1?k
1
k
2
k
2
?k
1

1?k
1
k
2
65. 如何判断两直线平行、垂直？

A
1
B
2
?A
2
B
1
?
?
?l
1
∥l
2

A
1
C
2
?A
2
C
1
?

k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
（反之 不一定成立）


A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2


k
1
·k
2
??1?l
1
⊥l
2

66. 怎样判断直线
l
与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组?关于x（或y ）的一元二次方程?“?”
??0?相交；??0?相切；??0?相离

68. 分清圆锥曲线的定义
?
椭圆?PF
1
?PF
2
?2a，2 a?2c?F
1
F
2
?

第一定义
?

?
双曲线?PF
1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1
F
2
?
?
?
抛 物线?PF?PK

第二定义：e?
PF
?
c

PKa

0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

y


b

O
F
1
F
2
a x


a
2
x?

c

x
2
y
2

2
?
2
?1
?
a?b?0
?

ab

a?b?c
?
222
?

x
2
y
2

2
?
2
?1
?
a?0，b?0
?

ab

c
2
?a
2
?b
2

??


e>1 e=1

P
0
F
k



x
2
y
2
x
2
y
2

69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2?
2
??
?
??0
?

abab
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？
△≥0的限 制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式 P
1
P
2
?
?
1?k
?
?
?x
2
1
2
?x
2
?
?4x
1
x
2

?
1
?
2

?
?
?
1?
2
?
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

?
k
?
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
??

y
P(x
0
,y
0
)

K


F
1
O F
2
x


l


x
2
y
2

2
?
2
?1

ab
?
a
2
?

?e，PF
2?e
?
x
0
?
?
?ex
0
?a

PKc
??

PF
1
?ex
0
?a

y
A P
2



O F x

P
1
B

2

y?2px
?
p?0
?

PF
2

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx
2
?ny2
?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为
2m
，则的值为
2n

答案：
m2
?

n2
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线
C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（由a?< br>x?x'
，b?
y?y'
?x'?2a?x，y'?2b?y）

22

只要证明A'
?
2a?x， 2b?y
?
也在曲线C上，即f(x')?y'

?
AA'⊥l

（2）点A、A'关于直线l对称?
?

?
AA'中点在l上
?
k·k
l
??1

?
?
AA'

?
AA'中点坐标满足l方程
?x?rcos?
74.圆x
2
?y
2
?r
2
的 参数方程为
?
（?为参数）

y?rsin?
?
22
?
x?acos?
xy

椭圆
2
?
2
?1的参数方程为
?
（?为参数）
ab
?
y?bsin?
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。