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近十年全国高中数学联赛试题一试(解析几何)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
更新日期:2020年 09月 30日 星期三

高中数学竞赛网站-高中数学第一章测试


十年全国高中数学联赛试题一试

解析几何圆锥曲线部分
一、选择题
22
2000、已知点
A
为双曲线
x
?
y
=1的左顶点,点
B
和点
C
在双曲线的右分支上,△
ABC
是等边
三角形,则△
ABC
的面积是 【答】( )
(A)
333
(B) (C) 3
3
(D) 6
3

32
22
答案:C 。解析:如图所示,设BD=t,则OD=
3
t -1,从而B(
3
t-1,t)满足方程
x?y?1

可以得到t=
3
,所以等边三角形,ΔABC的面积是
33
.

200 2.直线+
=
1与椭圆+
=
1相交于
A

B
两点,该椭圆上点
P
,使得Δ
PAB
面积等于3.这
43169< br>样的点
P
共有
xyx
2
y
2


A
.1个
B
.2个
C
.3个
D
.4个
解:直线与椭 圆的交线长
=
5.直线方程3
x
+4
y
-12
=< br>0.
12|cos
θ
+sin
θ
-1|
设点
P
(4cos
θ
,3sin
θ
). 点
P
与直线的距离
d=

5
π
12
当 0≤
θ
≤时,
d
≤(2-1),
S
ABC
≤6(2 -1)<3.即此时没有三角形面积
=
3;
25

π
12
<
θ
<2
π
时,
d
≤(2+1),
SABC
≤6(2+1).即此时有2个三角形面积
=
3.选
B

25
22
2003. 2设
a,b?R,ab?0,
那么直线
ax?y?b?0
和曲线
bx?ay?ab
的图形是【答】( )



x
2
y
2
??1
,观察图形可知; 题设方程可化为
y?ax?b

ab
2003.3 过抛物线
y2
?8
?
x?2
?
的焦点F作倾斜角为
60
的 直线. 若此直线与抛物线交于A,B
?
两点,弦AB的中垂线与
x
轴交于P 点,则线段PF的长等于 【答】( )
(A)
16816
(B) (C)
3
(D)
83

333< br>3x
,因此A,B两点的横坐标满足方程
3x
2
?8x?16?0,从而弦AB易知直线AB的方程为
y?
中点的横坐标为
x
0
?
标即PF=
4
4
,纵坐标
y
0
?
,进而求 得中垂线方程之后,令y=0,得点P的横坐
3
3
16

3
2
(x,y)|x
2004、已知M=
?
?2y
2
?3< br>,N=
?
(x,y)|y?mx?b
?
,若对于所有的
m?R
,均有
?
M?N?
?
,

b
的取值范围是
A.[
?
23232323
6666
?,?,
,?,
3333
]

22
] B。
22
()C。() D。[
答:[ ]

22
x?2y?3
上或它的内部
M IN??
解:相当于点(0,b)在椭圆
2b
2
66
??1,??? b?
322
。 故选A。
x
2
y
2
??1
表示的曲线是 2005. 方程
sin2?sin3cos2?cos3
A. 焦点在
x
轴上的椭圆
C. 焦点在
y
轴上的椭圆
解:
?
B. 焦点在
x
轴上的双曲线
D. 焦点在
y
轴上的双曲线
2 ?3?
?
,?0?
?
2
?2?3?
?
2
?
?
,?cos(?2)?cos(3?),

222
??
sin2?sin3.


0?2?
? ?
22
,?3?
?
,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3 ?0,
方程表


示的曲线是椭圆。
?(sin2?sin3)?(co s2?cos3)?22sin
2?32?3
?
sin(?)??(?)
22 4
2?32?3
?
?0,?sin?0,?
2222
2?3
?
?sin(?)?0,?(?)式?0.
24
??
?
2?33?
3
?
?,??
244
2?3
?
??
?
.
24


sin2?sin3?cos2?cos3.?
曲线表示焦点在
y
轴上的椭圆,选C。
2007. 设圆
O
1< br>和圆
O
2
是两个定圆,动圆
P
与这两个定圆都相切,则圆P
的圆心轨迹不可能是
( )

