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瞬时速度的公式高中数学教案向量的概念与运算

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 09:32
tags:向量平行公式

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向量的概念与运算
一、知识网络
二、高考考点
1、对 于向量的概念,高考的考点主要是两向量平行(即共线)的判定以及两向量共线
的基本定理的运用,多以 选择题或填空题的形式出现。
2、对于向量的运算,向量的数量积及其运算是向量的核心内容,对此,高考的考点主


要是:
(1)向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用;
(2)向量共线的充要条件的应用; (3)向量垂直的充要条件的应用; (4)向量
的夹角的计算与应用;
(5)向量的模的计算,关于向量的模的等式的变形与转化,关于向量的模的不等式的
认知与转化。
3、线段的定比分点线或平移问题。
4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题, 以向量为载体的函数或解析几何问题(多
以解答题的形式出现)。
三、知识要点
(一)向量的概念
1、定义 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量。
(2)向量的模:向量 的大小(即长度)叫做向量 的模,记作 。
特例:长度为0的向量叫做零向量,记作 ;长度为1的向量叫做单位向量.
(3)平行向量(共线向量):
一般定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量.特殊规
定: 与任一向量平行(即共线).
(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 零向量与零向量相等。
认知:向量的平移具有“保值性”。
2、向量的坐标表示
(1)定义:在直角坐标系内,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量 、 作
为基底,任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y使得 ,将有序
实数对(x,y)叫做向量 的坐标,记作 ;并将 叫做向量 的坐标表示。
(2)认知:相等的向量,其坐标也相同,反之成立。
(二)向量的运算
1、向量的加法 2、向量的减法
3、实数与向量的积
(1)定义 (2)实数与向量的积的运算律:
(3)平面向量的基本定理:
如果 是同一面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对
实数
1

2
使 ,这两个不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
(4)向量共线的充要条件:
(i)向量与非零向量 共线 有且只有一个实数 使
(ii) 设 则:
4、向量的数量积(内积)
(1)定义: (i)向量的夹角:已知两个非零向量 和 ,作 叫做向量 与 的夹角。
(ii)设两个非零向量 和 的夹角为 ,则把数量 叫做 与 的数量积(内积),记作 ,
即 并且规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(2)推论 设 、 都是非零向量,则 (i) (ii) (iii)
(3)坐标表示 (i)设非零向量 ,则
(ii)设 (4)运算律(自己总结,认知)
四、经典例题
例1.判断下列命题是否正确:
(1)若 的方向相同或相反; (2)若


(3)若 则A、B、C、D四点组成的图形为梯形;
分析:
(1)不正确 ∵ 不能比较方向。
(2)不正确 当 时,虽然对任意 , 都有 不一定平行。
(3)不正确 ,故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。
点评:判断或证明 向量的共线或垂直问题,务必要注意有关向量为零向量的情形,判断
失误或解题出现疏露,多是零向量惹 的祸。
例2.设点O为ΔABC所在平面内一点
(1)若 ,则O为ΔABC的( )
A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
(2)若 ,则 为ΔABC的( )
A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
(3)若动点P满足 ,则点P的轨迹一定通过ΔABC的( )
A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
(4)若动点P满足 ,则点P轨迹一定通过ΔABC的( )
A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
分析:
(1)借助向量加法分析已知条件:
以 、 为邻边作平行四边形OBDC,并设OD∩BC=E,则由平行四边形性质知,E为BC和
OD中点。
① 且 ②
∴ 由①、②得
∴A、O、E、D、四点共线 ③ 且 ④
于是由③、④知O为ΔABC的重心,应选D
(2)由
同理可得OA⊥BC,OC⊥AB 于是可知,O为ΔABC的垂心,应选C
(3)由已知得 ① 令 ,则 是 上的单位向量,令 ,则 是 上的单位向量。 ∴
由①得: ②
令 ,则点Q在角A的平分线上 ③ 又由②知的 与 共线且同向(或 )
∴动点P在角A的平分线上 ∴点P的轨迹一定通过ΔABC的内心,应选B。
(4)注意到 的几何意义,

=0
又由已知的得:
∴动点P在BC边的高线上 ∴动点P的轨迹一定通过ΔABC的垂心,应选C。
点评:品味各小题,从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。
例3:
(1) 成立的充分必要条件为( )
A、 B、 C、 D、
(2)已知A、B、C三点共线,O为该直线外一点,设 且存在实数m使 , 则点A分 所
成的比为( )
A、- B、2 C、 D、-2
分析: (1)注意到不等式 ,当且仅当 、 反向或 、 中至少有一个为 时等号成立,
∴由 得 、 反向或 由此否定A、B、C,本题应选D


