选修2-1教材分析

第一章 常用逻辑用语
知识点
：
一、命题的相关概念
1、命题：用语言、符号或式子表达的可以判断真假的语句.
真命题： 判断为真的语句 . 假命题：判断为假的语句
2、“若
p
，则
q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个
命题称为互逆命题 .其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
即：若原命题为“若
p
， 则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
4、对 于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否
定，则这两个命题称 为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
即：若原命题为“若
p< br>，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
，则
?q
”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否
定， 则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否
命题.
即：若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?q
，则
?p
”.
6、四种命题的真假性：
?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．若
p?q
，则
p
是
q
的 充分必
要条件．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联 结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
都为真时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个 是假命题时，
p?q
是假
命题．
用联结词“或”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
有一个是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
都是假命题时，
p?q
是 命
题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．
若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则
?p
是真命题．
9.“对所有的”“对任意一个”常称为全称量词，用“
?
”表示．含有全称量词的命题称为
全称命题．
“存在一个”“至少有一个”常称为存在量词 ，用“
?
”表示．含有存在量词的命题称为特
称命题．
第二章 圆锥曲线与方程
知识点
：
一、椭圆
1.椭圆的定义：
第一定 义：平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大 于
F
1
F
2
）的点的轨迹称
为椭圆．这两个定点称为椭圆的 焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．。
e?
第二定义：平面上到定点F的距离与到定直线的 距离之比为常数e（即椭圆的离心率，
c
a
）
的点的集合（定点F不在定直线 上，该常数为小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点，
定直线称为椭圆的准线。 (
2、椭圆的几何性质：

?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
)。

焦点的位
焦点在
x
轴上
置
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
准线方程
焦半径(设
?
?
x
0
,y
0
?
)
x
2
2

y
2
2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b

?
y
2
2
?1
?
a?b?0
?

ab
?b?x?b
且
?a?y?a

?
x
2
2
?1
?
a?b?0
?

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?a,0
?

?
1
?
0,?b
?
、?
2
?
0,b
?

?
1
?
0 ,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F2
?
0,c
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
F
2
?2c
?
c?a?b
22
2
2
2
?
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
e?
c
a
?1?
2
b
a
?
0?e?1
?

y??
a
2
x??
a
c

c
< br>PF
1
?ex
0
?a
，
PF
2
?a ?ex
0

PF
1
?ey
0
?a
，
PF
2
?a?ey
0


二、双曲线
1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
） 的点
的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．）
第二定义：面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线 的焦点，定直线叫双曲线的准线
2、双曲线的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
x
2
2
y
2
2
ab
x??a
或
x?a
，
y? R

?
y
2
2
?1
?
a?0,b?0?

ab
y??a
或
y?a
，
x?R

?
x
2
2
?1
?
a?0,b?0
?

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>

焦距
对称性
离心率
准线方程
渐近线方程
焦半径
F
1
F
2
?2c
?
c?a?b
22
2
2
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
e?
c
a
?1?
2
b
a
?
e?1
?
< br>y??
y??
a
a
2
x??
y??
a
c
b
a

x

c
2


c
r=│ex+a│ ；r=│ex-a│ r=│ey-a│；r=│ey-a│
实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
三、抛物线
1.抛物线的定义：平面内 与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物
线．定 点
F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
抛物线的 “通径”是：过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段
??
，
通径长：
???2p
．
2.抛物线的几何性质：
标准方程
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

图形

顶点
对称轴
焦点
准线方程
离心率
范围
焦半径
PF(
?
?
x
0
,y
0
?
)

y
轴


?
0,0
?

x
轴

x??
p
2
p
??
F< br>?
?,0
?

2
??
p
??
F
?
0,
?

2
??

y?
p
2

x?
p
2

y??
p
2

e?1

x?0

PF?x
0
?
p
2
PF??x
0
?
x?0

p
2
y?0

y?0

p
2

PF?y
0
?

PF??y
0
?
p
2


第三章 空间向量与立体几何

知识点：
一、空间向量的概念：
1、
?< br>1
?
在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
?
2
?向量可用一条有向线段来表示．
?
3
?
????
????
向量
??
的大小称为向量的模（或长度），记作
??
．
?
4
?
模（或长度）为0的向量称为零
??
向量；模为
1
的向 量称为单位向量。
?
5
?
与向量
a
长度相等且方向相反的向 量称为
a
的相反

