【最新教材】【创设计-课堂讲义】高中数学北师大版选修1-2练习：第三章 推理与证明 1.1 Word版含解析

新教材适用·北师大版数学

1.1 归纳推理
明目标、知重点 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推
理在数学发展中的作用．

1．归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一 个事物都有这种属性，我们将
这种推理方式称为归纳推理．
2．归纳推理的思维过程
大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．
3．归纳推理具有如下的特点
(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；
(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．

[情境导学]
佛教《百喻经》中有这样一则故事．从前有一位富翁想吃芒果，打 发他的仆人到果园去买，
并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买．”仆人拿好钱就去了．到了果园，园主 说：“我这
里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看．”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当< /p>

个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠．”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜
的就都买回去．带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了．
想一想：故事中仆人的做 法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是
何道理．
探究点一 归纳推理
思考1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬< br>家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张
三一定 生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式
就是推理，请问你认 为什么是推理？
答 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．
思考2 观察下面两个推理，回答后面的两个问题：
(1)哥德巴赫猜想：
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝3＋7
12＝5＋7
14＝7＋7
16＝5＋11
……
1 000＝29＋971
1 002＝139＋863
……
猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
问题：①思考2中的两个推理在思维方式上有什么共同特点？
②其结论一定正确吗？
答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理)
②其结论不一定正确．
小结 归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象都具

有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归 纳推理(简称归纳)．
探究点二 归纳推理在数列中的应用
a
n
例1 已 知数列{a
n
}的第1项a
1
＝1，且a
n
＋
1< br>＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通
1＋a
n
项公式．
11
＝；
1＋1
2
11
23
11
当n＝ 3时，a
3
＝＝；当n＝4时，a
4
＝＝.
1314
1＋1＋
23
解 当n＝1时，a
1
＝1；当n＝ 2时，a
2
＝
1
通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归 纳出a
n
＝.
n
反思与感悟 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发 现某些相同性质；②从已知的相
同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
归纳推理 在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项
公式或探求数列的前n 项和公式．
跟踪训练1 已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，an
＋
1
＝2a
n
＋1(n＝1,2,3，…)
(1) 求a
2
，a
3
，a
4
，a
5
；
(2)归纳猜想通项公式a
n
.
解 (1)当n＝1时，知a
1
＝1，
由a
n
＋
1
＝ 2a
n
＋1得a
2
＝3，
a
3
＝7，a
4
＝15，a
5
＝31.
(2)由a
1
＝1＝2
1
－1，a
2
＝3＝2
2< br>－1，
a
3
＝7＝2
3
－1，a
4
＝15 ＝2
4
－1，a
5
＝31＝2
5
－1，
可归纳猜想出a
n
＝2
n
－1(n∈N
＋
)．
探究点三 归纳推理在图形变化中的应用
例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商 场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正
三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3 ,4，…堆最底层(第一层)分别按
图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层 之上，第n堆第n层就
放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______ ；f(n)＝______(答案用含n
的代数式表示)．

n?n＋1??n＋2?
答案 10
6

解析 观察图形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆
个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f( 3)＋10；…；f(n)＝
n?n＋1?
f(n－1)＋.
2
将以上(n－1)个式子相加可得
n?n＋1?
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋
2
1
＝[ (1
2
＋2
2
＋…＋n
2
)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
2
n?n＋1?
11
＝[n(n＋1)(2n＋1)＋]
262
n?n＋1??n＋2?
＝.
6
反思与感悟 解本例的关键 在于寻找递推关系式：f(n)＝f(n－1)＋
n?n＋1?
，然后用“叠加
2法”求通项．图形中的归纳推理问题主要涉及某固定图形的个数，所以可以转化成数列问题
来求解， 也可从图形的变化规律入手来求解．
跟踪训练2 在平面内观察：
凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，
凸六边形有9条对角线，
…
由此猜想凸n(n≥4且n∈N
＋
)边形有几条对角线？
解 凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，
凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，
……
于是猜想凸n边形比凸(n－1 )边形多(n－2)条对角线．因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋
1
4＋5＋…＋(n－2 )＝n(n－3)(n≥4且n∈N
＋
)．
2
探究点四 归纳推理在算式问题中的应用
例3 观察下列等式，并从中归纳出一般法则．

(1)1＝1
2
，
1＋3＝2
2
，
1＋3＋5＝3
2
，
1＋3＋5＋7＝4
2
，
1＋3＋5＋7＋9＝5
2
，
…
(2)1＝1
2
，
2＋3＋4＝3
2
，
3＋4＋5＋6＋7＝5
2

