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1999年全国高中数学联赛试卷及答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
更新日期:2020年 09月 30日 星期三

高中数学2目录-高中数学一般多少分满



1999年全国高中数学联合竞赛试卷

第一试

一、选择题
本题共有6小题,每题均给出(A)、(B)、(C )、(D)四个结论,其中有且仅有一个
是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题 选对得6分;不选、选错
或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。
1. 给定公比为q(q?1)的等比数列{a
n
},设b
1
=a< br>1
+a
2
+a
3
, b
2
=a
4
+a
5
+a
6
,…,
b
n
=a
3n?2
+a
3n?1
+a
3n
,…,则数列{b
n
}

【答】( )
(A) 是等差数列 (B) 是公比为q的等比数列
(C) 是公比为q
3
的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列
2. 平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式
(|x|?1)
2
+(|y|?1)
2
<2的整点(x,y)的个数是 【答】( )
(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 25
?y?y
3. 若(log
2
3 )
x
?(log
5
3)
x
≥(log
2
3 )?(log
5
3),则 【答】( )
(A) x?y≥0 (B) x+y≥0 (C) x?y≤0 (D) x+y≤0
4. 给定下列两个关于异面直线的命题:
命题Ⅰ:若平面
?
上的直线a与平面
?
上的直线b为异面直线,直线c是
?

?
的交线,
那么,c至多与a,b中的一条相交;
命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。
那么 【答】( )
(A) 命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 (B) 命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确
(C) 两个命题都正确 (D) 两个命题都不正确
5. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2
场之后就退出了,这 样,全部比赛只进行了50场。那么,在上述3名选手之间比赛的
场数是 【答】( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
6. 已知点A(1,2),过点(5,?2)的直线与抛 物线y
2
=4x交于另外两点B,C,那么,△ABC是
(A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定 【答】( )

二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。
7. 已知正整数n不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么,这样的
n的个数是___________.
cos2
?
?isin2
?
5
,那么,复数
z?
的辐角主值是_________.
12
239?i
ctgC
9. 在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB =c,若9a
2
+9b
2
?19c
2
=0,则=_____ _____.
ctgA?ctgB
8. 已知
?
=arctg
x< br>2
y
2
??1
上,10. 已知点P在双曲线并且P到这条双曲线的右 准线的距离恰是P到这条
169
双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P的横坐标是__ ___.
11. 已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{?3,?2,?1,0, 1,2,3}中的3个不同的元素,并
且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是_____ _.
1



12. 已知三棱锥S?ABC的底面是正三角形,A 点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,
二面角H?AB?C的平面角等于30?,
SA
=2
3
。那么三棱锥S?ABC的体积为__________.

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13. 已知当x?[0,1]时 ,不等式
x
2
cos
?
?x(1?x)?(1?x)
2sin
?
?0
恒成立,试求的取值范
围。










































2



x
2
y
2
5
?? 1
上的动点,F是左焦点,当|AB|+|BF|取最小14. 给定A(?2,2),已知B是椭圆
2516
3
值时,求B的坐标。




















22
15. 给定正整数n和正数M,对于满足条件
a
1
试求
?a
n?1
≤M的所有等差数列a
1
,a
2
,a
3
,….,
S=a
n+1
+a
n+2
+…+a
2n +1
的最大值。

















3




第二试

一、(满分50分) 如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD。在C D上取一点E,
BE与AC相交于F,延长DF交BC于G。求证:∠GAC=∠EAC.


A



D


E


F
B

G


C































4



二、(满分50分) 给定实数a, b, c,已知复数z
1
, z
2
, z
3
满足:
?
|z
1
|?|z
2
|?|z
3
|?1
?
?
z1
?
z
2
?
z
3
?1
,求|az1
+bz
2
+cz
3
|的值。
?
?
z
2
z
3
z
1












































5




三、(满分50分) 给定 正整数n,已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质
量为1,2,3,…,n克的所有物 品。
(1)求k的最小值f(n);
(2)当且仅当n取什么值时,上述f(n)块砝码的 组成方式是唯一确定的?并证明你的结
论。






























