2010年安徽省高中数学竞赛试题及详解答案

2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
(考试时间:2010年9月4日9：00—11：30)
二
题号 一 总分
9 10 11 12
得分
评卷人
复核人
[来源:Z&xx&]
[来源:Z+xx+][来源:学_科_网Z_X_X_K]


注意：
1.本试卷共12小题，满分150分；
2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答；
3.书写不要超过装订线；
4.不能使用计算器.

一、填空题（每小题8分，共64分）
1.函数
f(x)?2x?4x?x
2
的值域是_____________________ _____.
2.函数
y?
_____________________的图象与
y?e
x
的图象关于直线
x?y?1
对称.
3.正八面体 的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________.
x
2
y
2
??1
与双曲线
xy?1
相切，则t?
__________________________. 4.设椭圆
t?1t? 1
5.设
z
是复数，则
|z?1|?|z?i|?|z?1|
的最小 值等于__________________________.
6.设
a
，b
，
c
是实数，若方程
x?ax?bx?c?0
的三个根构成公 差为1的等差数列，
则
a
，
b
，
c
应满足的充分必 要条件是__________________________.
7.设
O
是< br>?ABC
的内心，
AB?5
，
AC?6
，
BC?7< br>，
OP?xOA?yOB?zOC
，
32
0?x,y,z?1
，动点
P
的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于______________________ __.
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是____________ ______.

二、解答题（共86分）
9.（20分）设数列
?a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n
?




1

2
，
n?2
.求
a
n
的通项公式.
1?a
n?1

10.（22分）求最小正整数< br>n
使得
n?n?24
可被2010整除.










11.（22分）已知< br>?ABC
的三边长度各不相等，
D
，
E
，
F
分别是
?A
，
?B
，
?C
的平
分线与边
B C
，
CA
，
AB
的垂直平分线的交点.求证：
?ABC的面积小于
?DEF
的面积.











12.（22分）桌上放有
n
根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多
n?1
根火柴，此 后每人每次至少取走
1
根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最
后一 根火柴者获胜.问：当
n?100
时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.

2







2

2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
参考答案及评分标准
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.答案：
?
4?25,8
?
.
??
提示：因< br>0?x?4
，设
x?2?2
?
co
（
0?
?
?
?
），则
y?4c
?
o?s
?
2?si ?n
?
4
（其中
?
s
，
?
2?5
cos
?c
?
o(
sin
?
?
)
2
5
1
，
4
?
为锐
5
?
角），所以当?
?0
时，
y
max
?8
，当
?
?< br>?
?
?
时，
y
min
?4?25
，故
y?
?
4?25,8
?
.
?
2. 答案：
1?ln(1?x)

提示：因两函数图象关于直线
x?y?1
对称，所以
x?y?1
，
y?1?x
，∴
1?x?e
1? y
，解得
y?1?ln(1?x)
.
3. 答案：
?
1

3
提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成， 所以
任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面
角
?
的两倍. ∵
tan
?
?2
，∴
cos
?
?
2
11
?
，则
1?tan
2
?
3
1
cos 2
?
?2cos
2
?
?1??
.
3
4. 答案：
5

?
x
2
y
2
?
x?t ?1cos
?
??1
知，
t?1
，设其参数方程为
?
提示：由椭圆方程（
?
为
t?1t?1
?
?
y?t?1s in
?
参数）代入双曲线方程
xy?1
，得
sin2
??
2
t?1
2
.
因两曲线相切，∴
2
t?1
2
?1
，故
t?5
.
5. 答案：
1?3

提示：在复平面上，设
A(?1,0)
，
B (1,0)
，
C(0,1)
，则当
Z
为
?ABC
的 费马点时，
3

|z?1|?|z?i|?|z?1|
取得 最小值，最小值为
1?
32323
???1?3
.
333
a
2
a
3
a
?
.
?1
且
c?
6. 答案：
b?
273
3
提 示：设三个根为
?
?1
，
?
，
?
?1
，则
x
3
?ax
2
?bx?c?(x?
?
?1)(x?
?
)(x?
?
?1)
，
右边展开与左边比较得
? a?3
?
，
b?(
?
?1)
?
?
?
(
?
?1)?(
?
?1)(
?
?1)?3
?2
?1
，
?
a
2
b??1
?
?
3
?c?(
?
?1)
?
(
?
?1)
，消 去
?
得
?
，这就是所求
3
?
c?
a
?
a
?
273
?
的充要条件.
7. 答案：
126

提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点
P
在图
中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点
P
的轨迹所覆
盖的平面区域的面 积等于等于
?ABC
面积的2倍，即
126
.

8. 答案：
6

7
3
提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有< br>C
8
个三角形，其中直角三角形有
3
12?C
4
6< br>.
?
3
C
8
7
12?C
3
4个，所求“构成直角三角形”的概率是

二、解答题（共86分）
9. 解：特征根法. 又
a
n
?2?
4?2a
n?1
1?an?1
，
a
n
?1?
，????（10分）
1?a
n?1
1?a
n?1
?(?2)
n
， 得< br>a
n
?2a?2a?2
?(?2)?
n?1
?(?2)
2
n?2
?
a
n
?1a
n?1
?1a
n ?2
?1
(?2)
n
?2
于是
a
n
?.??????（20分）
(?2)
n
?1
4