向量，记作-
a
。
?
6
?
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
二、空间向量的运算
1、空间向量的加法和减法：
?
?
1
?
平行四边形法则．
?
2
?
三角形法则．
??
?
2、实数
?
与空间向量
a
的乘积
?
a
是一个向量，称为向量的数乘运算 ．当
?
?0
时，
?
a
与
?
?????a
方向相同；当
?
?0
时，
?
a
与
a
方向相反；当
?
?0
时，
?
a
为零向量，记为0
．
?
a
的
长度是
a
的长度的
?倍．
?
?
3、设
?
，
?
为实数，
a
，
b
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律：
?
??
?
?
?
?
a?b?
?
a?
?
b
； 结合律：
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
．
?
??
4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重 合，则这些向量称为共线向量或平行
向量，并规定零向量与任何向量都共线．平行于同一个平面的向量称 为共面向量．
??
?
?
?
5、对于空间任意两个向量
a< br>，
bb?0
，
ab
（也叫共线）的充要条件是存在实数
?，
?
?
使
a?
?
b
．
?????? ??
??
?
?
6、已知两个非零向量
a
和
b
，在空间任取一点
?
，作
???a
，
???b
，则
????
称为
?
?
?
?
?
?
向量
a
，
b
的夹角，记作
?a,b?
，
两个向量夹角的取值范 围是：
?a,b??
?
0,
?
?
．
??
?
??
?
?
?
?
7、对于两个非零向量
a
和
b
，若
?a,b??
，则向量
a
，
b
互 相垂直，记作
a?b
．
??
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
8 、已知两个非零向量和
b
的数量积，记作
a?b
．即
a?b?abc os?a,b?
．
0?a?
0。
?
?
?
???
?
?
?
aa
9、
a?b
等于的长度
a
与
b
在的方向上的投影
bcos?a,b?
的乘积．
?
???????
??
cos?a,e?
10、若
a
，
b
为非零向量，
e
为单位向量，则有
?
1
?
e? a?a?e?a
；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
aba与b同向
??
?
???
2
a?b?< br>a?a?a
23
a?b?a?b?0
；，，
????
?
?
?
?
?
?
?aba与b反向
?
?
?< br>???
?
?
?
?
a?b
?
?
a?a ?a
?
4
?
cos?a,b??
?
?
；
?
5
?
a?b?ab
．
ab
??
??
11、向量乘积的运算律：
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
???
?< br>?
?
1
?
a?b?b?a
；
?
2
?
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；
?
3
?
a?b?c?a?c?b?c
．
?
?
?
?
12、若
i
，
j
，
k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量
p
，存在有序实数组
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
x,y, z
?
，使得
p?xi?yj?zk
，称
xi
，
yj
，
zk
为向量
p
在
i
，
j
，k
上的分量．
?
??
?
13、空间向量基本定理：若三个向量
a
，
b
，
c
不共面，则对空间任一向量
p
，存在实数
??????
?
???
组
?
x,y,z
?
，使得
p?xa?yb?zc
．
?
?
14.设
a?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，< br>b?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
?
?
?
?
（1）
a?b?
?
x< br>1
?x
2
,y
1
?y
2
,z
1?z
2
?
；
a?b?
?
x
1
?x2
,y
1
?y
2
,z
1
?z
2
?

（2）
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
,
?
z
1
?
．
?

?
?
（3）
a?b?x
1
x
2< br>?y
1
y
2
?z
1
z
2
．
?
?
（4）若
a
、
b
?
??
?
为非零向量，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1y
2
?z
1
z
2
?0
．
?
?
?
?
?
?
（5）若
b?0
，则
ab?a ?
?
b?x
1
?
?
x
2
,y
1< br>?
?
y
2
,z
1
?
?
z
2
．
（6）
a?a?a?
???
x
1
?y
1
?z
1
．
x
1
x
2
?y
1< br>y
2
?z
1
z
2
x?y?z?
2
1
2
1
2
1
222
?
?
?
a?b< br>?
（7）
cos?a,b??
?
?
?
ab
x ?y?z
2
2
2
2
2
2
．
（8）
?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
，< br>??
?
x
2
,y
2
,z
2
?
，则
d
??
????
????
?
x
2
?x
1
?
2
2
?
?
y
2
?y1
?
?
?
z
2
?z
1
?
．
22
22
?
（9）
a?x
1
?y
1
?z
1

?
?
?
x
1
x
2?y
1
y
2
?z
1
z
2
a?b
?
（10）
cos?a,b??
?
?
?
．
22 2222
ab
x
1
?y
1
?z
1
?x2
?y
2
?z
2
??
a?a?
15、
空间中任意一条直线
l
的位置可以由
l
上一个定点
?
以及一 个定方向确定．点
?
是直线
l
上一点，向量
a
表示直线l
的方向向量，则对于直线
l
上的任意一点
?
，
?????
?
?
有
???ta
，这样点
?
和向量
a
不仅可以确定直线
l
的位置，还可以具体表示出直
线
l< br>上的任意一点．
16、直线
l
垂直平面
?
，取直线
l
的方向向量
a
，则向量
a
称为平面
?
的法向量．
?
?
17、若空间不重合两条直线
a
，
b
的方向向 量分别为
a
，
b
，则
?
?
?
?
??
?
?
ab?ab?
a?
?
b
?
??R
?
；
a?b?a?b?a?b?0
．
18、若直线
a
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
n
，且< br>a?
?
，则
a
?
?a
?

???? ?????
?a?n?a?n?0
，
a?
?
?a?
?
?an?a?
?
n
．
?
?
?
?
??
b?
a?
?
b
，19、若空间不重合的两个平面
?< br>，
?
的法向量分别为
a
，
b
，则
?

?
?a
?
?
b
?
a
20、设异面直线a
，的夹角为，方向向量为，
b
，其夹角为
?
，则有
?
?
a?b
cos
?
?cos
?
?
??

ab
??
??
21、设直线
l
的方向向量 为
l
，平面
?
的法向量为
n
，
l
与
?
所成的角为
?
，
l
与
n
的夹角
??
l?n
为
?
，则有
sin
?
?cos
?
?
?
?

ln
?
??
?
?< br>?
?
?a?b?a?b?0
．
??
???
???? ??????
22、设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个面
?
，
?
的法向量，则向量< br>n
1
，
n
2
的夹角（或其

?????
n
1
?n
2
补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，则
cos
?
?< br>?????

n
1
n
2
????
????< br>23、点
?
与点
?
之间的距离可以转化为两点对应向量
??< br>的模
??
计算．
?
24、在直线
l
上找一点
?
，过定点
?
且垂直于直线
l
的向量为
n
，则定 点
?
到直线
l
的距离
????
?
???n
????????
?
为
d???cos???,n??

?
n
?
25、点
?
是平面
?
外一点，
?
是平 面
?
内的一定点，
n
为平面
?
的一个法向量，则点
?
到
????
平面
?
的距离为
d?
???
??
?
cos???
????
,n
?
???n
?< br>??
n
?
．