湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

荆门市2019—2020学年度下学期期末
高二年级学业水平阶段性检测
数 学
本试卷共 2 页，共 22 题。满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上.
2. 选择题每 小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号，答在试题卷上无效.
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上.）
1．若直线
x?y?a?0
平分圆
x?y?2x?4y?1?0
的面积，则
a
的值为
A．
1
B．
?1
C．
2
D．
?2

2．为了研究高一阶段男、女生对物理学习能力的差异性，在全年级学生中 进行抽样调查，根据
数据，求得
K
2
的观测值
k
0
?5.604
，则至少有（ ）的把握认为对物理学习能力与性
别有关．
参考数据：
22
PK(
2
?k
0
)

0.15
2.072
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
k
0

A．90% B．95% C．97.5% D．99%
3
．已知抛物线
ax2
?y
的焦点到准线的距离为
1
，则实数
a
等于

2
11
D
．
?
42
4．在平行六面体
ABCD?A
?
B
?
C
?
D
?
中，若
AC
?
?xAB?yBC?2zCC
?
，则
x?y?z?

A
．
??
B
．
?2
C
．
?
53
11
B
．
2
C
．
D
．

6
22
2
5．在某次学科知识竞赛中（总分100分 ），若参赛学生成绩
?
服从
N(80,
?
)
(
?< br>>0)，若
?
在
A
．
(70，90)内的概率为0.7，则落 在[90，100]内的概率为
A．0.2 B．0.15 C．0.1 D．0.05
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
有共同焦点，且双曲线的渐
6．已知双曲 线
2
?
2
?1
（
a?0
，
b?0
）与椭圆
ab2516
近线方程为
x?2y?0
，则该双曲线的方程为

高二数学试卷第 1 页（共4页）

x
2
y< br>2
x
2
y
2
x
2
y
2
x< br>2
y
2
??1
B．
??1
C．
??1
D．
??1

A．
6121263 663
7．法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起 来很简单的猜
想：当整数
n?2
时，找不到满足
x?y?z
的正整数 解．该定理史称费马最后定理，
也被称为费马大定理．现任取
x,y,z,n?
?1,2,3,4,5
?
，则等式
x?y?z
成立的概率为
nnn
nnn
112147
B． C． D．

8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段 叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐
去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里； 驽马初日行九十七里，
日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问相逢时驽马行几里？
A．540 B．785 C．855 D．950
A．
8
，则
P
?
?
?1
?< br>?

9
80655540
A． B． C． D．

81818181
1?e
x
10．函数
f
?
x
?
?cosx
的图象大致形状是 1?e
x
9．设随机变量
?
~B
?
2,p
?< br>，
?
~B
?
4,p
?
，若
P
??
?1
?
?
11．设
F
1
,F
2分别是双曲线
xy
??1
?
a?0,b?0
?
的左、右 焦点，点
A
为双曲线右支上一
22
ab
22

点, 线段
AF
1
交左支于点
B
，若
?ABF
2
为正三角形，且
AB?2BF
1
，则该双曲线的离心率为
A．
3
B．
6
C．
7
D．
22

x
2
y
2
12．设椭圆
??1
的右焦点为
F
，直线
y ?m0?m?3
与椭圆交于
A,B
两点，现给出下
93
??
述结论：
①
AF?BF
为定值；
①
?ABF
的周长的取值范围是
?
6,12
?
；

3
时，
?ABF
为直角三角形；
①
当
m?1
时，
?ABF
的面积为
6
．

2
其中所有正确结论的序号是

A
．
①①① B
．
①① C
．
①① D
．
①①①
①
当
m?
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13
．函数
f
(
x
)
?e
x
?
s in
x
在点
?
0,1
?
处的切线方程为

▲

．

14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重 的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等
诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援. 若将5名医生志愿者分配到两家医院(每
人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案．（用数字作答）

高二数学试卷第 2 页（共4页）

15．已知数列
?
a
n
?
：
,
12
, ,,,,,,,,,,
22
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
4
2
4
的前
n
项和为< br>S
n
，
则
S
120
?
▲ ．
16
．
f
?
(x)
是奇函数
f(x)
的导 函数，
f
?
?2
?
??3
，且对任意的
x?R都有
f
?
(x)?2
，则
f(2)?


