2011年浙江省高中数学竞赛试题

2011年浙江省高中数学竞赛试题
参考解答与评分标准
说明：本试卷分为 A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7
道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选
择题，7道填空题和3道解答题。

一、选 择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号
填入题干后的括号里，多选、不 选、错选均不得分，每题5分，共50分）
5
?
3
?
1. 已知
?
?[,]
，则
1?sin2
?
?1?sin2
?
可化简为（ D ）
42
A．
2sin
?
B.
?2sin
?
C.
?2cos
?
D.
2cos
?

5
?
3
?
解答：因为
?
?[,]
，所以
1?sin2
?
?1?sin2
?
=
cos
?
?sin
?
?cos
?
?s in
?

42

?2co
?
s
。正确答案为D。
2．如果复数
?
a?2i
??
1?i
?
的模为4，则实数a的值为（ C ）
A.
2 B.
22
C.
?2
D.
?22

解答：由题意得
2?a
2
?4?4?a?? 2
。正确答案为C。

3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
x?A?B
， 命题q：
x?A
或
x?B
，
则p是q的（ B ）

A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
解答：P是q的充分非必要条件。
正确答案为B。

x
2
4. 过椭圆
?y
2
?1
的右焦点
F
2
作倾斜角为
45
?
弦AB，则
AB
为（ C ）
2
A.
26464243
B. C. D.
3333
解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为
y?x?1,
代入椭圆方程得
3x
2
?4x?0?x
1
?0,x
2< br>?
?
1?5
?x
5. 函数
f(x)?
?
x
?
5?1
442
?AB?2(x
1
?x
2
)
2
?
。正确答案为C。
33
x?0
x?0
，则该函数为（ A ）
A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

1

解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
2
2
2
2
2
2
3
1
1

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
5
?
3
?
?
A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+
?

22
2
?
解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所
2
?< br>5
?
以该几何体的体积为
2?2?1?3
?
??4?
。正确答案为A。
22
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依
次记为 ：
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),?,(x
n
,y
n
),?;
若程序运行中
输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
（ B ）
A．64 B．32 C．16 D．8
答案 经计算
x?32
。正确答案为 B。
|1
8. 在平面区 域
?
(x,y)|x|?1,|y?
?
上恒有
ax?2by?2，则动点
P(a,b)
所形成平面区域的面积为（ A ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
解答：平面区域
?
(x,y)|x |?1,|y|?1
?
的四个边界点（—1，—1），
（—1，1），（1，—1）， （1，1）满足
ax?2by?2
，即有
a?2b?2,a?2b?2,?a?2b?2,?a?2b?2

由此计算动点
P(a,b)
所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?
（ C ）
?
?
?
?
)?m
在
?
0,
?
上有两个零点，则m的取 值范围为
6
?
2
?

2

?
1
?
?
1
??
1
??
1
?
A.
?
, 1
?
B
?
, 1
?
C.
?
, 1
?
D.
?
, 1
?

?
2
?
?
2
??
2
??
2
?
解答：问题等价于函数
f(x)?sin(2x?
??
?
?
)
与直线
y?m
在
?
0,?
上有两个交点，
6
?
2
?
?
1
?< br>所以m的取值范围为
?
, 1
?
。正确答案为C。
?
2
?
10. 已知
a?[?1,1]
，则
x2
?(a?4)x?4?2a?0
的解为（ C ）
A.
x?3
或
x?2
B.
x?2
或
x?1
C.
x?3
或
x?1
D.
1?x?3

解答： 不等式的左端看成
a
的一次函数，
f(a)?(x?2)a?(x
2
?4x?4)

由
f(?1)?x
2
?5x?6?0,f(1)?x
2
?3x?2?0?x?1
或
x?3
。
正确答案为C。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，
共49分）
x
11. 函数
f(x)?2sin?3cosx
的最小正周期为_____ _4
?
____。
2
解答：最小正周期为4
?
。

12. 已知等差数列
?
a
n
?
前15项的和
S< br>15
=30，则
a
1
?a
8
?a
15
=____6_______.
解答：由
S
15
?30?a
1< br>?7d?2
，而
a
1
?a
8
?a
15
?3(a
1
?7d)?6
。

??
?
?
13. 向量
a?(1,sin
?
)，
b?(cos
?
,3)
，
?
?R
，则
a?b
的取值范围为
[1，3]
。
??
解答：
a ?b?(1?cos
?
)
2
?(sin
?
?3)
2
?5?2(cos
?
?3sin
?
)

?
=
5?4sin(?
?
)
，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。

6
14. 直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
，底面
?ABC
是正三角形，P，E分别为
BB
1
，
CC
1
上
的动 点（含端点），D为BC边上的中点，且
PD?PE
。则直线
AP,PE
的夹 角为
_
90
?
_。
解答：因为平面ABC⊥平面
BCC< br>1
B
1
，
AD⊥BC，所以AD⊥平面
BCC
1B
1
，所以
AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。 即夹角为
90
?
。

3

15．设
x,y
为实数，则
5x?4y?10x
2
max(x
2
? y
2
)?
_____4________。
2
解答：
5x
2
?4y
2
?10x?4y
2
?10x?5x
2< br>?0?0?x?2

4(x
2
?y
2
)?10x?x
2
?25?(5?x)
2
?25?3
2
?x
2?y
2
?4

16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的20 11只路灯，为节约用电要求关闭
其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯 ，则满足条
300
件的关灯方法共有___
C
1710
______ _种。（用组合数符号表示）
300
解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯 ，所以共有
C
1710
种关灯方法。
17. 设
x,y,z
为整数，且
x?y?z?3,x
3
?y
3
?z
3
?3
，则
x
2
?y
2
?z
2
?
_ 3或57_。
解答：将
z?3?x?y
代入
x
3
?y< br>3
?z
3
?3
得到
xy?3(x?y)?9?
8
，因为
x,y
都是整数，所以
x?y
?
x?y?1
?
x?y?4
?
x?y?2
?
x?y?8
,
?
,
?
,
?
,
前 两个方程组无解；后两个方程组解得
?
xy?2xy?5xy?1xy?16
????
x?y?z?1;x?y?4,z??5
。
所以
x
2
?y< br>2
?z
2
?
3或57。


