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高中数学排列组合中的分组分配问题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 13:35
tags:高中数学 排列组合

青岛三十九中学高中数学竞赛-高中数学必修二立体几何知识框架

2020年9月22日发(作者:阮逸女)


排列组合中的分组分配问题


分组分配问题是排列组合教学中的一个 重点和难点。某些排列组
合问题看似非分配问题,实际上可运用分配问题的方法来解决。下面
就 排列组合中的分组分配问题,谈谈自己在教学中的体会和做法。一、
提出分组与分配问题,澄清模糊概念

n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对 象,称为分配问
题,分定向分配和不定向分配两种问题;将n个不同元素按照某些条
件分成k组 ,称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和
部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是 有区别的,前者组与
组之间只要元素个数相同是不区分的;而后者即使2组元素个数相
同,但因 对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。


二、基本的分组问题

例1 六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不
同的分配方法

(1)每组两本.

(2)一组一本,一组二本,一组三本.

(3)一组四本,另外两组各一本.


分析:(1)分组与顺序无关, 是组合问题。分组数是
222
C
6
C
4
C
2
=90(种) ,这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本
不同的书写上1、2、3、4、5 、6六个号码,考察以下两种分法:(1,
2)(3,4)(5,6)与(3,4)(1,2)(5,6 ),由于书是均匀分组的,三组
的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以
4
C
2
组数的全排列数
A
,所以分法是
C
6
C
3
=15 (种)。(2)先分组,方法
A
3
222
3
3
23

C
1
那么还要不要除以
A
3
由于每组的书的本数是不6
C
5
C
3

3
我们发现,
23一样的,因此不会出现相同的分法,即共有
C
1
6
C
5
C
3
=60(种) 分法。

11
(3)分组方法是
C4
6
C
2
C
1
=30(种) ,那么其中有没有重复的 分法呢
我们发现,其中两组的书的本数都是一本,因此这两组有了顺序,而
与四本书的那一组, 由于书的本数不一样,不可能重复。所以实际分
法是
C
6
C
2
2
C
1
=15(种)。

A
2

411
通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法。


结论1: 一般地,n个不同的元素分成p组,各组内元素数目分
别为m
1
,m
2
,…,m
p
,其中k组内元素数目相等,那么分组方法数
是< br>CC
m
1
n
m
2
n?m
1
C
m
3
n?m
1
?m
2
?
C
m
p
p
m
A
k
k



三、基本的分配的问题

(一)定向分配问题

例2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各
有多少种不同的分配方法

(1)
甲两本、乙两本、丙两本.

(2)
甲一本、乙两本、丙三本.

(3)
甲四本、乙一本、丙一本.

分析:由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的
222
定向分配问题 ,由分布计数原理不难解出:分别有
C
6
C
4
C
2
=90(种),
C
6
C
5
C
3
=60(种),
C
6
C
2
C
1
=30(种)。

123
411
(二)不定向分配问题

例3六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有
多少种不同的分配方法

(1)
每人两本.

(2) 一人一本、一人两本、一人三本.

(3) 一人四本、一人一本、一人一本.


分析:此组题属于分配中 的不定向分配问题,是该类题中比较困
难的问题。由于分配给三人,同一本书给不同的人是不同的分法, 所
以是排列问题。实际上可看作“分为三组,再将这三组分给甲、乙、
4
C
2
3
丙三人”,因此只要将分组方法数再乘以
A
,即
C
6C
3
A
3
=90(种),
A
3
222
3
3
C
6
C
2
C
1
3
=90( 种)。

CCC
A
=360(种)
A
3
2
A
2
1
6
2
5
3
3
3
3
411
结论2. 一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且
每个不同对象可接受 的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排
列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。< br>
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排
列。

例4 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有
多少种分法

分析:六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”,即书要分完,人
不能空手。因此,考虑先分组,后排列。 先分组,六本书怎么分为三
组呢有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各
一本,另一组四本。所以根据加法原理,分组法是
C
6
C
4
C
2
C
6
C
2
C
1
3
123++=90(种)。再考虑排列,即再乘以
CCC
A
653
3
。 所以一
3
2
A
3
A
2
222
411
共有540种不同的分法。


四、分配问题的变形问题

例5 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰
有一个空盒的放法有多少种
分析:恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2。
实际上可转化为先将四个不同的 小球分为三组,两组各1个,另一组
C
2
(种),然后将这三组(即三个不同元素)分 配2个,分组方法有
C
4
C
3
2
A
2
11 2
给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题,即共有
C
4
C
3< br>C
2
3
=144(种)。

A
4
2
A
2
112
例6有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承
担 ,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有多少种

分析:先考虑分组,即10人中 选4人分为三组,其中两组各一
人,另一组二人,共有
C
10
C
2< br>9
C
8
(种)分法。再考虑排列,甲任务需2
A
2
人 承担,因此2人的那个组只能承担甲任务,而一个人的两组既可
承担乙任务又可承担丙任务,所以共有< br>C
10
C
2
9
C
8
A
2
2
=2520(种)不同的
A
2
选法。


112< br>112
例7设集合A={1,2,3,4},B={6,7,8},A为定义域,B为
值 域,则从集合A到集合B的不同的函数有多少个


分析:由于集合A为定义域, B为值域,即集合A、B中的每个
元素都有“归宿”,而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的< br>数目不限,所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组,
集合A中4个元素分为三组, 各组的元素数目分别为1、1、2,则共
C
2
(种)分组方法。再考虑分配,即排列, 再乘以
3
,所以共有
C
4
C
3
A
3
2
A
2
C
2
3
=36(个)不同的函数。

C
4
C
3
A
3
2
A
2
112
112
掌握上述两个结论,就能顺利解决任何分配问题。学会了分配问< br>题,还能将一些其他的排列组合问题转化为分配问题来解决。

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