高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用教学案新人教A版选修1-2

线性回归模型用
y
＝
bx
＋
a
＋
e
来表示，其中
a
和
b
为模型的未知参数，
e
称为随 机误差．
(4)刻画回归效果的方式

残差

残差图

^
把随机误差的估计值
e
i
称为相应于点(
x
i< br>，
y
i
)的残差
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或 身高数据，或体重估
计值等，这样作出的图形称为残差图
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这
残差图法

样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度
越高
残差
平方和

^
2
残差平方和为
?
(
y
i
－
y
i
)，残差平方和越小，模型拟合效果越好
i
＝1
n
^
?

y
i
－
y
i
i
＝1
n
2
相关
指数
R
2
R
＝1－
n
2
，
R
表示解释变量对于预报变量变 化的贡献率，
R
22
?

y
i
－
y
i
＝1
2
越接近于1，表示回归的效果越好
[问题思考]
^< br>(1)通过教材P
2
中的例1计算出的回归方程
y
＝0.849
x
－85.712可以预报身高为172 cm
的女大学生的体重为60.316 kg.请问，身高为172 cm的女大学生的体重一定是60.316 kg
吗？为什么？
提示：不一定．从散点图可以看出，样本点散布在一条直线的附近，而不是在一条直线
上，所以不能用一 次函数
y
＝
bx
＋
a
表示．
(2)下列说法正确的有哪些？
①在线性回归模型中，
e
是
bx< br>＋
a
预报真实值
y
的随机误差，它是一个可观测的量；②
残差 平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用
R
来刻画回归效果，
R
越小，拟合 的效果越
好；④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
提示：
e是一个不可观测的量，故①不正确；
R
越小，残差平方和越大，即模型的拟合
效果 越差，故③不正确；②④是正确的．

[课前反思]
(1)回归分析的定义是什么？如何求回归直线方程？
2
22

(2)线性回归模型是什么？


(3)残差、残差图的定义是什么？如何作残差图？


(4)残差平方和和相关指数
R
的定义是什么？它们与回归效果有什么关系？


2




[思考] 求线性回归方程的步骤是什么？
名师指津：(1)列表表示
x
i
，
y
i
，
x
i
y
i
，
x
i
；
n
2
2
n
(2)计算
x
，
y
，
?
x
i
，
?
x
i
y
i
；
i
＝1
i
＝1
^^
(3)代入公式计算
a，
b
的值；
(4)写出线性回归方程．
讲一讲
1．(链接 教材P
2
－例1)某种产品的广告费用支出
x
与销售额
y
( 单位：百万元)之间有如
下的对应数据：
x
百万元

y
百万元

(1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
2

30

4

40

5

60

6

50

8
70
(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额．

[尝试解答] (1)散点图如图所示：

(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i
x
i

y
i

x
i
y
i

x
2
i

1

2

3

6

4

2

4

3

5

4

6

5

8

合计
25
0
1 380
145


16



25



36


60

64

5
252 50
2
所以，
x
＝＝5，
y
＝＝50，
?
x
i
＝145，
55
i
＝1
5
?
xi
y
i
＝1 380.
i
＝1
－－
?
x
i
y
i
－5
xy
^
于是可得
b
＝
i
＝1
5

5
i
－5
x
?< br>x
2
i
＝1
2
＝
^
1 380－5×5×50
＝6.5，
2
145－5×5
－^－
a＝
y
－
bx
＝50－6.5×5＝17.5.
^
所以所求的线性回归方程为
y
＝6.5
x
＋17.5.
(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，
^
y
＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，
即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．


(1 )求线性回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，如果两个变量本身不具备相关
关系，或者它们之间 的相关关系不显著，那么即使求出回归方程也是毫无意义的．
^^^
(2)写出回归直线方程
y
＝
bx
＋
a
，并用回归直线方程进行预测说明：当
x
取
x
0
时，由线

^
性回归方程可得y
0
的值，从而可进行相应的判断．

练一练
1．某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生
学科成绩

数学成绩(
x
)

物理成绩(
y
)

(1)画出散点图；
(2)求物理成绩
y
对数学成绩
x
的回归直线方程；
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
解：(1)如图所示．
A
88

78

B
76

65

C
73

71

D
66

64

E

63
61

1
(2)因为
x
＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
5
y
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，
5
1< br>5
?
x
i
y
i
＝88×78＋76×65＋73×7 1＋66×64＋63×61
i
＝1
＝25 054，
5
22222
i
＝88＋76＋73＋66＋63＝27 174.
?
x
2
i
＝1
－－
?
x
i
y< br>i
－5
xy
^
所以
b
＝
i
＝15
5
25 054－5×73.2×67.8
＝
2
27 17 4－5×73.2
2
i
－5
x
?
x
2
i< br>＝1
^^－
≈0.625，
a
＝
y
－
bx< br>≈67.8－0.625×73.2＝22.05.
^
故
y
对
x
的回归直线方程是
y
＝0.625
x
＋22.05.
^
(3)
x
＝96，则
y
＝0.625×96＋22.05≈82，

即可以预测他的物理成绩是82.