▲

，使得
fe
二空
3
分
）

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
??
?2e
xx
?1
成立的
x
的取值范围是

▲

．（
第一空< br>2
分，第
1
??
45
已知
A
n
?3 0C
n
，设
f
?
x
?
?
?
x?< br>?
．
3
x
??
（①）求
n
的值；
（①）求
f
?
x
?
的展开式中的常数项．





18．（本小题满分12分）
在①
a< br>3
?a
5
?16,S
3
?S
5
?42
；①
面的问题中，并加以解答．
n
a
n?1
n?1
?, S
7
?56
这两个条件中任选一个补充在下
a
n
n
b
1
?a
1
,b
2
?a
1
?a
2
．设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为S
n
，数列
?
b
n
?
为等比数列， ，
?
1
?
求数列
?
?b
n
?
的 前
n
项和
T
n
．
?
S
n
?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．





19．（本小题满分12分）
如图， 四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为梯形，
ABDC,?BAD ?90
，点
E
为
PB

的中点，且
CD?2AD? 2AB?4
，点
F
在
CD
上，且
DF?
（
①
）求证：
EF

平面
PAD
；

?
1
FC
．

3

高二数学试卷第 3 页（共4页）

（
①
）若平面
PAD?
平面
ABCD
，
PA?PD
且
PA?PD
，求直线
PC
与平面
PBF
所


成角的正弦值．









20．（本小题满分12分）
已知抛物线
C:y
2
?4x
，直线
l:x?my?2
（
m＞0
）与
C
交于
A, B
两点，
M
为
AB
的中
点，
O
为坐标原点 ．
（
①
）求直线
OM
斜率的最大值；

（①）若点P在直线
x??2
上，且△PAB为等边三角形，求点P的坐标．



21．（本小题满分12分）
已知函数
f
?
x
?
?mxlnx?
?
m?1
?
lnx
，
m?0
．
（①）
f
?
?
x
?
为函数
f
?
x
?
的导数，讨论函数
f
?
?
x
?
的单调性；
（①）若函数
f
?
x
?
与
g
?
x
?
?
求证：
x
2
?
3
?x
的图象有两个交点
A
?
x
1
, y
1
?
、
B
?
x
2
,y
2
??
x
1
?x
2
?
，
e
1
?x
1
?e
．
e



22．（本小题满分12分）
足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．
（①）为推广足球运动，某学校成立 了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点
球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次 ，若踢进，则被录取；若没踢进，
则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．
下表 是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进
的概率．为加入足球社团 ，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，
他在测试中所踢的点球次数记为
?
，求
?
的分布列及数学期望；

点球数 20 30 30 25 20 25

进球数 10 17 20 16 13 14

（①）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随 机地将球传给其他两人
中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下

高二数学试卷第 4 页（共4页）

去，且假定每次传球都能被 接到．记开始传球的人为第1次触球者，第
n
次触球者
是甲的概率记为
Pn
，即
P
1
?1
．
(i)求
P
2
,P
3
(直接写出结果即可)；
(ii)证明：数列
?
P
n
?
?
为等比数列，并判断第19 次还是第20次触球者是甲的概率大．



?
?
1
?
3
?

高二数学试卷第 5 页（共4页）

荆门市2019—2020学年度下学期期末
高二年级学业水平阶段性检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）：1-4 BCAA 5-8 BDBC 9-12 ADCD
13.
y?2x?1
14.
30
15.
60
16.
3,
?
ln2,??
?

二、填空题（每小题
5
分，共
20
分）：
三、解答题：

45
17.解：（Ⅰ）由已知< br>A
n
?30C
n
得：
解得:
n
8

8
．
…………………………………………………………………5分
k
n!
n4!
30
n!
……………………………3分 n5!5!
4k
1
1
?
8kk
8
?
k k
3
C1x
（Ⅱ）
?
x?
展开式的通项为
T
k1
C
8
x
…
…
…
…8分
8
?
3
3
x
x
??

4k
由
80
得
k6
，即
f
?
x
?
的 展开式中的常数项为
T
7
28
．………………10分
3
?
2a
1
?6d?16,
18．解：选① 设公差为d
，由
a
3
?a
5
?16,S
3
?S
5
?42，得
?
………2分
?
8a
1
?13d?42,

?
a
1< br>?2,
2
解得
?
所以
a
n
?2n,S
n
?n?n
………………………………………………5分

d?2,< br>?
设
?
b
n
?
的公比为q，又因为
a
1
?2,a
2
?4,由b
1
?a
1
,b
2
?a
1
?a
2
，
n?1
得
b
1
?2,q?3
，所以
b
n
?2?3
.……………………… ………………………………7分

