湖南省高中数学竞赛试题及答案

2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5 分，满分30分．每小题所提供的四
个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.设集合
S?
?
A
0
,A
1
,A
2
,A
3
?
，在
S
上定义运算“
?
”为：
A
i< br>?A
j
?A
k
，其中
k
为
i?j
被
4
除的余数，
i,j?0,1,2,3.
则满足关系
?
x? x
?
?A
2
?A
0
的
x
?
x?S
?
的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
答案：B．
提示： 因为
?
x?x
?
?A
2
?A
0
,
，设
x?x?A
k
，所以
A
k
?A
2
?a
0
,k?2,
即
x?x?A
2
，故
x?A
1
或
x?A
3
.

答案：A．
2.一个骰子由1 -6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得
“？”的数字是（）
A．6B．3C．1D．2
3.设函数
f
?
x
?
?2x?cosx,
?
a
n
?
是公差为的等差数列，
f?
a
1
?
?f
?
a
2
?
?L ?f
?
a
n
?
?5
?
,
则
??
f
?
a
3
?
?
?
?a
1< br>a
5
?
（）
A．
0
B．
1113
?
C．
?
D．
?
2

16816
2
?
8
答案：D．
提示：因为
?
a
n
?
是公差为的等差数列，且
即
2
?
a
1
?a
2
?L?a
5
?< br>?
?
cosa
1
?cosa
2
?L?cosa
5
?
?5
?
，所以
?
即
10a
3?
?
?
2cos?2cos?1
?
cosa
3
?5
?
.

48
??
?
2cos?2cos?1< br>记
g
?
x
?
?10x?
?
??
co sx?5
?
，则
48
??
?
8
??
??
??
??
g
?
?
x
?
?10?
?
2cos?2cos?1
?
sinx?0
，
48
??

即
g
?
x
?
在
R
为增函数，有 唯一零点
x?
，所以
a
3
?.

22
?< br>?
?
?
??
??
??
??
?
13< br>2
所以
?
fa?aa?2??0
?
??
3
?
15
??
?
?
?
??
?
?
??
.

?
2
???
24
??
24?
16
2
2
4.设
m,n
为非零实数，
i为虚数单位，
z?C
，则方程
z?ni?z?mi?n
与方程
z ?ni?z?mi??m
在同一复平面内的图形（其中
F
1
,F
2< br>是焦点）是（）
答案：B．
提示：
z?ni?z?mi?n
表示以
F
1
?
0,?n
?
,F
2
?
0, m
?
为焦点的椭圆且
n?0.
z?ni?z?mi??m
表示以F
1
?
0,?n
?
,F
2
?
0,m< br>?
为焦点的双曲线的一支．由
n?z?ni?z?mi?m?n
，知
m ?0.
故双曲线
z?ni?z?mi??m
的一支靠近点
F
2
．
?
1?31?3
?
5.给定平面向量
?
1,1
?
，那么，平面向量
?
?
2
,
2
?
?< br>是将向量
?
1,1
?
经过变换得到的，
??
答案是（ ）
A．顺时针旋转
60
o
所得B．顺时针旋转
120
o< br>所得
C．逆时针旋转
60
o
所得D．逆时针旋转
120o
所得
答案：C．
?
1?31?3
?
,
? ?
?
?
1,1
?
22
1
?
提示：设两向量 所成的角为
?
，则
cos
?
?
?
?,
又
2
2?2
o
oo
?
，所以．又
?
?60< br>?
?
?
0,180
??
1?31?3
?0,?0，所以
C
正确．
22
6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手 各比赛一场，但有3名选手各比
赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选 手之间
比赛场数是（）
A．0B．1C．2D．3
答案：B．
提示：设 这3名选手之间比赛的场数是
r
，共
n
名选手参赛，依题意有

