2016年上海市高中数学竞赛试题及答案

2016年上海市高中数学竞赛试
题及答案

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题
7分，后4小题每小题8分）
1.已 知函数
f
?
x
?
?ax
1
2
?bx?c< br>（
a?0
，
a,b,c
均为常数），函
数
f
?
x
?
的图象与函数
f
?
x
?
的图象关于
y
轴对称，函
数
f
?
x
?
的图象与函数< br>f
?
x
?
的图象关于直线
y?1
对
2
1
称，则函数
f
?
x
?
的解析式为 ．
2
答案：
f
?
x
?
??ax
2
2
?bx?c?2.

解 在函数
y?f
?
x
?
的表达式中用
?x
代替
x
，得
f
1
?x
?
?ax
2
?bx?c
，在函数
y?f
?< br>x
?
的表达式中用
2?y
代替
1
2
y
，得
f
?
x
?
??ax
2
?bx?c?2.
2
2.复数
z
满足
z?1
，
w?3z
W
?
2
z
2
在复平面上对应的动点
所表示曲线的普通方程 是
y
2
x??1.
25
2
．
答案：
2
解 设
z?a?bi,w?x?yi
，则
a
x?yi?3
?
a?bi
?
?
2
?b
2
?1
，
2
2
2
2
?
a?bi
? ?
a?bi
??
a?bi
?
22
?3
?
a ?bi
?
?2
?
a?bi
?
?
?
a
2
?b
2
?
?10abi.
?3
?
a?bi?
?
2
2
?
a?bi
?
2

从而
x?a
2
?b,y?10ab
2
，于是
2
y< br>2
x??
?
a
2
?b
2
?
?4a< br>2
b
2
?1.
25
2

3. 关于
x
的方程
arctan2
x
?arctan2
?x?
?
6
的解
是 ．
答案：
x?log
2
3.

，所以
?
6
解 因为
arctan2
x
?arct an2
?x
?
tan
?
arctan2
x
?
?tan
?
arctan2
?x
?
?2
x
?2< br>?x
?1
?
2
，解得
arctan2
x
?< br>?
3
,arctan2
?x
?
，则
2
x?3,x?log
2
3.

4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六 个面
上的数字为
1,2,3,4,5,6
，则同时掷这四颗骰子使得四
颗骰子 向上的数的乘积等于
种可能．
答案：48．
解 四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：
（1）两个1，两个6，这种情形共
C
（2 ）两个2，两个3，这种情形共
C
种可能；
（4），
1,2,3,6
各一个，这种情形共
A
综上，共有
6?6?12?24?48
种可能． < br>5.已知函数
x
1
,x
2
?
?
0,1
?
f
?
x
?
?cos
?
?
x
?
,g
?
x
?
?2
x
a?
1
?a?0
?
2
4
4
2
4
2
4
3 6
，共有
?6
?6
种可能；
种可能；
2
4
1
2
（3）两个3，一个1，一个4，这种情形共
CC
?24
?12
种可能．
，若存在
，使
f
?
x< br>?
?g
?
x
?
成立，则实数
a
的取值范围< br>12

为 ．
1
??
3
?
?
答案；
?
?
2
,0
?
U?
0,
2
?
.

????
解 易知
x ?
?
0,1
?
时，
f
?
x
?
?< br>?
?1,1
?
.
只需求
a
的取值范围，
使得
g
?
x
?
能取到
?
?1,1
?
中 的值．
（1）当
a?0
时，
g
?
x
?
单 调递增，因为
g
?
x
?
??
1
，故只
2< br>需
g
?
0
?
?1
，解得
0?a?
3
.

2
（2）当
a?0
时，
g
?
x
?
单调递减，因为
g
?
x
?
??
1，故只
2
需
g
?
0
?
??1
，解得< br>?
1
?a?0.

2
6.如图，有16间小三角形的房间，甲 、乙两人
被随机地分别安置在不同的小三角形房间，那么
（用分数表示）．

他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是

答案：
17
.