(2)注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫,故考虑从“目标 ”分析切入,主
动去沟通“已知”,
设 则 (刻意变形,靠拢已知)
(目标的延伸) ①
又由已知得: (已知的变形或延伸) ②
∴根据两向量相等的条件由①、②得: 于是可知,点A分 所成 的比 ,应选 A
点评:
(i)(1)对任意向量 、 都有 ,其中,当且仅当 同向或 中至少有一个为 时左边的
等号成立;当且仅当 反向或 中至少有一个为 时右边的等号成立;当且仅当 中至少有一个
为 时,左右两等号同时成立。
(ii)对于(2),“已知”与“目标” 相互靠扰,只是切入点是从“已知”切入还是
从“目标”切入,需要仔细分析。
例4:设 、 分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量,在同一条
直线上有A、B、C三点, ,求实数m、n的值。
解:由题设知
与 共线 ①
又 ②
②代入①得:
7(2n-1)=(n+2)(2n+1) (n-3)(2n-3)=0
当 时代入②得: m=3 当 时代入②得:m=6 ∴ m=6,n=3或m=3,
点评:不失时机地利用向量的坐标表示,是解题的基本技巧。
例5. 设 试求满足:
(这里O为原点)
分析:注意到 的坐标即点D的坐标,可从设 坐标,由(x,y)切入,去 建立关于x,
y的方程组。
解:设 ,则点D坐标为(x,y) 则由已知条件 得:


x-2y+1=0 ①
由 得: x+4=3(y-1) x-3y+7=0 ②
于是将①、②联立,解得:
点评:本题是对向量坐标的概念,向量的垂直 与向量的平行的充要条件的综合应用,借
此练习,可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。
例6. 设向量 满足
(1)若 ,求 与 的夹角;
(2)若 的值。
解: (1)设 与 的夹角为 ,则 ①








于是由②代入①得 : 注意到 ∈ [O, ],可得结果
(2)解法(着眼于对 等各个击破) 一方面由已知得: ③
又 ④ 由③、④得 ⑤
注意到 ,当且仅当 , 同向或 , 中至少有一个为 时等号成立
由⑤得 与 同向 另一方面,又由 知, 与 反向








与 的夹角为0°, 与 的夹角为180°, 与 的夹角为180°
∴原式 =3×1-1×4-3×4=-13
解法二(着眼于寻求目标与已知的整体联系):

∴由已知条件得
解法三(从寻求目标局部的值切入):
原式

同理,

点评:解法二与解法三,均着眼于整体 代入,解题过程简明,比解法一有明显优势。但
是,解法一中对已知数值的利用,却对今后的条件求值有 着不可替代的潜在作用,条件求值
中对已知数据的应用主要有以下三个方面:
(1)利用数值本身(代入);
(2)分别利用数值的绝对值和符号;
222
(3)利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系(比如,由3+1=4,3+4=5沟通联系
等)。
例7.已知 的夹角为120°,且 ,试求m,n及 与 的夹角。
解法一:(利用内积的定义),设 与 的夹角为 ,
由 再


再由:
由①,②得 ③
将③代入②得: ④
于是由①,③,④得所求 ,n=-4, 的夹角为30°或150°
点评1:本题已知条件繁多,头绪纷乱,更需要在解题时梳理思绪。注意到所求m、n
含在 中,故在求出 、 的值之后,以 的变形为主线展开求索:
变形1.
变形2.
变形3.
于是,整个解题过程既显得有条不紊,又感觉酣畅淋漓。
解法二(利用向量的坐标): 设 , 与 的夹角为 ,
由已知得 ①
由 ②
2222
又x
1
+y
1
=8 ③ x
2
+y
2
=4 ④
由①,③解得 或
由②,④解得 或

将上述 , 坐标分四次代入
便解得n=-4, , =30°或150°
点评2:本解法致力于求 与 的坐标,虽然解题过程仍然曲折,但思路明朗,更多几分
胜算。
例8. 设 的夹角为 ,









分析:此题为以向量为载体的三角求值问题,因此,从化简 , 的坐标切入,向三角函
数中常见的关系式转化。
解:


② ③
注意到这里
由②、③得到 ④

于是由①、④得 由①、⑤得

解得 ⑥
因此由⑥得
点评:在这里,利用实数与向量的乘法的法则,将 表为
,从而为简化 及 的表达式以及简化 的表达式奠定良好的基础。

五、高考填题
(一)选择题、
1、P是ΔABC所在平面上一点,且 ,则P是ΔABC的( )
A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心
分析:


同理,AB⊥PC,BC⊥PA 点P为ΔABC的垂心,应选D
2、已知向量 , ,且 ,则一定共线的三点是( )
A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D
分析: 利用两向量共线的充要条件来判定,从寻找所给向量的联系切入
由题意得
A、B、D三点共线,应选A
3、已知点A( ,1),B(0,0),C( ,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,
那么有 ,其中 等于( )
A、 2 B、 C、-3 D、-
分析: 从认知目标切入,由题设易知 与 反向,故 <0 ①
又由三角形内角平分线定理得 即 =3 ②
于是由①、②得 =-3,应选C
4、若 , , ,则向量 与 的夹角为( )
A、30° B、60° C、120° D、150°
分析: 令向量 与 的夹角为 ,则 ①
又由
得 ②
于是将已知与②代入①得 所得 ,应选C
5、在ΔABC中, , , ,则k的值是( )。