2
C
n?3
?6?r?50
，即
?
n?3
??
n?4
?
?44?r.

2
因为
0?r?3
，所以分4种情况讨论：
①当
r?0< br>时，有
?
n?3
??
n?4
?
?88
，即< br>n
2
?7n?76?0
，但它没有正整数解，故
r?0
； < br>②当
r?1
时，有
?
n?3
??
n?4
?< br>?90
，解得
n?13
，故
r?1
符合题意；
③当
r?2
时，有
?
n?3
??
n?4
?
?9 2
，即
n
2
?7n?80?0,
但它没有正整数解，故
r? 2
；
④当
r?3
时，有
?
n?3
??
n ?4
?
?94
，即
n
2
?7n?82?0
，但它没 有正整数解，故
r?3.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分 ，解题时只需将正确
答案直接填在横线上．）
7.规定：对于
x?R
，当且 仅当
n?n?n?1
?
n?N
*
?
时，
?
x
?
?n
．则不等式
4
?
x
?
?36< br>?
x
?
?45?0
的解集是．
2
答案：
2?x?8.

提示：所求不等式为关于
?
x
?
的一元二次不等式．由
4
?
x
?
?36?
x
?
?45?0
，得
?
?
x
??
2
3
2
15
，
2
故
2?
?
x
?
?7
，即
2?x?8.

8.在三棱锥
S
-
ABC
中，
SA?4,SB?7,SC?9,AB?5,BC?6,A C?8,
则三棱锥的体积的最
大值为．
答案：
86
．
S A
2
?AB
2
?SB
2
4
2
?5
2
?7
2
1
???
，故提示：设
?SAB?
?，根据余弦定理有
cos
?
?
2SA?AB2?4?55
sin
?
?1?cos
2
?
?
261
,S
?SA B
??SA?ABsin
?
?46.
由于棱锥的高不超过它的侧棱，所
52
以
F
CSAB
?S
?SAB
?BC?86.
事实上，取
SB?7,BC?6
，且
CB?
面
SAB
时，可 以满足已知
条件，此时
V
CSAB
?86.

9．一个均匀 小正方体的六个面中，三个面上标以数字
0
，两个面上标以数字
1
，一个面上标以数字
2
。将这个正方体的抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是
1
3

答案；
.

提示：由题意知，抛掷小正 方体向上的数为
0
的概率为，向上的数为
1
的概率为，
向上为
2
的概率为，如下表所示：

4
9
1
2
1
3
1
6
第一次抛掷
第二次
0
0 1 2









1
2
于是所得向上的数之积的分布列为：


0 1 2 4

10．观察下列等式：
15
C
5
?C
5
?2
3
?2
；
159
C
9
?C
9
?C
9
?2
7
?2
3
；
15913
C
13
?C
13< br>?C
13
?C
13
?2
11
?2
5
；
。。。。。。
由以上等式推测出一般的结论：
1594n?1
对于< br>n?N*,
C
4n?1
?C
4n?1
?C
4n?1< br>?L?C
4n?1
?

答案：
2
4n?1
?
?
?1
?
?2
2n?1
.

11．方程< br>16sin
?
xcos
?
x?16x?
的解的集合是
11
?
答案：
?
?
,?
?
．
?
44
?
n
1
x

提示：当
x?0时，
16x??8
，当且仅当
x?
时取“
?
”．而16sin
?
xcos
?
x?8sin2
?
x?8，
当且仅当
x??k,k?Z
时取“
?
”号．于是，当
x?0
时，方程只有一个解
x?.
由奇函
11
?
1
数的性质可知，
x??
是方程的另一个解．故方程的解集合为
?
?
, ?
?
.

