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高中数学竞赛讲义-同余

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 12:13
tags:高中数学联赛试题

北京高中数学选修几本书-在线解题高中数学

2020年9月22日发(作者:汪静之)


梦想不会辜负每一个努力的人
§27同余
1.设m是一个给定的正整数,如 果两个整数a与b用m除所得的余数相同,则称a与b
对模同余,记作
a?b(modm),否则,就说a与b对模m不同余,记作
a?b(modm)

显然,
a ?b(modm)?a?km?b,(k?Z)?m|(a?b)

每一个整数a恰与1,2,……,m,这m个数中的某一个同余;
2.同余的性质:
1).反身性:
a?a(modm)

2).对称性:
a?b(modm)?b?a(modm)

3).若a?b(modm)

b?c(modm)

a?c(modm)
;
4).若
a
1
?b
1
(modm)

a
2
?b
2
(modm)
,则
a
1
?a
2
?b
1
?b
2
(modm)

特别是
a?b(modm)?a?k?b?k(modm)

5).若
a< br>1
?b
1
(modm)

a
2
?b
2
(modm)
,则
a
1
a
2
?b
1b
2
(modm)

特别是
a?b(modm),k?Z?则ak?bk(modm)


a?b(modm),n?N?则a?b(modm)

6).
a(b?c)?ab?ac(modm)

7).若
ac?bc(modm),则当(c,m)?1时,a?b(modm)


当(c,m)?d时,a?b(mod
8).若
a?b(modm1
)

nn
m
).特别地,ac?bc(modmc)?a?b(modm)

d
a?b(modm
2
)

a?b(modm
3
)

………………

a?b(modm
n
)
,且
M?[m
1
,m
2,??m
n
],则a?b(modM)

例题讲解
1.证明:完全平方数模4同余于0或1;
2.证明对于任何整数
k?0
,
2
.
6k?1
?3
6k?1
?5
6k
?1
能被7整除;
- 1 -


梦想不会辜负每一个努力的人


3.试判断
1971?1972


4.能否把1,2,……,19 80这1980个数分成四组,令每组数之和为
S
1
,S
2
,S3
,S
4

2627
?1973
28
能被3整除吗?
10,S
4?S
3
=10;
且满足
S
2
?S
1
, =10,S
3
?S
2




5.在已知 数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相邻若干数之和,能被11整除
的数 组共有多少组。


nn?1n?2
???a
n?1
x< br>1
?a
n
是整系数多项式, 6.设
f(x)?a
0
x?a
1
x?a
2
x
证明:若
f(0),f(1),?,f (1992)都不能被1992整除,则f(x)没有整数根;



7.试求出一切可使
n?2?1
被3整除的自然数
n



8.在每张卡片上各写出11111到99999的五位数,然后把这些卡片按任意顺序排成 一列,证
明所得到的444445位数不可能是2的幂;


9.设
a
1
,a
2
,?a
n
,?
是任意一个具有性质< br>a
k
?a
k?1
,(k?1)
的正整数的无穷数列,求证可以
把这个数列的无穷多个
a
m
用适当的正整数
x,y表示为a
m
?x?a
p
?y?a
q
,(p?q)




.
- 2 -
n


梦想不会辜负每一个努力的人
例题答案:
1.证明:
设n是任一整数,则n?2k或者n?2k?1,k?Z;

(2k?1)?1(mod4);

当n?2k时,n?4k?0(mod4);当n?2k?1时,n?
所以原命题成立;

2222
2.证:令M?2
6k?1
?3
6k?1
?5
6k
?1
?M?2?2
6k
?3?3?5?1
6k6 k

?2?64
k
?3?729
k
?15625
k
?1
?2?(7?9?1)
k
?3?(7?104?1)
k
?(7?2232?1)
k
?1

?2?7?A?2?3?7?B?3?7? C?1?1
?(2?3?1?1)(mod7)?0(mod7)
?对于?k?0,且k?Z,
2
6k?1
?3
6k?1
?5
6k
?1
都 能被7整除;
注:
a?1(modb)?a?1(modb),k?Z

k ?
3.解:
?
1971?0(mod3),1972?1(mod3),1973?2 (mod3)
?1971
26
?1972
27
?1973
2 8
?(0
26
?1
27
?2
28
)(mod3)< br>即:1971
26
?1972
27
?1973
28
? (1?2
28
)(mod3)

?
2
28
?414
?1(mod3),?(1?2
28
)?2(mod3)
?1971
26
?1972
27
?1973
28
不能被3整除;

