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2009年全国高中数学联赛试题及详细解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
更新日期:2020年 09月 30日 星期三

高中数学用书名-一题多解高中数学





受中国数学会委托,2009年全国高中数学联赛由黑龙江 省数学会承办。中国数学会普
及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。
2009年全国高 中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数
学教学大纲》中所规定的教学 要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对
基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和 灵活运用的能力。全卷包括8填空题和3道
大题,满分100分。答卷时间为80分钟。
全国 高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当
增加一些竞赛教学大纲 的内容。全卷包括4道大题,其中一道平面几何题,试卷满分200
分。答卷时问为150分钟。

一 试
x
2
y
2
5.椭圆
2?
2
?1
?
a?b?0
?
上任意两点
P

Q
,若
OP?OQ
,则乘积
OP?OQ
的最小值
ab
为 .
1. 若方程
lgkx?2lg
?
x?1< br>?
仅有一个实根,那么
k
的取值范围是 .
[来源:21世纪教育网]
2. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均 等于其肩上的两
个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前
100
个正整数按从小到 大排成的行,则最后一
行的数是 (可以用指数表示)
3. 某车站每天
8 ∶00~9∶00

9∶00~10∶00
都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为
到站时刻
8∶10

9∶10

8∶30

9∶30

8∶50

9∶50

11
1

概率
62
3
一旅客
8∶20
到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分).
二、解答题
[来源:21世纪教育网]




9、(14分)设直线
l:y?k?x
x
2
y
2
(其中
k

m
为整数)与椭圆
?
m
?1< br>交于不同两
1612
x
2
y
2

A

B
,与双曲线
??1
交于不同两点
C

D
,问是否存在直线
l
,使得向量
412
AC?BD?0
,若存在, 指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.





加试

一、填空(共4小题,每小题50分,共200分)
12、如图,
M

N
分别为锐角三角形
?ABC

?A??B< br>)的外接圆
?
上弧
BC

AC

中点.过点
C

PC∥MN
交圆
?

P
点,
I

?ABC
的内心,连接
PI
并延长交圆
?
于< br>T

⑴求证:
MP?MT?NP

?NT
⑵在弧
AB
(不含点
C
)上任取一点
Q

Q≠A

T

B
),记
?AQC

△QCB
的内
心分别为
I
1

I
2


求证 :
Q

I
1

I
2

T
四点共圆.








13、
P
N
I
T
A
Q
C
MB
求证不等式:
1
?
n
k
?
?1?
?
?
2
?lnn≤

n?1
,2,…
?
2
?
k?1
k?1
?









14、
互素.





k

l是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数
m≥k
,使得
C
k
m

l





2009全国高中数学联赛解答
一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)
x
99
?
f
?
ff
?
x
?
?1.若函数
f
?
x
?
?

f
(n)< br>?
x
?
?f
?
,则
f
??
?
1
?
?

??
??
1?x
2
n
【答案】
1

10




【解析】
f
?
1?
?
x
?
?f
??
x?
……,
f?
99
?
?
x
?
?
x
1?99x2
x
1?x
2

f
?
2
?
?
x
?
?f
?
?
f
?
x
?
?
?
?
x
1?2x
2

.故
f
?
99
?
?
1
?
?
1

10

2.已知直线
L:x?y?9?0
和圆
M:2x2
?2y
2
?8x?8y?1?0
,点
A
在直线
L
上,
B

C
为圆
M
上两点,在
?AB C
中,
?BAC?45?

AB
过圆心
M
,则点< br>A
横坐标范围为 .
【答案】
?
3,6
?

【解析】
9?a

A
?
a,
,由直线
A C
?
,则圆心
M
到直线
AC
的距离
d?AMsin 4?5
与圆
M
相交,得
d≤
34
.解得
3≤a≤6

2

xy
,则乘积
OP?OQ
的最小值
??1
?
a?b?0
?
上任意两点
P

Q
,若
OP?OQ
22
ab
为 .
2a
2
b
2
【答案】
a
2
?b
2
π
?
π
?
?
??
s,OPs
?
in
n?
?
?
. 【解析】 设
P
?
OPco< br>?
?

Q
?
?
?
?
?
,O Qsi
?
?
?
OQcos
2
?
2
?
?
??
?