1
x
1
4
1
4
1
4
4
?
44
?
12．当一个非空数集
F
满足条件“如果
a,b?F
，则
a?b,a?b,a?b?F
，且当
b?0
时，
?F
”
时，我们称
F
就是一个数域。以下四个关 于数域的命题：
①
0
是任何数域的元素；②若数域
F
有非零元素， 则
2016?F
；③集合
P?
?
x|x?3k,k?Z
?< br>是一个数域；④有理数集是一个数域。
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）
答案：①②④．
提示：根据数域的定义判断，①②④均正确．取
a?3,b?6，则
a,b?P
，但
??P
，
即③错误．
三、简答题（本大题共4个小题，满分72分）
x
2
y
2
1
13．（本小题满分16分）已知椭圆
C:
2
?
2
?1( a?b?0)
经过点
0,3
，离心率为，
ab
2
a
b
1
2
a
b
??
经过椭圆
C
的右焦点F
交椭圆于
A,B
两点，点
A,F,B
在直线
x?4< br>的射影依次是
D,K,E
。
（1）求椭圆的
C
的方程； < br>（2）连接
AE,BD
，试探求当直线
l
的倾斜角变化时，直线
AE
与
BD
是否相交于定点？
若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则， 说明理由。
c
1
解：（1）由经过点
0,3
，得
b?3,
由离心率为，得
e??
a
2
??
a
2
?b
2
1
?
，得
a?2.

a2
x
2
y
2
故椭圆
C
的方程为
C:??1.

4 3
（2）当直线
l
的斜率不存在时，直线
l?x
轴，则
AB ED
为矩形，由对称性知，直线
AE
???
,0
N,0
与< br>BD
相交于
FK
的中点
N
?
，由此猜想直线与相交于 定点
AEBD
????
.

2
2
??
??
55

证明：设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,D
?
4,y
1
?
,E
?
4,y
2
?
直线
AB
的方程为
y?k
?
x?1
?
，联 立椭圆
C
的
方程消去
y
得
3x
2
?4k< br>2
?
x?1
?
2
?12
，即
?
3? 4k
2
?
x
2
?8k
2
x?4k
2
?12?0,
8k
2
4k
2
?12
y
2
?y
1
5
x
1
?x
2
?,xx?.
l:y ?y?x?4
又因为，当时，
x?
??
12
AE2
4?x< br>1
3?4k
2
3?4k
2
2
y?k
?
x
2
?1
?
?
k
?
x
2
?x< br>1
?
3
5k
?
x
1
?x
2
?
?2kx
1
x
2
?8k

??
4?x< br>1
22
?
4?x
1
?
?0
，
?< br>?8k
?
3?4k
2
?
?2k
?
4k
2
?12
?
?5k?8k
2
2
?
4?x
1
?
?
3?4k
2
?
?
即点
N
?
?
,0
?
在直线
l
AE
上．
2
??
?
,0
同理可证，点
N
?
??
在直线
l
BD
上，所以，当直线
l
的倾斜角变化时，直线
AE
与< br>BD
相
2
??
?
,0
交于定点
N
?
??
.

2
??
5
5
5
14．（ 本小题满分16分）已知四边形
ABCD
是正方形，
P
是边
CD上一点（点
P
不与顶
点重合），延长
AP
与
BC
的延长线交于点
Q
。设
?ABQ
，
?PAD
，
? PCQ
的内切圆半径分
别是
r
1
,r
2
,r
3
。
（1）证明：
r
1
2
?4r
2
r
3
，并指出点
P
在什么位置时等号成立；
（2）若
AB? 1,
试求证：
3?22?r
1
2
?r
2
2
?r
3
2
?
。
证明：（1）如图所示，因为△
ABQ∽△
PDA
∽△
PCQ
，所以
r
1
:r
2
:r
3
?AB:PD:PC.

而
AB?CD?PD?PC
，
故
r
1
?r
2
?r
3
?2r
2
r
3
，即
r
1
2
?4r
2
r
3
.
当且仅当
r
2
?r
3
，即
P
为
CD
的中点时，等号成立． < br>（2）由（1）得
r
1
?r
2
?r
3
，所以 有
?
?
0?
?
?
记
?DAP?
?
?
??
，则
?
4
?
1
2
t
2
?1
.
令
cos
?
?cos
?
?t
，则
1?t?2
，且
sin
?
cos
?
?
2
故

它是关于
t
的单调递增函数，所以
3?2
即
3?22?r< br>1
2
?r
2
2
?r
3
2
?.