6



1999年全国高中数学联合竞赛答案
一、选择题
题号
答案
提示:
1.(C). 由题设,
a
n
?a
1
q
n?1

1
C
2
A
3
B
4
D
5
B
6
C
因此,
?
b
n
?
是公比为
q
的等比数列.
3

2.(A) 由
?
|x|?1
?
?
?
|y|?1
?
?2
,可得(|x|-1,|y|-1)为(0,0),(0 ,1),(0,-1),
(1,0)或(-1,0).从而,不难得到(x,y)共有16个.
22
3.(B) 记f(t)=
?
log
2
3
?
?
?
log
5
3
?
,则f(t)在R上是严格增 函数.原不等式即
tt
f(x)≥f(-y). 故x≥-y,即x+y≥0.
4.(D). 易知命题Ⅰ不正确;又可以取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,
且 使这些直线两两不同向,则这些直线中的任意两条都是异面直线,从而命题Ⅱ也不正确.
5.(B) 设这三名选手之间的比赛场数是r,共n名选手参赛.由题意,可得
2

C
n ?3
?6?r?50

?
n?3
??
n?4
?=44+r.由于0≤r≤3,经检验可知,仅当r=1时,n=13
2
为正整数.
6.(C) 设B(t
2
,2t),C(s
2
,2s),s≠ t,s≠1,t≠1,则直线BC的方程为,化得2x-(s+t)y+2st=0.
由于直线BC过点(5,-2),故2×5-(s+t)(-2)+2st=0,即(s+1)(t+1)= - 4.
因此,
k
AB
k
AC
?
二、填空题
题号
答案

提示:7. 6. 首项为a为的连续k个正整数之和为
S
k
?





4
??1
,所以,∠BAC=90°,从而△ABC是直角三角形.
?
t?1
??
s?1
?
8 9 10

?

11
43

12 7
6

64

5
?
2a?k?1
?
k
2
?
k
?
k?1
?

2




由Sk≤2000,可得60≤k≤62.
当k=60时,Sk=60a+30? 59,由Sk≤2000,可得a≤3,故Sk=1830,1890,1950;
当k=61时,S k=61a+30?61,由Sk≤2000,可得a≤2,故Sk=1891,1952;
当k=62时,Sk=62a+31?61,由Sk≤2000,可得a≤1,故Sk=1953.
7



于是,题中的n有6个.
8.
?
2
z的辐角主值 argz=arg[(12+5i)(239-i)]
4
=arg[(119+120i) (239-i)] =arg[28561+28561i]=
9.
.
?

4



10.记半 实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c,离心率为e,点P到右准线l的
距离为d,则a=4, b=3, c=5, ,右准线l为.
如果P在双曲线右支,则 |PF
1
|=|PF
2
|+2a=ed+2a.
从而,|PF
1|+|PF
2
|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d,
这不可能;故P在双曲线的左支,则 |PF
2
|-|PF
1
|=2a , |PF
1
|+|PF
2
|=2d.
两式相加得2|PF
2
|=2a+2d. 又|PF
2
|=ed,从而ed=a+d.
a
a
2
64
?16
. 因此,P的横坐标为
x??d??
. 故
d?
e?1
c5
11. 43 设倾斜角为θ,则tgθ=->0.不妨设a>0,则b<0.
(1)c=0,a有三种取法,b 有三种取法,排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同
一直线),故这样的直 线有3?3-2=7条;
(2)c≠0,则a有三种取法,b有三种取法,c有四种取法,且其中 任两条直线均不相
同,故这样的直线有3?3?4=36条.
从而,符合要求的直线有7+36=43条.
12. 由题设,AH⊥面SBC.作BH⊥SC 于E.由三垂线定理可知SC⊥AE,SC⊥AB.故SC
⊥面ABE.设S在面ABC内射影为O,则 SO⊥面ABC.由三垂线定理之逆定理,可知CO⊥AB
于F.同理,BO⊥AC.故O为△ABC的 垂心.
又因为△ABC是等边三角形,故O为△ABC的中心,从而SA=SB=SC=.
因为CF⊥AB,CF是EF在面ABC上的射影,由三垂线定理,EF⊥AB.所以,∠EFC是 二
面角H-AB-C的平面角.故∠EFC=30°,
OC=SCcos60°=
3
,SO= OC tg60°=3.
又OC=
3
93
AB,故AB=
3
OC=3. 所以,VS- ABC=.
4
3
22
三、解答题
13. 若对一切x?[0,1],恒有f(x)=
xcos
?
?x(1?x)?(1?x)sin
?
?0

8



则 cosθ=f(1)>0, sinθ=f(0)>0. (1)
取x? (0,1),由于
f
?
x
?
?2x
?
1?x
?
sin
?
cos
?
?x
?
1?x
?