解:设圆
O
1
和圆
O
2
的半径分别是
r
1

r
2
,|
O
1
O
2
|=2
c
,则一般地,圆
P
的圆心轨迹是焦点为
O
1

O
2
,且离 心率分别是
2c2c
和的圆锥曲线(当
r
1
=
r
2
时,
O
1
O
2
的中垂线是轨迹的一部份,
r
1
?r
2
|r
1
?r
2
|

c =
0时,轨迹是两个同心圆)。

r
1
=
r
2< br>且
r
1
+
r
2
<2
c
时,圆
P
的圆心轨迹如选项B;当0<2
c
<|
r
1
?
r
2
|时,圆
P
的圆心轨迹如选项
C;当
r
1
r
2

r
1
+
r
2
<2< br>c
时,圆
P
的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点
不重合,因此圆
P
的圆心轨迹不可能是选项A。
二、填空题
x
2
y
2
2000、在椭圆
2
?
2
?1
(a

b
>0)中,记左焦点为
F
,右顶点为
A
,短轴上方的端点为
B
.若
ab
该椭圆的离心率是
5?1
, 则∠
ABF
=_________.
2
答案:90° 如图所示,由
c
?
a
5?1
?
c
2
+ac-a
2
=0,
2


?
a
cos?ABF?2
?b
2
?
?a
2
?
?
c?a
?
2?a?a?b
22
2
=0
?
则∠ABF=90°.
x
2
y
2
??1
的两个焦点,P是椭圆上的点,且
PF
1
:PF
2
?2:1
,则2003.设
F
1< br>,F
2
是椭圆
94
?PF
1
F
2
的 面积等于_____________.
?PF
1
F
2
是直角三角 形,故
?PF
1
F
2
的面积为
S?
11
| PF
1
|?|PF
2
|??2?4?4
;
22
2
2005.若正方形ABCD的一条边在直线
y?2x?17
上,另外两个顶点在抛物 线
y?x
上.则该
正方形面积的最小值为 80 .
解:设正方形的边 AB在直线
y?2x?17
上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为
C(x
1< br>,y
1
)

D(x
2
,y
2
),则CD所在直线
l
的方程
y?2x?b,
将直线
l
的 方程与抛物线方程联
立,得
x?2x?b?x
1,2
?1?b?1.

令正方形边长为
a,

a?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?5(x
1
?x
2
) ?20(b?1).


y?2x?17
上任取一点(6,,5),它到直 线
y?2x?b
的距离为
a,?a?
2222
2
|17?b |
5
②.
①、②联立解得
b
1
?3,b
2
?63.?a?80,

a?1280.?a
min
?80.
< br>222
x
2
y
2
x?3y?8?23?0
??1的左右焦点分别为
F
1

F
2
,2006. 已知椭圆点
P
在直线
l

164
上. 当
?F1
PF
2
取最大值时,比
PF
1
的值为 .
PF
2
【解】 由平面几何知,要使
?F
1
PF
2
最大,则过
F
1
,F
2

P
三点的圆 必定和直线
l
相切于
P
点。
设直线
l

x
轴于
A
(?8?23,0)
,则
?APF
1
??A F
2
P
,即
?APF
1
:?AF
2
P,即
PF
1
AP
(1),
?
PF
2
AF
2
(?8?23,0)
,又由圆幂定理,< br>AP?AF
1
?AF
2
(2),而
F
1
(? 23,0)

F
2
(23,0)

A
从而有
AF
1
?8

AF
2
?8?43

2


代入(1),(2)得
x
2
a
2
PF
1
PF
2
?
AF
1
AF
2
?
8
?4?23?3?1

8?43
2009.椭圆
+
y2
b
2
=1

a>b>0
)上任意两点
P
Q
,若
OP^OQ
,则乘积
OP×OQ
的最小
值为_____________.

三、解答题
x
2
y2
2000、已知
C
0
:
x
+
y
=1 和
C
1
:
2
?
2
?1
(
a

b
>0)。试问:当且仅当
a
,
b
满足什么条件时,< br>ab

C
1
上任意一点
P
,均存在以
P为项点,与
C
0
外切,与
C
1
内接的平行四边形?并证 明你的结论。
22
答案:所求条件为
11
+
2
=1.
2
ab
证明:必要性:易知,圆外切平行四边形一定是菱形,圆心即菱形中心.
假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与C
1
内接,与C
o
外切. ( a, 0 )的相
对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0, b) 和
(0, -b) .菱形一条边的方程为
x
y
+=1,即bx+ay=ab.由于菱形与C
O< br>外切,
a
b

故必有
ab
a
2
?b
2
=1,整理得
11
+=1. 必要性得证.
a
2< br>b
2
充分性:设
11
+=1,P是C
1
上任意一点, 过P、O作C
1
的弦PR,再过O作与PR垂直的弦QS,
a
2
b< br>2
则PQRS为与C
1
内接菱形.设 OP = r
1,
OQ =r
2
, 则点O的坐标为(r
1
cos
?
, r< br>1
sin
?
),点Q的坐
标为(r
2
cos(
?
+
?
?
),r
2
sin(
?
+)), 代入椭圆方程,得
22