P

Q
在椭圆上,有
5. 椭圆
cos
2
?
sin
2
?
1sin
2< br>?
cos
2
?
??
2

??

22
a
2
ba
2
b< br>2
OPOQ
1
22
①+②

1
OP
2
?
1
OQ
2
?
11
?

a< br>2
b
2
2a
2
b
2
2a
2
b
2
于是当
OP?OQ?
时,
OPOQ
达到最小值
22

a
2
?b
2
a?b





?
6.若方程
lgkx?2l
?
gx1
k
的取值范围是 .
?
仅有一个实根,那么
【答案】
k?0

k?4

【解析】 当且仅当
kx?0

x?1?0

x
2
?
?
2?k
?
x?1?0
1
对③由求根公式得
x
1

x
2
?
?
k?2?k
2
?4k
?

?
2
?

k≥4

??k
2
? 4k≥0?k≤0
?
x?x?k?2?0
(ⅰ)当
k?0
时,由③得
?
12
,所以
x
1

x
2
同为负 根.
xx?1?0
?
12
?
x
1
?1?0
又由④知
?
,所以原方程有一个解
x
1

x?1?0
?
2
k
?1?1

2
?x
1
?x
2
?k?2?0
(ⅲ)当
k?4
时, 由③得
?

xx?1?0
?
12
(ⅱ)当
k?4
时,原方程有一个解
x?
所以
x
1

x
2
同为正根,且
x
1
?x
2
,不合题意,舍去.
综上可得
k?0

k?4
为所求.



8.某车站每天
8

∶00~∶9009∶00~∶10
都恰有一辆 客车到站,但到站的时刻是随机的,
00
且两者到站的时间是相互独立的,其规律为

8∶108∶308∶50

9∶109∶309∶50
11
1

概率
62
3
一旅客
8
到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分).
∶20
【答案】 27
【解析】 旅客候车的分布列为
到站时刻




候车时间(分)
概率
10
1

2
30
1

3
50
11
?

66
21世纪教育网
70
11
?

26
90
11
?

36
候车时间的数学期望为
11111

10??30??50??70??90??27
23361218
二、解答题 9.(本小题满分14分)设直线
l:y?k?x
x
2
y
2(其中
k

m
为整数)与椭圆
?
m
?1

1612
x
2
y
2
于不同两点
A
,< br>B
,与双曲线
??1
交于不同两点
C

D
, 问是否存在直线
l
,使
412
?0
,若存在,指出这样的直线有多少 条?若不存在,请说明理由. 得向量
AC?BD
0
有两个实根
?

?
,数10.(本小题15分)已知
p

q
?
q? 0
?
是实数,方程
x?px?q?
2

4,
?
a
n
?
满足
a
1
?p

a
2
?p
2
?q

a
n
?pa
n? 1
?qa
n?2
?
n?3,
?

(Ⅰ)求数列?
a
n
?
的通项公式(用
?

?
表示 );
1
,求
?
a
n
?
的前
n
项和.
4
【解析】 方法一:(Ⅰ)由韦达定理知
?
?
?
?q?0
,又
?
?
?
?p
,所以
(Ⅱ)若
p?1

q?
a
n
?pxx
?
?
?
?< br>?
n?1
?q
n?2
?a
??
a,5,
,< br>n?1
?
n?2
?
n?3,4
?

整理得
a
n
?
?
a
n
?

?1
?
?
?
a
n?1
?
?
a
n ?2
?
.所以
?
b
n
?
是公比为
?
的等比数列.
2
数列
?
b
n
?
的首项为:b
1
?a
2
?
?
a
1
?p
2
?q?
?
p?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>2

1
2,
?

a
n?1
?< br>?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,
所以
b
n
?
?
2
?
?
n?1
?
?
n?
,即
2,
?
. 所以
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,
2 ,

b
n
?a
n
,则
b
n?1
?
?
b
n
?
n?1,
?1
?
?
a< br>n




2,
①当
??p
2
?4q?0
时,
?
?
?
?0

a
1?p?
?
?
?
?2
?

a
n?1?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,2,
变为
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1,
?
整理得,
?

a
n?1
n?1
?
?
a
n
?
n
?1

?
n?1,2,
?
所以,数列
?
?
.< br>a
n
?
n
?
?
?
?
成公差为
1
的等差数列,其首项为
a
1
?
?
2
?
?
?2
.所以
a
n
?
n
?2?11
?
n?1
?
?n?