20

解法一 如 图1，将小三角形房间分为三类：与
第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第
二类（绿色 ）房间相邻的房间恰有两间，与第三
类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足
条件的安置 方法共有
3?
?
16?2
?
?6?
?
16?3?
?7?
?
16?4
?
?204
20417
种 ．从而所求概率为
16
?.

?1520
解法二 我们从反面考虑问题，如图2，每一对
相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为
18?2317
1??1??.

16?152020
7.在空间，四个不共线的向量
．
答案：
?
?arccos
1
.

3
uuu ruuuruuuruuur
OA,OB,OC,OD
，它们两
两的夹角都是
?
，则
?
的大小是

解 如图，
ABCD
为正四面体，角
?
即为
?AOD
，设
E,M分别为
BC
和
AD
的中点，则
AE?DE,OA?OD
，则中心
O
在
上，从而
O
为△
ADE
的垂心，
EH11
sin?ODE?sin?EAH???cos?DOH?.

AE 33
EM
所以，
?
?
?
?arccos
1
.

3
8.已知
3
?
?0,b?0,a
3
?b
3
?1
，则
a?b
的取值范围
为 ．
答案：
?
1,4
?
?
．
解 注意到
0?ab?
?
a?b
?
4
2
，及
2
1?a
3
?b
3
?
?
a?b
?
?
a
2
?ab?b
2
?
?
?
a?b
?
?
?
a?b
?
?3ab
?
,
??
3
我们有
1
?
a?b
?
4
3
?1?
?
a?b
?
3
，所以
1?a?b?4.

二、解答题（本题满分60分，每小题15分）
9.如图，已知五边形
ABCDE< br>内接于边长为1的正
11111
五边形
ABCDE
．求证：五边形ABCDE
中至少有一条
11111
边的长度不小于
cos
?< br>.

5

证 设
EA,AA,A B,BB,BC,CC,CD,DD,DE,EE
的长分别为
1111111111
a
1
,a
2
,b
1
,b
2
,c
1< br>,
c
2
,d
1
,d
2
,e
1
,e
2
,
则
?
a
1
?a
2
?
?
?
b
1
?b
2
?
?
?
c
1
?c
2
?
?
?
d
1
?d2
?
?
?
e
1
?e
2
?
< br>?
?
a
1
?e
2
?
?
?
a
2
?b
1
?
?
?
b
2
?c
1
?
?
?
c
2
?d
1
?
??
d
2
?e
1
?
?5.
由平均数原理，
a?a,b?b,c?c,d?d,e?e
中必有一个
1212121212
大于< br>1
，不妨设
a?a
12
?1
，则
a
2
?1?a
1
?0.
此时
3
?
2
?
2< br>?a
1
2
?
?
1?a
1
?
?2a< br>1
?
1?a
1
?
cos
55
2
?< br>?
2
2
?
?
2
2
?
????
?2
?
1?cosa?21?cosa?21?cos
?
1
??< br>1
??
a
1
?1
555
??????
A1
E
1
2
?a
1
2
?a
2
2
?2a
1
a
2
cos
2
?
??
1
?
1
?
2
?
??
?2
?
1?co sa??1?cos
??
1
???
5
??
2
?2
?
5
??
1
?
2
?
?
2< br>?
?
?
1?cos?cos.
?
2
?
5?
5
2

所以，
AE?cos
?
.
命题得证．
5
1110.设
p,q
和
r
是素数，且
p|qr?1,q|rp?1, r|pq?1
，求
pqr
的
所有可能的值．
解 由题设可得
pqr|
?
qr?1
??
rp?1
??
pq?1
?
，因为
?
qr?1
??
rp?1
??
pq?1
?
?pqr?pqr
?
p?q?r
?
?pq?qr?rp? 1,

222

?rp?11111
????
所以，
pqr|pq?qr?rp?1.
于是
pq?qr
为正
pq rpqrpqr
整数．
111
3
???
记
k?
1
，注意到
p,q,r?2
，则
k?
从而
k?1.

pqrpqr
2
由对称性，不妨设
p?q?r.