4.解:依题意可知:T?S
1
?S
2
?S
3
?S
4
=S
1
?S
1
?10?S
1
?20 ?S
1
?30
?T?4S
1
?60?0(mod4)
198 0?1981

?T
?1?2?3?
?
?1980??990?19 81?2(mod4)
2
?产生矛盾,?不能这样分组;

5.解:记数列各 对应项为a
i
,i?1,2,
?
10,并记S
k
?a
1
?a
2
?
?
?a
k
?S
1
, S
2
,
?
,S
10
依次为1、5,13、23、39、58 、79、104、134、177
它们被11除的余数依次为:1、5、2、1、6、3、2、5、2、 1
由此可得:S
1
?S
4
(mod11)?S
10
(mod11),S
2
?S
8
(mod11),S
3
?S< br>7
(mod11)?S
9
(mod11)
由于S
k
? S
j
是数列{a
i
}相邻项之和,且当S
k
?S
j
(mod11)时,
11|S
k
?S
j
,则满足条件的数组 有:3?1?3?7组

.
- 3 -


梦想不会辜负每一个努力的人
6.证:假设f(x)有整数根m,且m?r( mod1992),0?r?1992
由题意f(r)不能被1992整除,
?
f(m )?0,则f(r)?f(m)?f(r)

?
f(r)?f(m)?a
0< br>(r
n
?m
n
)?a
1
(r
n?1
?m
n?1
)?
?
?a
n?1
(r?m)
?
m?r(mod1992)
?m
i
?r
i
(mod1992),i ?1、2、3、
?
、n
?m
i
?r
i
?0(mod 1992),i?1、2、3、
?
、n
?1992|f(r)?f(m)?f(r)< br>?产生矛盾,?f(x)没有整数根
7.解:若3|n?2
n
?1,则n?2< br>n
?2(mod3)
考虑到n及2
n
,则
当n?6k?1时, (k?0、1、2、
?
)
n?2
n
?(6k?1)?2
6k ?1
?(12k?2)?(3?1)
k
?2(mod3)
当n?6k?2时, (k?0、1、2、
?
)
n?2
n
?(6k?2)?2
6k ?2
?(24k?8)?(3?1)
k
?2(mod3)
当n?6k?3时, (k?0、1、2、
?
)
n?2
n
?(6k?3)?2
6k ?3
?0(mod3)
当n?6k?4时,(k?0、1、2、
?
)
n?2
n
?(6k?4)?2
6k?4
?(96k?64)?(3?1)k
?1(mod3)
当n?6k?5时,(k?0、1、2、
?
)
n?2
n
?(6k?5)?2
6k?5
?(6?32k?160)?(3? 1)
k
?1(mod3)
当n?6k?6时,(k?0、1、2、
?
)
n?2
n
?(6k?6)?2
6k?6
?0(mod3)

由上可知当且仅当n?6k?1,6k?2时,n?2
n
能被3整除;
8.证:记由11111、11112、
??
、99999排成的数为A,则:
A =a
1
a
2
??
a
88889
,a
i?{11111、11112、
??
、99999}
?A=a
1
?10
444440
?a
2
?10
444435
?a
3
?10
444430
?
?
?a
88888
?1 0
5
?a
88889
注意到10
5
?1(mod11111 )?10
5k
?1(mod11111),k?Z
?A?a
1
?a< br>2
?
?
?a
88888
?a
88889
(m od11111)

?
a
1
?a
2
?
?< br>?a
88888
?a
88889
?11111?11112?
?
?99999?
即:a
1
?a
2
?
?
? a
88888
?a
88889
?11111?5?88889
?A? 0(mod11111)
?A不可能是2的幂;
11111?99999
?88889
2

.
- 4 -


梦想不会辜负每一个努力的人
若干个子数列9.证:将{a
n
}按a
2
为模的不同剩余类分成是有限多个
?
{a
n
}为无限集,而子数列却
穷多项?至少有一 个子数列有无
现考虑这个无穷数列

?
{a
n
}为严格递增 的
a
m
?a
p
a
m
属于该子数列,且小的a
p
,a
p
?a
2
,同时还有无限多个?该子数列中必有一个最?
a
m
?a
p
(moda
2
)?a
m
?a
p
?xa
2
,x?Z
令y=1,a
q
?a
2
?a
m
?ya
p
?xa
q
?am
是满足题意的要求,且a
m
是无限多个































.
- 5 -

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