于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
?
n?1
?
?
n

②当
??p
2
?4q?0
时,
?
?
?

?
?
?
n?1
??
2,

a
n ?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
?< br>a
n
?
?
?
?
a
n
?
?< br>n?1
?
?
n?1
?
n?1,
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
n?2
?< br>n?1
?
2,
?
?
?
a
n
?
整理得
a
n?1
?
?

?
n?1,
?< br>?
??
?
?
??
?

?
?
?
n?1
?
所以,数列
?
a
n
?< br>?
成公比为
?
的等比数列,其首项为
?
?
?
??
?
2
?
2
?
2
?
n?1
?
2
n?1
?
?

a
1
??
?< br>?
?
??
.所以
a
n
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
n?1
?
?
n?1
于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?

?
?
?

11.(本小题满分15分)求函数
y?x?27?13?x?x
的最大和最小值.
【解析】 函数的定义域为
?
0,13
?
.因为




y?x?x?27?13?x?x?27?13?2
?
x
13

1
?
3

?x
27?13?33?

13

x?0
时等号成立.故
y
的最小值为
33?
又由 柯西不等式得
y
2
?
21世纪教育网

2
1
??
1
x?27?13?x


?
?1?
?
?
2x?
?
x?27
?
?3?
13?x
?
?
?121

3
??
2
所以
y≤11

?
x ?
?
?x
?
?x?2
,解得
7
由柯西不等式等号成 立的条件,得
4x?9
?
13
x?9
.故当
x?9
时等
号成立.因此
y
的最大值为
11

2009年全国高中数学联合竞赛加试
试题参考答案及评分标准(A卷)
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2.如果考生的解答方法和本解答 不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本
评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不 要增加其他中间档次.

一、如图,
M

N
分别为锐角三 角形
?ABC

?A??B
)的外接圆
?
上弧
⌒< br>BC 、AC的中点.过

C

PC∥MN
交圆
?< br>于
P
点,
I

?ABC
的内心,连接
PI< br>并延长交圆
?

T

⑴求证:
MP?MT?NP

?NT
⑵在弧

A B(不含点
C
)上任取一点
Q

Q≠A

T

B
),记
?AQC

△QCB
的内心
分别为< br>I
1

I
2

P
N
I
T
A
Q
C
M
B

求证:
Q

I
1

I
2

T
四点共圆.
【解析】⑴连
NI

MI
.由于
PC∥MN

P

C

M

N
共 圆,故
PCMN
是等腰梯
形.因此
NP?MC

PM?NC

P
N
I
T
A
C
M
B


AM

CI
,则
AM

CI
交 于
I
,因为
.同理
NC?NI

?MIC??MAC? ?ACI??MC?B?BC?I?
,所以
MC?MI
于是
NP?MI

PM?N

I

故四边形
MPNI
为平行四边 形.因此
S
△PMT
?S
△PN
(同底,等高).
T





P

N
,< br>T

M
四点共圆,故
?TNP??PMT?180?
,由三角 形面积公式
111

TS
△PMT
?PM?MsTin?PM?T S
△PNT
?PN?NTsin?PNT?PN?NTsin?PM
222
于 是
PM?MT?PN

?NT
⑵因为
?NC
1
I??NCA

IN??A
1
CI??NQC??
1
QC?I?
1

C

1
?
n
k
?
?lnn≤
二、求证不等式:?1?
?
?
2

n?1
,2,…
?
2
?
k?1
k?1
?





三、设
k

l
是给定的两个正整数.证明:有 无穷多个正整数
m≥k
,使得
C

l
互素.
【解析】 证法一:对任意正整数
t
,令
m?k?t?l(?!
.我 们证明
C
k
k)
l?1

m

k
m
??

p

l
的任一素因子,只要证明:p


C
k
m


四、在非负数构成的
3?9
数表
?
x
11
x12
x
13
x
14
x
?

P?
?
x
21
x
22
x
23
x
2 4
x
?
xxxxx
?
31323334
15
x8
?
1
?
x
2
xx
825
x
267
?