11
???1
，矛盾，故
p?2.
若
p?3
，则
k?
1
pqr
2
若
q?3
，则
q?5，
k?
1
??1
，矛盾．
25
1
?
11
?
??
?
?
?
?1
，也矛盾．故
q? 3.
若
q?2
，则
k?
1
22r4r
??
111
最后，由
1?
1
???
，得
r?5.

23r6r
综上，
pqr?30.

11.已知数列
?a
?
满足递推关系
a
n
1
11
*
?? a?n?N
??
n?1n
23
n
n
，求
所有
a
的值，使
?
a
?
为单调数列，即
?
a
?
为递增数列
n
或递减数列．
解 由
11
a
n? 1
??a
n
?
n
23
得，
3
n?1
3a
n?1
??a
n
?3
2
n?1
，令
b
n
?3
n
a
n
，则
363
?
6
?
b
n?1
??b
n
?3?b
n?1
? ??
?
b
n
?
?
,
252
?
5< br>?

从而，
6
?
6
??
3
?
b
n
??
?
b
1
?
??
?
?< br>5
?
5
??
2
?
n?1
,
则

n?1
b
n
1
?
6
?< br>6
??
3
?
?
a
n
?
n
?
n
?
?
?
3a
1
?
??
?
?
?
33
?
5
??
2
?
?
?< br>5
?
?
2
?
1
?
?
??
5
?
3
?
2
??
1
??
?
?
a
1
?
??
?
?
5
??
2
??
n?1n?1n
2
?
?
?
1
??
1
?
?
2
?
2
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
a
1
?
??
?
?
?
?
T.
5
?
?
?< br>2
?
?
?
?
5
?
3
?
?< br>?
2
?
1
n?1n?1

2
?1
， 则当
n?1?log
若
a?
5
，注意到
?
2
3
2
a
1
?
5
?52?
a?
23
?
1
25
?
??
时，
T
与
n
同 号，但
?
1
?
?
?
?
?
2
?n?1
正负交替，从而
a
正负交替，
?
a
?
n
不为单调数列．
当
2
a
1
?
5
时，2
?
1
?
a
n
?
??
5
?< br>3
?
n?1
为递减数列．
n
2
综上，当且仅当a?
5
时，
?
a
?
为单调数列．
1
12.已知等边三角形
ABC
的边长为5，延长
BA
至点
P
，使得
AP?9
，
D
是线段
BC
上一点（包括端点）．直< br>线
AD
与△
BPC
的外接圆交于
E,F
两点，其中< br>EA?ED.

（1）设
BD?x
，试将
EA?DF
表示为关于
x
的函数
f
?
x
?
；
（2）求
f
?
x
?
的最小值．
解 （1）设u?EA,v?AD,w?DF
，则
f
?
x
?
?u?w .

在△
ABD
中，由余弦定理，得
v?5
2
? x
2
?2?5x?
1
?x
2
?5x?25.
2
在△
PBC
的外接圆中运用相交弦定理，得
u
?
v ?w
?
?5?9?45,
?
u?v
?
w?x
?5?x
?
.

两式相减，得
v
?
u?w
?
?x
2
?5x?45,
故

x
2
?5x?45x
2
?5x?45
f
?
x?
?u?w??
?
0?x?5
?
.
2
v
x?5x?25
（2）设
t?
f
?
x
?
?
x
2
?5x?25?0
，则

x
2
?5x?2 5?25,
x
2
?5x?45t
2
?202020
??t? ?2t??45.
2
ttt
x?5x?25
当且仅当
t?
2 0
时等号成立，此时
t?
t
得
x?
5?
2
5
.

解
所以，当
x?
5?
2
5
时，
f
?
x
?
取到最小值
45.