由数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
2
?
1?3
n
?
1?3< br>11111
?
2
???
可知，……………………………………………… 9分
S
n
n?nn
?
n?1
?
nn?1
数列
?
?3
n
?1
， …………………………………………8分
?
1
?
111111
，…………………11分
?1??
的前
n
项和为
1?????????
223nn?1n?1< br>?
S
n
?
11
故
T
n
?3
n
?1?1?
.……………………………………………………12分
?3
n
?
n?1n?1
an?1aaaa
，得
n?1
?
n
，所以
n
?
1
，即a
n
?a
1
n
， ………………2分 选① 由
n?1
?
a
n
nn?1 nn1
S
7
?7a
4
?28a
1
?56，所以a< br>1
?2
， 所以
a
n
?2n,S
n
?n2
?n
……………………5分

设
?
b
n< br>?
的公比为q，又因为
a
1
?2,a
2
?4,由b< br>1
?a
1
,b
2
?a
1
?a
2，
n?1
得
b
1
?2,q?3
，所以
bn
?2?3
.………………………………………………………7分


高二数学试卷第 6 页（共4页）

由数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
可知
2
?
1?3
n
?
1?3
?3
n
?1
，…………………………………… ………8分
11111
?
2
???
，………………………………… ……………9分
S
n
n?nn
?
n?1
?
nn? 1
?
1
?
111111
数列
??
的前
n< br>项和为
1?????????
，…………………11分
?1?
S223nn?1n?1
?
n
?
11
故
T
n?3
n
?1?1?
……………………………………………………12分
?3
n
?
n?1n?1

19
．解：（
①
）如图所示，取
PA
的中点
M
，连结
DM
、
EM
，

因为点
E
为
PB
的中点，且
C D?2AD?2AB?4
，

1
所以
EMAB
且
E M?AB?1
，
……………………2
分

2
11

因为
DF?FC
，所以
DF?DC?1
，所以
EM?DF? 1
，
34
又因为
AB①DC
，所以
EM①DF
，< br>
所以四边形
EMDF
为平行四边形，
………………………4
分

所以
EF①DM
，又
DM?平面
PAD
，
EF?
平面
PAD
，

所以
EF
①
平面
PAD
；
……………………………………… ……………………………6
分

（
①
）取
AD
中点
N
，
BC
中点
H
，连结
PN
、
N H
，因为
PA?PD
，所以
PNAD
，

又平面< br>PAD?
平面
ABCD
，所以
PN
平面
ABCD，又
AB①DC①NH
，∠
BAD=90
°
，
所以AD?NH
，以
N
为原点，
NA
方向为
x
轴，
NH
方向为
y
轴，
NP
方向为
z
轴，建立
空间坐标系，
……………………………………………………………………………7
分

所以
P
?
0,0,1
?
，
B
?
1,2,0
?< br>，
F
?
?1,1,0
?
，
C
?
?1 ,4,0
?

在平面
PBF
中
BP?
?
? 1,?2,1
?
，
BF?
?
?2,?1,0
?
，< br>PC=
?
?1,4,?1
?
,
?
BP?n?0?
?x?2y?z?0
设在平面
PBF
的法向量为
n?
?
x,y,z
?
，所以
?
，
?
，

?2x?y?0
?
BF?n?0
?
令
x?1
，则法向量< br>n?
?
1,?2,?3
?
，
………………………10
分

又
PC=
?
?1,4,?1
?
，设直线
PC
与平面
PBF
所成角为
?
，

所以
sin
?
?|cos?PC,n?|?
|PC?n|67
??
，
7
|PC|?|n|
32?14
即直线
PC
与平面< br>PBF
所成角的正弦值为
7
．
………12
分

7
H
?
x?my?2,
20.解：（①）设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由< br>?
2
，消去
x
得，
y
2
?4my?8?0< br>，
?
y?4x
所以
x
1
?x
2
? m(y
1
?y
2
)?4?4m
2
?4.
因为
M
为
AB
的中点
，

x?xy?y
2
2
所以
M
的坐标为
(
12
,
1
)
， 即
(2m?2,2m)
，…………………………………3分
22

高二数学试卷第 7 页（共4页）
??16m
2
?32?0,
且
y
1
?y
2
?4m,y
1
y
2
??8
． .….….….….….…………………………2分

2mm111
，……………………5分
??≤?
2m
2
?2m
2
?1
m?
1
1
2
2m?m
m
1
1
（当且仅当
m?
，即
m?1
等号成立），所以
OM
的斜率的最大值为． …………6分
2
m
又 因为
m?0
，所以
k
OM
?
（①）由（①）知，
A B?1?m
2
|y
1
?y
2
|?1?m
2
?(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2