1
2
2
??
2?
?
2?1
?
3?
2
2
?r?r
2
?r
3
?
2
1
22
3?1
2
?
1?1
?
2
1
?.

2
15．已知函数
f(x)?xlnx?mx
2
?x ,m?R.

（1）当
m??2
时，求函数
f(x)
的所有零点；
（2 ）若
f(x)
有两个极值点
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
，求证：
x
1
?x
2
?e
2
。
解：（1）当
m??2
时，
f
?x
?
?xlnx?x
2
?x?x
?
lnx?x?1?
,x?0.
设
p
?
x
?
?lnx?x?1,
x?0,
则
p
?
?
x
?
?
1?1?0
，于是
p
?
x
?
在
?
0,? ?
?
上为增函数．
x
1
2
又
p
?
1
?
?0
，所以，当
m??2
时，函数
f
?x
?
有唯一零点
x?1.

（2）若
f
?x
?
有两个极值点
x
1
,x
2
，则导函数f
?
?
x
?
有两个零点
x
1
,x2
.

由
f
?
?
x
?
?ln x?mx
，可知
?
?
lnx
1
?mx
1
? 0,

?
lnx
2
?mx
2
?0.
要证< br>x
1
x
2
?e
2
，可转化为证明：
lnx< br>1
?lnx
2
?2.

?
lnx
1
?mx
1
?0,
lnx?lnx
2
.
由
?
可得
m?
1
x?x
lnx?mx?0
12
?
22
由
?
?
lnx
1
?mx
1
?0,
lnx?lnx
2
.
可得
m?
1
x
1
? x
2
?
lnx
2
?mx
2
?0
lnx1
?lnx
2
lnx
1
?lnx
2
?.
进一步，得
x
1
?x
2
x
1
?x
2< br>两式联立，得
设
0?x
1
?x
2
，则
0?t ?
?
1?t
?
lnt
.
x
1
?1
，
lnx
1
?lnx
2
?
下面证只须证明：
x< br>2
t?1
2
?
t?1
?
当
0?t?1
时恒成立．
t?1
2
?
1?t
?
lnt
?2< br>t?1
，即证
lnt?
2
?
t?1
?
?t?1
?
?0,
14
?
设函数
g
?
t
?
?lnt?
，则
g
?
?
t
?
? ?

22
t
?
t?1
?
t?1
t
?
t?1
?
故函数
g
?
t
?
在
?
0,1
?
上为增函数，
g
?
t
?
?g?
1
?
?0.

所以，
lnt?
2
?
t?1
?
当
0?t?1
时恒成立，即
x
1
x
2
?e
2
.

t?1

16．已知 互异的正实数
x
1
,x
2
,x
3
,x
4< br>满足不等式
(x
1
?x
2
?x
3
?x
4
)
?
?
?
1111
?
???
?
?17
。
?
?
x
1
x
2
x
3
x
4
?
求证：从
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
可任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形。
证 明：由于
C
4
3
?4
，故从
x
1
,x2
,x
3
,x
4
中任取3个数作为边长，共可构成4个
不同的三角形，即是任取3个数作为边长均可构成不同的三角形．下面用反证
法给出证明：
若 存在某三个数为边长的不能构成三角形，由对称性可知不妨设这三个数
为
x
1
,x
2
,x
3
，且满足
x
1
?x
2
?x
3
.
因为
由
?
x
2
?x
3
?
?
?
11
?
x
114
??4
?
，知
??
，并设
1
?t
?
t?1
?，得
x
2
x
3
x
2
?x
3
x
2
?x
3
?
x
2
x
3
?
1
t
1
t
由条件，得
12?4t??17
，即
4 t??t?0
?
t?1
?
.
事实上，当
t?1
时，
14t
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这与上面所得结论矛盾．所以，原命题成立．