三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）
18. 设
a?2
，求
y?(x?2)x
在
[a, 2]
上的最大值和最小值。
解答：当
x?0,y??(x?1)
2
?1,

当
x?0,y?(x?1)?1,
---------------------------------- 5分
由此可知
y
max
?0
。 ---------------------------------- 10分
当
1?a?2,y
min
?a?2a
；
当
1?2?a?1,y
min
??1
；
当
a?1?2,y
min
??a?2a
。 ---------------------------------- 17分

2
2
2




4

19. 给定两个数列
?
x
n
?
，
?
y
n
?
满足
x
0
?y
0
?1< br>，
x
n
?
x
n?1
(n?1)
，
2?x
n?1
2
y
n?1
y
n
? (n?1)
。证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
1?2y
n?1
y
n
?x
j
n
。
解答：
由已知得到：
12111
?1???1?2(1?)?{?1}
为等比数列，首项为2，公比为2，
x
n
x
n?1
x
n
x
n?1
x< br>n
所以
11
?1?2
n?1
?x
n
?
n?1
。 ----------------- 5分
x
n
2?1
(y
n? 1
?1)
2
y?1y?1
11
2
?
n
?(
n?1
)
2
?1??(1?)

又由已知，
yn
?1?
1?2y
n?1
y
n
y
n?1
y
n
y
n?1
n
111
2
由
1?
，
?2?1??2?y
n
?
n
y
0
y
n
2
2
?1
所以取j
n
?2?1
即可。 ------------------- 17分
n

x
2
y
2
20. 已知椭圆
2
?
2
?1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交椭圆于A，B两点，D
(a, 0)
54
为
F
1
右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N 。若以MN为直径的圆恰好
过
F
1
，求 a的值。
解答：
F
1
(?3,0),左准线方程为x??
25
;AB方程为< br>y?k(x?3)(k为斜率)
。
3
2
1k50x?
?y?k(x?3)
?
k
2
5x
2
)?
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由
?
x
2
y
2

?(16?2
?1
?
?
?
2516
2k
2
2?5?4000< br>150k
2
225k
2
?400256k
2
2
,x
1
x
2
???y
1
y
2
?k(x< br>1
?3)(x
2
?3)??
得
x
1
?x2
??

222
16?25k16?25k16?25k
--- -------------------10分
设
M(?
(3a?25)y
1
(3a?25)y
2
2525
,同理y
4
?
。
,y
3
),N(?,y
4
)
。由M、A、D共线
y
3
?
3(a?x
1
)3(a?x
2
)
33
5

???????????????????????????? ??
1616
又
F
1
M?(?,y
3
),F
1
N?(?,y
4
),由已知得F
1
M?F
1
N ?F
1
M?F
1
N?0
，得
33
（3a?25)< br>2
y
1
y
2
256（3a?25)
2
256 k
2
256
y
3
y
4
??,而y
3
y
4
?，即
?
=
?
?,
2
99(a?x
1
)(a?x
2
)9(a?x
1
)(a?x
2)
16?25k
9
整理得
(1?k)(16a?400)?0?a??5,又a??3,所以a?5
。

22
--------------17分


四、附加题（本大题共2 小题，每小题25 分，共计 50 分）
21. 在锐角三角形 ABC中，
?A?
?
3
，设在其内部同时满足
PA?PB
和
PA?PC
的
1
点P的全体形成的区域G的面积为三角形ABC面积的。证明 三角形ABC为
3
等边三角形。

解答：做
?ABC
的外 接圆O，做
OEE,OF?AC于F,OM?BC于M,
则G为四
A
?AB于
边形AEOF。又
E F
O
C
B
M
D
1
S
四边形AEOF
?S
?ABC
,2S
四边形AEOF
?2S
?AEO
?2S
?AOF
? S
?AOB
?S
?AOC

3
1
所以
S
?OBC
?S
?ABC
。 --------------------------10分
3
1
由已知?BO C?120
?
,则?OBC?30
?
,则OM=R(R为?ABC外接圆半径 )

2
3
作AD?BC于D,则AD?AO?OM?R

2
13R

S
?ABC
??BC?3S
?OBC< br>，等号成立当且仅当A、O、M共线，即
?ABC
为等边三角形。
22
--------------------------25分

6

22. 设
a,b,c?R
?
，且
a?b?c?3
。求证：
a?bb?cc?a3
???
，
2?a?b2?b?c2?c?a2
并指明等号成立的条件。
a
?
?
b
i?1
i
n
2
i
证明：
由柯西不等式
(
?
a
i
)
2
i?1
n
n
得到
i
?
b
i?1
(a?b?c?b?a?c)
2
a?bb?cc?a
?
（1）
??
6?2( a?b?c)
2?a?b2?b?c2?c?a
--------------------1 0分
（1）式右边的分子=
2(a?b?c)?2(a?bc?b?c?ba?c?a?cc ?b)

=
2(a?b?c)?2(b?b(a?c)?ac??)?2(a?b?c )?2(b?2bac?ac??)

22
?2(a?b?c)?2(b?ac?a? bc?c?ab)?3(a?b?c)?(a?b?c)
2

?3(a?b?c?3)
。 --------------------------20分
等号成立条件是
a?b?c?1
。结论成立。 --------------------------25分

7