?1?m
2
?16m
2
?32?41?m
2< br>?m
2
?2
，……………………………………………7分
由
PM?AB
得
|PM|?1?(?m)
2
|2m
2
?2?( ?2)|?2(m
2
?2)1?m
2
，
因为
△PAB< br>为等边三角形，所以
|PM|?
3
|AB|
，…………………………… ………9分
2
所以
2(m
2
?2)1?m
2
?2 3?1?m
2
?m
2
?2
，
所以
m
2< br>?2?3
，所以
m
2
?1
，解得
m??1,
又
m＞0
，所以
m?1
，………………10分

则
M(4,2)
，直线
MP
的方程为
y?2??(x?4)
，即
y??x?6
，
所以
x??2
时，
y?8
，所以所求的 点
P
的坐标为
(?2,8)
．……………………………12分
21 ．解：（①）
f
?
(x)?m(1?lnx)?
m?1
...... .................................................. ......................1分
x

mm?1mx?(m?1 )
[f
?
(x)]
?
??
2
?
..... .................................................. ...........................3分
2
xxx
?m?0 ?mx?m?1?0
,
?[f
?
(x)]
?
?0
,
?f
?
(x)
在
(0,??)
上为单调递增．...... ........5分
3
（①）设
F
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
?mxlnx?
?
m?1
?
lnx?x?
，
e
F
?
?
x
?
?mlnx?m?
m?1
?1
，………………….…… ……………………………………6分
x
由于
m?0
，
x?0
F
??
?
x
?
?
mm?1
?
2
?0
恒成立
xx
知函数
F
?
?
x
?在
?
0,??
?
上为增函数且
F
?
?
1
?
?0
………………………….……………7分
故当
x?
?
0,1
?
时，
F
?
?
x
?
? 0
，当
x?
?
1,??
?
时，
F
?
?
x
?
?0
，
则
F
?
x
?< br>在
?
0,1
?
单调递减，在
?
1,??
?< br>单调递增． ……………………………………8分
3e?3
e
?
e? 1
?
?3
1
?
e?1e?2
F
?
1
?
?1???0
F
?
?0
．….…10分
?m??0< br>，
F
?
e
?
?m
?
e?1
?
?
??
ee
e
ee
?
e
?
1
?
，
x?
?
1,e
?
， 知
F
?
x
?
在区间
?
1
,1
?
以及
?
1, e
?
内各有一个零点，即为
x
1
?
?
2
?
,1
?
?
?
e
?
?
?
e
?
知
x
2
?x
1
?e?
11
，即
x
2
??x
1
?e
．…………………………………………………12 分
ee
10?17?20?16?13?14
?0.6
，.…………1分
150
22．解：（①）这150个点球中的进球频率为




则该同学踢一次点球命中的概率
p?0.6
，………………………………… ……………2分
由题意，
?
可能取1,2,3，则
P
?
?
?1
?
?0.6
，
P
?
?
?2
?
?0.4?0.6?0.24
，
P
?
?
?3
?< br>?0.4?0.4?0.16
………3分
高二数学试卷第 8 页（共4页）

?
的分布列为
?

1 2 3
p

0.6 0.24 0.16
即
E
?
?
?
?1?0.6?2?0.24?3?0.16?1.56
．…………………………… ……………5分
1
． ……………………………………………………7分
2
（ii）第
n
次触球者是甲的概率记为
P
n
，则当
n?2
时，第
n?1
次触球者是甲的概率为
P
n?1
，
（ ①）（i）由题意
P
2
?0
，
P
3
?
第
n?1
次触球者不是甲的概率为
1?P
n?1
，则






11
P
n
?P
n?1
?0?
?
1?P
n?1
?
??
?
1?P
n?1
?
， ………………………………………………9分
22111
?
12
从而
P
n
???
?
?< br>，
?
P
n?1
?
?
，又
P
1?
32
?
3
?
33

1
?
2 1
?
?
?
P
n
?
?
是以为首项，公比为< br>?
的等比数列．…………………………………11分
3
?
32
?
2
?
1
?
1
2
?
1
?
11
2
?
1
?
11
则
P
n
?< br>?
?
?
?
，
P?
19
?
?
?
??
，
P
20
?
?
?
?
??< br>，
3
?
2
?
3
3
?
2
?
33
3
?
2
?
33
P
19
?P< br>20
，故第19次触球者是甲的概率大．…………………………………………12分


n?1
18
19



高二数学试卷第 9 页（共4页）