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝7
2
，
5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝9
2
，
…
解 (1)对于(1)，等号左端是整数，且是从1开始的n项的和，等号的右端是项数的平方；
对于(2) ，等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n－1，等号的右端是项数的平方．
∴(1)猜想结论： 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n
2
(n∈N
＋
)．
(2)猜想 结论：n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)
2
(n∈N
＋
)．
反思与感悟 对于运算式的猜测和推广，这一类问题需要观察的方面很多：首先是式子的共
同结 构特点，其次是式子中出现的字母之间的关系，还有化简或运算的结果等等．另外要注
意对较为复杂的运 算式，不要化简，这样便于观察运算规律和结构上的共同点．
1119111
跟踪训练3 在 △ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋
ABC
π
ABC
1161111125
≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形 A
1
A
2
…A
n
D
2π
ABCDE
3π
中有怎样的不等式成立？
111n
2
答案 ＋＋…＋≥(n≥3且n∈N
＋
)．
A
1
A
2
A
n
?n－2?π
1．已知 < br>2
2＋＝2
3
2
，
3
3
3＋＝3
8
3
，
8

4
4＋＝4
15
4
，…，若
15
a
6＋ ＝6
b
a
(a、
b
b均为实数)．请推测a＝______，b＝_ _______.
答案 6 35

解析 本题考查归纳推理能力，由前面三 个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数
a
和这个分数的分子相同，而分母是这个分子 的平方减1，由此推测 6＋中，a＝6，b＝
b
6
2
－1＝35.
2．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
n
2
－n＋6
答案
2
解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，
n
2
－n
即个，
2
n
2
－n
因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，
2
n
2
－n＋6
即为个．
2
11
3．已 知正项数列{a
n
}满足S
n
＝(a
n
＋)，求出a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，并推测a
n< br>.
2a
n
11
解 a
1
＝S
1
＝ (a
1
＋)，又因为a
1
>0，所以a
1
＝1.
2a
1
1111
当n≥2时，S
n
＝(a
n
＋)， S
n
－
1
＝(a
n
－
1
＋)，
2a
n
2
a
n
－
1
两式相减得：
1111
a
n
＝(a
n
＋)－(a
n
－
1
＋)，
2a
n
2
a
n
－
1
1 1
即a
n
－＝－(a
n
－
1
＋)．
a< br>n
a
n
－
1
1
所以a
2
－＝－2， 又因为a
2
>0，所以a
2
＝2－1.
a
2
1< br>a
3
－＝－22，又因为a
3
>0，所以a
3
＝3－ 2.
a
3
1
a
4
－＝－23，又因为a
4
>0，所以a
4
＝2－3.
a
4
将上面4个式子写成统一的形式：a
1
＝1－0，
a
2
＝2－1，a
3
＝3－2，a
4
＝4－3，

由此可以归纳推测：a
n
＝n－n－1.
[呈重点、现规律]
归纳推理的一般步骤
(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；
(2)从已知的相 同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想．注
意：一般性的命题往往要用 字母表示，这时需注明字母的取值范围．

一、基础过关
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )
A．47 B．65 C．63 D．128
答案 B
解析 5＝2
2
＋1,9＝2
3
＋1,17＝2
4
＋1,33＝2
5
＋1，
归纳可得：x＝2
6
＋1＝65.
2．观察(x
2
)′＝ 2x，(x
4
)′＝4x
3
，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理 可得：若定义在R上的函
数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g (－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
答案 D
解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数 时，其导函
数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
111357
3．f(n) ＝1＋＋＋…＋(n∈N
＋
)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)> 3，f(32)>，推测
23n222
当n≥2时，有________．
n＋2
答案 f(2
n
)>
2
2＋2
解析 f(4)＝f(2
2
)>，
2
3＋2
f(8)＝f(2
3
)>，
2
4＋2
f(16)＝f(2
4
)>，
2
5＋2
f(32)＝f(2
5
)＝.
2
33< br>4．已知sin
2
30°＋sin
2
90°＋sin
2
150°＝，sin
2
5°＋sin
2
65°＋sin
2
125°＝. 通过观察上述两等式
22