[思考] 如何用残差图、残差平方和、相关指数
R
分析拟合效果？
名师指津：残差图的带状区 域的宽度越窄，模型拟合精度越高；残差平方和越小，模型
拟合效果越好；
R
越接近于 1，模型拟合效果越好．
讲一讲
2．假定小麦基本苗数
x
与成熟期有效穗
y
之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
2
2
x
y
15.0

39.4

25.8

42.9

30.0

42.9

36.6

43.1

44.4
49.2
(1)以
x
为解释变量，
y
为预报变量，作出散点图；
( 2)求
y
与
x
之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求
R
，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？
[尝试解答] (1)散点图如下．
2

(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线 的附近，有比较好的线性相关关系，
因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
^^^< br>设回归方程为
y
＝
bx
＋
a
.
x
＝ 30.36，
y
＝43.5，
5
2
5
i
＝9 511.43.
?
x
i
＝5 101.56，
?
y
2
i
＝1
i
＝1
－－
xy
＝1 320.66，
x
2
＝921.729 6，
5
?
x
i
y
i
＝6 746.76.
i
＝1
5
?
x
i
y
i
－5
x

y
^
则
b
＝
i
＝1
^^
≈0 .29，
a
＝
y
－
b

x
≈34.70.
5
i
－5
x
?
x
2
i
＝1
2

^
故所求的回归直线方程为
y
＝0.29
x＋34.70.
^
当
x
＝56.7时，
y
＝0.29 ×56.7＋34.70＝51.143.
估计成熟期有效穗为51.143.
^^^^^ ^^^^
(3)由于
y
i
＝
bx
i
＋
a< br>，可以算得
e
i
＝
y
i
－
y
i分别为
e
1
＝0.35，
e
2
＝0.718，
e
3
＝－0.5，
e
4
＝
^^
2
－2.2 14，
e
5
＝1.624，残差平方和：
?

e
i
≈8.43.
i
＝1
5
5
(4)
?
(
y
i
－
y
)＝50.18，
2
i
＝1
8.43
2
故
R
＝1－≈0.832.
50.18
所以解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了83.2%，残差变量贡献了约1－83.2%＝
16. 8%.



(1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散 点图来判断它们是否线性相
^^^
关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差e
1
，
e
2
，…，
e
n
来判断模型拟 合的
效果．
(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合 度越高，
回归方程预报精确度越高．

练一练
2．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：
次数(
x
)

成绩(
y
)


(1)作出散点图；
(2)求出线性回归方程；
(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果；
(4)计算
R
，并说明其含义．
解：(1)作出该运动员训练次数
x
与成绩
y
之间的散点图，如图所示，由散点图可知，
它们之间具有线性相关 关系．
2
3

3











46

48

50
51

8
(2)∵
x
＝39.25，
y
＝40.875，
?
x
i＝12 656，
2
i
＝1
8
2
8
?
y
i
＝13 731，
?
x
i
y
i
＝13 180，
i
＝1
i
＝1
8
?

x
i
－
x
^
∴
b
＝
i
＝1
8
yi
－
y
＝
－－
?
x
i
y
i< br>－8
xy
i
＝1
8
≈1.041 5，
8
?

x
i
－
x
i
＝1
2
i
－8
x
?
x
2
i
＝1
2^
a
＝
y
－
bx
≈－0.003 875，
^
∴线性回归方程为
y
＝1.041 5
x
－0.003 875.
(3)残差分析
^^^^^^^
计算得
e
1
≈ －1.24，
e
2
≈－0.366，
e
3
≈0.551，< br>e
4
≈0.468，
e
5
≈1.385，
e
6
≈0.178，
e
7
^
^
≈0.095，
e8
≈－1.071.作残差
图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比
较合适．

(4)计算相关指数
R

计算相关指数
R
≈0.985 5，说明了该运动员成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的.