?
r
1
cos< br>?
?
a
2
2
+
?
r
1
si n
?
?
b
2
2
[r
2
cos(
?
?
=1,
?
a
2
2
)]
2
[r
2
sin(
?
?)]
2
2
+
2
= 1,
2
b
?
cos
2
(
?
?)sin< br>2
(
?
?)
cos
?
sin
?
11 1
1
2
+
2
]
?
?
于是,+==()+ [
222
22
2
22
R
1
R
2
a b
OP
OQ
ab
2
?
?
=
11
+ =1.
a
2
b
2
1
11
=+=1,故得h=1
h
OP
2
OQ
2
又在Rt△POQ中,设点O到PQ的距离 为h,则
同理,点O到QR,RS,SP的距离也为1,故菱形PQRS与C
0
外切. 充分性得证.
[注]对于给出
a?b?ab

2
2222
ab
a?b
22
=1等条件者,应同样给分.
2002.已知点
A
(0,2)和抛物线
y=x
+4上两点
B

C
,使得
AB

BC
,求点
C
的纵坐标的取值
范围.

解:设
B
(
y
0
-4,
y
0
),
C
(
y
1
- 4,
y
1
).则
22
y
0
-21
y1

y
0
1
k
AB
=
2
=< br>.
k
BC
=
22
=

y
0
-4
y
0
+2
y
1

y
0
y< br>1
+
y
0

k
AB
·
k
B C
=
-1,得(
y
1
+
y
0
)(
y
0
+2)
=
-1.



y
0< br>+(
y
1
+2)
y
0
+(2
y
1< br>+1)
=
0.
22
∴ △
=
(
y
1
+2)-4(2
y
1
+1)
=y
1
-4
y
1
≥0,

y
1
≤0,
y
1
≥4.

y
1
=
0时,得
B
(-3,-1),当
y
1
=
4时,得
B
(5,-3)均满足要求,故点
C
的纵坐标的
取值范围是 (-∞,0]∪[4,+∞).
2005.过抛物线
y?x
上的一点A(1,1)作 抛物线的切线,分别交
x
轴于D,交
y
轴于B.点C
在抛物线上,点 E在线段AC上,满足
2
2
AEBF
?
?
1
;点F 在线段BC上,满足
?
?
2
,且
ECFC
?
1?
?
2
?1
,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点 P的轨迹方程.

解一:过抛物线上点A的切线斜率为:
y
?
?2 x|
x?1
?2,?
切线AB的方程为
1
y?2x?1.?B、D< br>的坐标为
B(0,?1),D(,0),?D
是线段AB的中点. ………………5分
2
AE
2

P(x,y)

C(x
0,x
0
)

E(x
1
,y
1
)

F(x
2
,y
2
)
,则由
?
?
1
知,
EC
22
1?
?
1
x
0
1?
?
1
x
0
?
2
x
0
?1?
?
2
x
0
BE
?
?
2
,

x
2
?x
1
?,y
1
?;,y
2
?.

1?
?
1
1?
?
1
FC
1?
?
2
1?
?
2
2
1?
?
1< br>x
0
1?
?
1
x
0
y?x?
1?< br>?
1
1?
?
1
∴EF所在直线方程为:
?,

22
?1?
?
2
x
0
1?
?
1< br>x
0
?
2
x
0
1?
?
1
x
0
??
1?
?
2
1?
?
1
1?< br>?
2
1?
?
1
22
化简得
[(
?< br>2
?
?
1
)x
0
?(1?
?
2)]y?[(
?
2
?
?
1
)x
0
?3 ]x?1?x
0
?
?
2
x
0
.
…①……… …10分
22
2x
0
x?x
0
1

x< br>0
?
时,直线CD的方程为:
y?
…②
2
2x0
?1
x
0
?1
?
x?
?
1
?
3
x
y?(3x?1)
2
.
………15联立①、②解得< br>?
,消去,得P点轨迹方程为:
0
2
3
?
y?
x
0
?
3
?



x
0
?
1311311
时,EF方程为:
?y?(
?
2
?
?
1
?3)x??
?
2
,CD
方程为:
x?

2244242
1
??
x?,
??
2
?
2
?
联立解得
?
也在P点轨迹上.因C与A不能重合,∴
x?1,?x?.

?
0
1
3
?
y?.
?
?
12
?
??
∴所求轨迹方程为
y?