所以,
f
?
x
?
?0
恒成立,当且仅当
2sin
?
cos
?
?1?0
(2 )
?
.
2
1
?
5
?
又由(2)得 sin2θ> 注意到0<2θ<π,故有
<2θ<
,
266
?
5
?
所以,
<θ<
.
121 2
?
5
?
因此,原题中θ的取值范围是2kπ+
<θ<2kπ+ ,k?Z.
1212
先在[0,2π]中解(1)与(2):由cosθ>0,s inθ>0,可得0<θ<
或解:若对一切x∈[0,1],恒有
f(x)=xcosθ-x(1-x)+(1-x)sinθ>0,
则cosθ=f(1)>0,sinθ=f(0)>0. (1)
取 x
0
=
由于
所以,00
)=2
故 -+>0 (2)
∈(0,1),则
+2
x
0
(1-x
0
) .
x(1-x),

22
反之,当(1),(2)成立时,f(0)=sinθ>0,f(1)= cosθ>0,且x∈(0,
1)时,f(x)≥2x(1-x)>0.
先在[0,2π]中解(1)与(2):
由cosθ>0,sinθ>0,可得0<θ<
又-

+>0,
,
,
>
.
,
sin2θ>, sin2θ>
注意到 0<2θ<π,故有 <2θ<
9



所以,<θ< .
<θ<2kπ+ ,k∈Z 因此,原题中θ的取值范围是 2kπ+

14. 记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c,离心率为e. 则a=5,b=4,c=3,e=
左准线为x=
?
3

5
2 525
, 过点B作左准线x=
?
的垂线,垂足为N,过A作此准线的垂线,
33
5
垂足为M.由椭圆定义,|BN|=|BF| .
3
5
于是,|AB|+
|BF|=|AB|+|BN|≥|AM|(定值),等号成立当且仅当B是AM与椭 圆的交点
3
时,此时B(
?

15. 设公差为d,
a
n?1
=α,则
S=
a
n?1
?a
n?2
???a
2n?1
=(n+1)α+
5
5353
,2) , 所以,当|AB|+|BF|取最小值时,B的坐标为(
?
,2).
3
22
n
?
n?1
?
d.
2


.

因此 |S|≤
且当 α=
S=(n+1)〔
(n+1)
,d=
+?

?
?

时,

10



=(n+1) =(n+1)
. 由于此时4α=3nd,故
所以,S的最大值为

(n+1).



1999年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

一、解析:连结BD交AC于H.对△BCD用塞瓦定理,可得
因为AH是∠BAD的平分线,由角平分线定理,可得

AE的延长线于J.

从而,CI=CJ.
又因为 CI∥AB,CJ∥AD,
故 ∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ.
因此,△ACI≌△ACJ.
从而,∠IAC=∠JAC,即 ∠GAC=∠EAC

二、解析: 记 e
可设 ,





过点C作AB的平行线AG的延长线于I,过点C作AD的平行线交
. 所以,
=cosθ+isinθ.
,则
+e

z
1
?e
i(
?
?
?
)

z
3
-i(θ+φ)
由题设,有e+e=1.φ
两边取虚部,有
0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)
11




因而,z
1
=z
2
或z< br>2
=z
3
或z
3
=z
1

如果z
1
=z
2
,代入原式即
故 .

故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ,k∈Z.