的规律，请你写出一个一般性的命题：
______________________________________________ __________________________.
3
答案 sin
2(α－60°)＋sin
2
α＋sin
2
(α＋60°)＝
2
5．已知a
1
＝3，a
2
＝6且a
n
＋
2
＝a
n
＋
1
－a
n
，则a
33
＝ ______.
答案 3
解析 a
3
＝3，a
4
＝－3 ，a
5
＝－6，a
6
＝－3，a
7
＝3，a
8＝6，…，故{a
n
}以6个项为周期循环
出现，a
33
＝a< br>3
＝3.
6．设x∈R，且x≠0，若x＋x
1
＝3，猜想x2n
＋x－2
n
(n∈N
＋
)的个位数字是________．
－
答案 7
解析 当n＝1时，x
2
＋x
2
＝( x＋x
1
)
2
－2＝9－2＝7，
－－
当n＝2时，x< br>4
＋x
4
＝(x
2
＋x
2
)
2－2＝49－2＝47.
－－
∴猜想x2
n
＋x－2
n
的个位数字是7.
1
7．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1且S
n
－
1
＋＋2＝0(n≥2)，计算S
1
，S2
，S
3
，S
4
，并
S
n
猜想Sn
的表达式．
解 当n＝1时，S
1
＝a
1
＝1；
1
当n＝2时，＝－2－S
1
＝－3，
S
2
1
∴S
2
＝－；
3
15
当n＝3时，＝－2－S
2
＝－，
S
3
3
3
∴S
3
＝－；
5
17
当n＝4时，＝－2－S
3
＝－，
S
4
5
5
∴S
4
＝－.
7
2n－3
猜想：S
n
＝－(n∈N
＋
)．
2n－1
二、能力提升
8．如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为________．

答案 ①
解析 观察图中每一行，每一列的规律，从形状和颜色入 手．每一行，每一列中三种图形都
有，故填长方形．又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白． < br>9．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一
个通项 公式为________．

答案 a
n
＝3
n1
(n∈N
＋
)
－
解析 观 察新产生的一个三角形的周围伴随三个着色三角形的产生．∴a
n
＝3
n1
.
－
10．观察下列等式
1
2
＝1
1
2
－2
2
＝－3
1
2
－2
2
＋3
2
＝6
1
2< br>－2
2
＋3
2
－4
2
＝－10
……
照此规律，第n个等式可为______________________．
＋＋
n?n＋1?
答案 1
2
－2
2
＋3
2
－4
2
＋…＋(－1)
n1
n
2
＝(－1)n1
·
2
解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项 ，指数都是2，且正、
负相间，所以等式左边的通项为(－1)
n1
n
2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值
＋
分别为1,3,6,10,15,21 ，….设此数列为{a
n
}，则a
2
－a
1
＝2，a
3
－a
2
＝3，a
4
－a
3
＝4，a
5
－a
4
＝5，…，
n?n＋1?
a
n
－a
n
－
1
＝n，各式相加得a
n
－a
1
＝2＋3＋4 ＋…＋n，即a
n
＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以
2
＋＋
n?n＋1 ?
第n个等式为1
2
－2
2
＋3
2
－4
2
＋…＋(－1)
n1
n
2
＝(－1)
n1
·.
2
11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
1
(1)a
1
＝a，a
n
＋
1
＝； 2－a
n
(2)对一切的n∈N
＋
，a
n
>0，且2S
n
＝a
n
＋1.
解 (1)由已知可得a
1
＝a，
2－a
111
a
2
＝＝，a
3
＝＝，
2 －a
1
2－a2－a
2
3－2a

3－2a
1
a
4
＝＝.
2－a
3
4－3a
?n－1?－?n －2?a
猜想a
n
＝(n∈N
＋
)．
n－?n－1?a
(2)∵2S
n
＝a
n
＋1，
∴2S
1
＝a
1
＋1，即2a
1
＝a
1
＋ 1，
∴a
1
＝1.又2S
2
＝a
2
＋1， ∴2a
1
＋a
2
＝a
2
＋1，∴a
2
2
－2a
2
－3＝0，
∵对一切的n∈N
＋
，a
n
>0，∴a
2
＝3.
同理可求得a
3
＝5，a
4
＝7，
猜想出a
n
＝2n－1(n∈N
＋
)．
12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．
(1)3条直线最多将平面分成多少部分？
(2)设n条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n＋1)与f(n)的关系；
(3)求出f(n)．
解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分．
(2)f(n＋1)＝f(n)＋n＋1.
(3)f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋ [f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…
n
2
＋n＋2
＋2＋2＝.
2
三、探究与拓展
1
13．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶
4
1
液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为b
n
，计算 b
1
、b
2
、b
3
，并归
4
纳出计算公式 ．
rap
a·＋·
1004100
141
解 b
1
＝＝(r＋p)；
a10055
a＋
4
ap
ab
1
＋·
4100
14
2
14
b
2＝＝[()r＋p＋
2
p]；
a100555
a＋
4
ap
ab
2
＋·
4100
14
3
144
b
3
＝＝[()r＋p＋
2
p＋
3
p]．
a100 5555
a＋
4

4
n1
14
n
14
归纳得b
n
＝[()r＋p＋
2
p＋…＋
n
p]．
1005555
－