解二:由解一知,AB的方程为
y?2x?1,B(0,?1),D(,0),
故D是AB的 中点. ……5分

?
?
12
(3x?1)
2
( x?).
………………………………………………20
33
1
2
CD CACB
,t
1
??1?
?
1
,t
2
?? 1?
?
2
,

t
1
?t
2
?3.
因为CD为
?ABC
的中线,
CPCECF
?S
?CAB
?2S
?CAD
?2S
?CBD
.


S S
t?t
1CE?CF
S
?CEF
11133
???
?CEP
?
?CFP
?(?)?
12
?,?
?
? ,
t
1
t
2
CA?CBS
?CAB
2S
? CAD
2S
?CBD
2t
1
?
t
2
?2t
1
t
2
?
2t
1
t
2
?
2
?P

?ABC
的重心. ………………………………………………………………………10分

P(x,y),C(x
0
,x
0
),
因点C异于A,则
x
0
?1 ,
故重心P的坐标为
22
0?1?x
0
1?x
0
?1?1?x
0
x
0
2
1
x??,(x?),y??,消去
x
0
,

y?(3x?1)
2
.

33333
3
2
故所求轨迹方程为
y?
12
(3x ?1)
2
(x?).
………………………………………………20分
33
2
2006. 给定整数
n?2
,设
M
0< br>(x
0
,y
0
)
是抛物线
y?nx?1
与直 线
y?x
的一个交点. 试证
明对于任意正整数
m
,必存在整数k?2
,使
(x
0
,y
0
)
为抛物线
y?kx?1
与直线
mm
2
y?x
的一个交点.
n?n
2
?4
【证明】 因为
y?nx?1

y? x
的交点为
x
0
?y
0
?
.
2
2
显然有
x
0
?
1
?n
。…(5分)
x
0
2
m

(x
0
,y
0
)
为抛物线
y?kx?1
与直线
y?x
的一个交点,则
k?x
0
?
…(10分)
mm
1
.
m
x0



k
m
?x
0
?
(13.1 )
m
11
k?k(x?)?k
m?1
?nk
m
? k
m?1

(m?2)
,则
m?1m0
x
0
m
x
0
由于
k
1
?n
是整数,
k
2
?x
0
?
2
11
22
?(x?)? 2?n?2
也是整数,所以根据数学归纳法,
0
2
x
0
x< br>0
m
k
m
?x
0
?
通过(13.1)式可证 明对于一切正整数
m

1
是正整数. 现在对于任意正整数
m

x
0
m

k?x
0
?
m
1< br>mm
2
y?kx?1
,使得与的交点为
y?x
(x,y
00
)
. …………… (20分)
x
0
m
2008.如图,
P
是抛物线
y
2
?2x
上的动点,点
B,C

y
轴上,圆
(x?1)2
?y
2
?1
内切于
?PBC


? PBC
面积的最小值.

[解] 设
P(x
0
,y
0
),B(0,b),C(0,c)
,不妨设
b?c

直线PB
的方程:
y?b?
y
0
?b
x

x
0
化简得
(y
0
?b)x?x
0
y?x
0
b?0

又圆心
(1,0)

PB
的距离为1,
y
0?b?x
0
b
(y
0
?b)?x
22
0
?1
, …5分
222

(y
0
?b)
2
?x
0
?(y
0
?b)
2
?2 x
0
b(y
0
?b)?x
0
b

易知< br>x
0
?2
,上式化简得
(x
0
?2)b
2< br>?2y
0
b?x
0
?0

同理有
(x< br>0
?2)c
2
?2y
0
c?x
0
?0
. …10分


所 以
b?c?
?x
0
?2y
0

bc?
,则
x
0
?2
x
0
?2
2
22
4x< br>0
?4y
0
?8x
0

(b?c)?
(x
0
?2)
2
2

P(x
0
,y
0
)
是抛物线上的点,有
y
0
?2x
0
,则
2
2x
0
4x
0

b?c?
. …15分
(b?c)?
x
0
?2
(x
0
?2)< br>2
2
所以
S
?PBC
?
x
14
(b ?c)?x
0
?
0
?x
0
?(x
0
?2) ??4

2x
0
?2x
0
?2

?24?4?8


(x
0
?2)
2
? 4
时,上式取等号,此时
x
0
?4,y
0
??22

因此
S
?PBC
的最小值为8. …20分

2009.(本小题满分14分)设直线
l

y=kx+ m
(其中
k

m
为整数)与椭圆
x
2
y< br>2
+=1
交于
1612
x
2
y
2
不 同两点
A

B
,与双曲线
-=1
交于不同两点
C< br>,
D
,问是否存在直线
l
,使得向量
412
uuuu ruuurr
AC+BD=0
,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

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