这时,|az
1< br>+bz
2
+cz
3
|=|z
1
||a+b±ci|
=.
; 类似地,如果z
2
=z
3
,则| az
1
+bz
2
+cz
3
|=
如果z
3< br>=z
1
,则|az
1
+bz
2
+cz
3|=
所以,|az
1
+bz
2
+cz
3
|的值为


或 或
三、解析:(1)设这k块砝码的质量数分别为a
1
,a
2
,…,a
k
,且1≤a
1

a
2
≤…≤a
k
,a
i
∈Z,1≤i≤k.因为天平两端都可以放砝码, 故可称质
量为 x
i
a
i
,x
i
∈{-1,0,1 }.若利用这k块砝码可以称出质量为1,
2,3,…,n的物品,则上述表示式中含有1,2,…,n ,由对称性易
知也含有0,-1,-2,…,-n,即
{x
i
a
i
|x
i
∈{-1,0,1}}{0,±1,…,±n}.
所以,2n+1=|{0,±1,…,±n}| ≤|{x
i
a
i
|x
i
∈{-1,0,1}}
12



|≤3,
即 n≤


m-1
k
且k=m时,可取a
1
=1,a
2
=3,…,a
m
=3 .
y
i
3
i-1
由数的三进制表示可知,对任意0≤p≤3-1,都有 p=
∈{0,1,2}.
则 p-=y
i
3
i-1
m,其中y
i
-3
i-1
=(y
i
-1)3
i- 1

令x
i
=y
i
-1,则x
i
∈{-1,0,1}.
故对一切-
{-1,0,1}.
由于n≤,因此,对一切-n≤
l
≤n的整数
l
,也有上述表示.

l
≤ 的整数
l
,都有
l
=x
i
3
i-1
,其中x
i

综上,可知k的最小值
f(n)=m?( (2)Ⅰ.当

若1≤
l


l
=


x
i
3
i-1
m-1m
m-1
,3就是
m
一种砝码的组成方式.下面我们证明1,3,…, 3,3-1也是一种方
,由(1)可知
l
=
+0?(3-1);


m
x
i
3
i-1
,x
i
∈{-1,0,1}.
<
l
≤n<3
<
l
+1≤
由(1)可知

l
+1=,其中x
i
∈{-1,0,1}.
13



易知x
m+1
=1.(否则
l

所以,当n≠
3
i-1
-1=-1,矛盾)则
l
=?(31).
m-
时,f(n)块砝码的组成方式不惟一.
Ⅱ.下面我们证明:当n=
一的,即a
i
=3
i-1
时,f(n)=m块砝码的组成方式是惟
(1≤i≤m).

l
≤,都有
l
=x
i
ai
,x
i
∈{-1,0,1}.
{0,±1,…,±}.
若对每个-
即 {x
i
a
i
|x
i
∈{-1,0,1}}
注意左边集合中至多有3m个元素.故必有
{x
i
a
i
| x
i
∈{-1,0,1}}={0,±1,…,±

l
≤ ,都可以惟一地表示为
}.
从而,对每个
l
,-

l
=
因而,

a
i
=.则
x
i
a
i
,其中x
i
∈{-1,0,1}. (x
i
+1)a
i
=x
i
a
i
+a< br>i
=
m
x
i
a
i
+.
令y
i
=x
i
+1,则y
i
∈{0,1,2}.
由上可知,对每个0≤
l
≤3-1,都可以惟一地表示为

l
=y
i
a
i
,其中y
i
∈{0,1,2}.
特别地,易知1≤a
1
2
<…m

下面用归纳法证明a
i
=3
当i=1时,易知
i-1
?(1≤i≤m).
y
i
a
i< br>中最小的正整数是a
1
,故a
1
=1.
i-1
假设当1≤i≤p时,a
i
=3
由于y
i
a
i
=y
i
3
i-1

, y
i
∈{0,1,2}就是数的三进制表示,易知
p
它们正好是 0,1,2,…,3-1,故a
p+1
应是除上述表示外{
14
y
i
a
i
|y
i



∈{0,1,2}}中最小的数,因此,a
p+1
=3.
由归纳法可知 ,a
i
=3
i-1
p
(1≤
i
≤m).
综合Ⅰ,Ⅱ可知,当且仅当n=
惟一确定的.


时,上述f(n)块砝码的组成方式是
15

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