2
x
3
xx
7
?
35 6338
?
x
1617
xxx
29
39



中每行的数互不相同,前6列中每列的三数之和为1,
x
17< br>?x
28
?x
3
?
9
0

x
27

x
37

x
18

x
3 8

x
19

x
29
均大于.如果
P的前三列构成的数表
?
x
11
x
12
x
1< br>?
3
??
xx

S?
?
x
21222

3
?
?
x xx
?
33
?
3132
?
?
x
1k
?
??
满足下面的性质
(O)
:对于数表
P
中的任意一列
?
x
2k
?

k?1
,2,…,9)均存在某个< br>?
x
?
?
3k
?
i?
?
1,2,< br>?
3
使得
xx

x
ik
≤u
i< br>?min
?
x
?
1

i2

i3i

求证:
(ⅰ)最小值
u
i
?min
?
x
1i
,x
i2
,x
?
3i

i?1< br>,2,3一定自数表
S
的不同列.
?
x
1k
*?
??
(ⅱ)存在数表
P
中唯一的一列
?
x
2 k
*
?

k
*
≠1
,2,3使得
3?3< br>数表
?
?
x
?
?
?
3k
*
?
?
x
11
x
12
1
?
x
k< br>*
??
S
?
?
?
xxx
2122
2 k
*
?

?
?
x
31
x
32x
?
?
3k
*
??
仍然具有性质
(O)

【解析】 (ⅰ)假设最小值
u
i
?min
?
x1i
,x
i2
,x
?
3i

i?1
, 2,3不是取自数表
S

不同列.则存在一列不含任何
u
i
.不妨设
u
i
≠x
i2

i?1
,2,3.由于数 表
P
中同一行中的
任何两个元素都不等,于是
u
i
?xi2

i?1
,2,3.另一方面,由于数表
S
具有性质
(O)
,在
3
使得
x
i
0
2
≤u
i
0
.矛盾. ⑶中取
k?2
,则存在某个
i
0
?
?
1,2,
?
(ⅱ)由抽届原理知,
min
?
x
11
,x
同一列.不妨设
min
?
x
21
,x
2
?
2
?
?

min
?
x< br>21
,x
2
?
2

min
?
x31
,x
3
?
2
中至少有两个值取在
x
S
的第一列
?
x
31
,x
3
?
2?x
.由前面的结论知数表
22
min
32
12
一定含 有某个
u
i
,所以只能是
x
11
?u
1
. 同样,第二列中也必含某个
u
i

i?1
,2.不妨设
.于 是
u
3
?x
33
,即
u
i
是数表
S
中的对角线上数字.
x
22
?u
2

?
x
11
x
12
x
1
?
3
??
S?
?
x
21
x
22
x
?
23
?
xxx
?
33
?
3132
?




下证唯一性.设有
k?M
使得数表
?
x
11
x
12
x
?
k1
??

S?
?
x
21
x
22
x
k
?2

?
xxx
?
?
3132k3
?
具 有性质
(O)
,不失一般性,我们假定
x
?
1
?

u
1
?min
?
x
11
,x
1

23
x
?
2
?

u
2
?min
?
x
21
,x
2

23x

11
x

22
x
?
3
?

u3
?min
?
x
31
,x
3

23< br>x

33
x
.又由(ⅰ)知:或者
11

x
32
?x
3

1

u
1
?minx
?
由于
x
32
?x
3

?< br>x
11
,x
1

2k1
?
1
x22
?x
2
及(ⅰ),有
1
(b)u
2
?mi
?
nx
21
,x
2

(a)
u
3
?min
?
x
31
,x
3

2
x
k
?
3
?x
k
,或者
32
x
k2
?
?x
k

2

如果
(a)
成立,由数表
S
具有性质
(O)
,则
x
?

u
1
?min
?
x
11
,x
1

2k1
?x

11
x

u
2
?min
?
x
21
,x
2

2k
?
2
?x< br>,
22


u
3
?min
?
x
31
,x
3

2
x
k
?
3
?x
k

3

3
使得
u< br>i
≥x
ik
*
.由数表
S
满足性质
(O)< br>,则对于
3?M
至少存在一个
i?
?
1,2,
?
k
*
?I
及⑷和⑹式知,
x
1k
*
?x
11
?u
1

x
3k
*
?x
32
?u
3
.于是只能有
x
2k
*
≤u
2
?
2
x
k
.类似地,由
S
?

?
?x
2k
*
.从而
k
*
?k
. 足性质< br>(O)

k?M
可推得
x
2k
≤u
2




















































































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