讲一讲
3．(链接教材P
6
－例2)某地区六年来轻工业产品利润总额
y
与 年次
x
的试验数据如下
表所示：
2
2

年次
x
利润总额
y
1

11.35

2

11.85

3

12.44

4

13.07

5

13.59

6
14.41
x
由 经验知，年次
x
与利润总额
y
(单位：亿元)近似有如下关系：
y< br>＝
abe
0
.其中
a
，
b
均
为正数 ，求
y
关于
x
的回归方程．
[思路点拨] 解答此题可根据散点图 选择恰当的拟合函数，而本题已经给出，只需将其
转化为线性函数，利用最小二乘法求得回归直线方程， 再将其还原为非线性回归方程即可．
[尝试解答] 对
y
＝
abe
0
两边取自然对数，得ln
y
＝ln
ae
0
＋
x
ln
b
，令
z
＝ln
y
，则
z
与
x
的数据如下表：
x
x
z
1

2.43

2

2.47

3

2.52

4

2.57

5

2.61

6
2.67
由
z
＝ln
ae
0
＋
x
ln
b
及最小二乘法公式，得
ln
b
≈0.047 7，ln
ae
0
＝2.378，
^^
x
即
z
＝2.378＋0.047 7
x
，故
y
＝10.8×1.05.


非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与
学过的各种函 数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得
最好的函数，然后采用适 当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其
一般步骤为：


练一练
3．某电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压< br>U
随时
间
t
变化的规律用公式
U
＝
A
e(
b
<0)表示，现测得时间
t
(s)时的电压
U
(V )如下表：
bt
t
s

U
V


1










0


15


10


10


5

0
5

试求：电压
U
对时间
t
的回归方程(提示：对公式两边取自然对数， 把问题转化为线性
回归分析问题)．
解：对
U
＝
A
e两边取对数得ln
U
＝ln
A
＋
bt
，
令
y
＝ln
U
，
a
＝ln
A
，
x
＝
t
，
则
y
＝
a
＋
bx
，
y
与
x
的数据如下表：
bt
x
y

4.6


4.3


4.0


3.7


3.4


3.0


2.7


2.3


2.3


1.6

0
1.6
根据表中数据画出散点图，
如图所示，从图中可以看出，
y
与
x
具有较好的线性相关关系，
由表中数据求得
x
＝5，
y
≈3.045，
^^^－由公式计算得
b
≈－0.313，
a
＝
y
－
b x
＝4.61，
^
所以
y
对
x
的线性回归方程为
y
＝－0.313
x
＋4.61.

^
所以ln
U
＝－0.313
t
＋4.61，
^
－0.313
t
＋4.61－0.313
t
4.61
即
U
＝e＝e·e ，
^
－0.313
t
4.61
因此电压
U
对时间
t
的回归方程为
U
＝e·e.
————————————[课堂归纳·感悟提升]————————

1．本节课 的重点是线性回归方程的求法及线性回归分析，难点是残差分析和非线性回
归分析问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)线性回归分析，见讲1；
(2)残差分析，见讲2；
(3)非线性回归分析，见讲3.

课下能力提升(一)
[学业水平达标练]

题组1 线性回归分析
1．关于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确
定
B．线性相关系数可以是正的也可以是负的
C．在回归分析中，如果
r
＝1 或
r
＝±1，说明
x
与
y
之间完全线性相关
D．样本相关系数
r
∈(－1,1)
解析：选D 样本的相关系数应满足－1≤
r
≤1.
2．为了研究变量
x
和y
的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直
线
l
1< br>和
l
2
，已知两人计算过程中
x
，
y
分别相 同，则下列说法正确的是( )
A．
l
1
与
l
2
一定平行
B．
l
1
与
l
2
重合
C．
l< br>1
与
l
2
相交于点(
x
，
y
)
D．无法判断
l
1
和
l
2
是否相交
解析：选C 回归直线一定过样本点的中心(
x
，
y
)，故C正确．
^^^
3．若某地财政收入
x
与支出
y
满足回归方程
y
＝
bx
＋
a
＋
e
i
(单位：亿元)(
i
＝1,2，…)，
^^
其中
b
＝0.8，
a＝2，|
e
i
|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超 过( )
A．10亿元 B．9亿元
C．10.5亿元 D．9.5亿元
^
解析：选C
y
＝0.8×10＋2＋
e
i
＝10＋
e
i
，
∵|
e
i
|<0.5，
^
∴9.5＜
y
<10.5.
4．甲、乙、丙、丁四位同学在建立 变量
x
，
y
的回归模型时，分别选择了4种不同模型，
2