A、5 B、-5 C、 D、
分析: 循着一般思路,欲求k的值,先寻找关于k 的方程,可以通过解方程获取k
的值,为此我们利用题设条件寻找等量关系切入:
由题设知 , 由此得(2,3)·(2-k,2)=0 2(2-k)+6=0
解得k=5,故应选A。
6、设向量 等于( )。
A、(1,1) B、(-4,-4) C、-4 D、(-2,-2)
分析: 循着向量的坐标表示与有关公式得:

∴ 原式=-4(1,1)=(-4,-4),应选B
7、已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D为线段BC的中点,则向量 与 的夹角
为( )
A、
分析1: (特征分析法):画出ΔABC及其中线AD,又将向量 平移到 ,则可见 与 成
钝角,而选项中A、B为锐角,D为负角,故只能选C。
分析2: (直接法):由题设D(5,2)

所求两向量夹角应为 ),应选C
8、 已知向量 ,满足对任意t∈R, ,则( )
A、
分析: 从已知不等式的等价变形切入,去认识所含向量 , 的关系
由已知得 整理得 ①
注意到①对任意 都成立。

即 ②
根据②式检验选项,故选C
点评:关于向量的模的不等式,变形转化的基本手段是不 等式两边平方,这是本题切入、
转化的关键环节。
(二)填空题
1、已知向量
分析: 注意到两向量平行的充要条件, 由已知条件得 2×6-3x=0,由此解得 x=4
2、 已知向量 ,且A、B、C三点共线,则k= 。
分析: 由A、B、C三点共线切入,向着向量的共线转化 A、B、C三点共线
向量 、 共线

由 、 共线的充要条件得 7(-k-4)=5(k-4),解为
3、已知 =2, =4, 与 的夹角为 ,以 , 为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两
条对角线中较短的一条的长度为 。
分析:
根据向量加法与向量减法的几何意义又知, 、 分别表示上述平行四边形中两条对角线
的长度。
注意到 与 的夹角为锐角,故此平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为



又 =4+16-2×2×4cos =12
∴ =2 ②
于是由①、②知所求为 .
4、已知向量 =(-2,2), =(5,k),若 不超过5,则k的取值范围为 .
2
分析: 由已知得 若 ≤5,则9+(k+2)≤25 ∴由此解得-6≤k≤2,故应
填[-6,2]
5、已知平面上三点A、B、C满足 , , ,
则 的值等于 。
222
分析: 从认知ΔABC切入,由3+4=5知 , ∴
∴原式= = = =-25
6、ΔABC的外接圆圆心为0,两条边上的高的交点为H, =m( + + ),则实数m= 。
分析: 由题设知,O为ΔABC的外心,即O是ΔABC的三边中垂线的交点,因此,
以 与 为邻边作平行四边形OADC,则OADC为菱形,且 + =
∴ ⊥ ⊥( + )
∴ + + 的终点必在AC边的高线上 ① 同理, + + 的终点在AB边的高线上 ②
∴由①、②得 + + 的终点为△ABC的垂心H. ∴ ∴m=1
点评:从O为ΔABC的外心切入,认知向量 ,此乃求解本题的关键。
三、解答题
1、已知向量 =(cos 、sin )和 =( - sin ,cos ), ,且= ,求cos( + )的值。
分析:这是以向量为载体的三角求值问题,故首先要利用向量的有关 概念与公式进行转
化-化生为熟,进入三角函数求值的“似曾相识燕归来”的境界。
解:由已知得

由题设 ①
又 ②
由①、②得 ③

于是由③、④得
点评:首先运用向量的公式化生为熟,进而运用“方程思想”去求解 的值,这是求解
本题所运用的基本策略。也是解决本类问题的基本思路
2、 已知向量
,是否存在
实数
x∈[O, ],使f(x)+f′(x)=0 (其中f′(x)是f(x)的 导函数)若存在,则求出x的值;
若不存在,则证明。
分析:对于这样以平面向量为载体的 问题,首先仍是运用向量的知识将其转化为
熟悉的三角函数问题。
解:

=sinx+cosx
∴f (x)=cosx-sinx 若f(x)+f (x)=0,则2cosx=0即cosx=0


由x∈[0,π] 又由题意:

综上:[0,π]内不存在f(x)+f (x)=0的x值。
点评:函数式的变形要注意保持等价性,特别是在变形过程中不可改变函数的定义域,
由① 到②,需要附加 的制约,以保证函数的定义域不发生变更.
3、设
(1)若
(2)若 函数 y=2sin2x的图象按向量 平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n
的值。
解: (1)由题设得

由①、②得
(2) 函数 y=2sin2x按向量 平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象。
由题设

又 ∴
点评:函数y=f(x)的图象按向量 平移后所得图象的函数解析式由y-k=f(x-h)确定,上
面求解利用了这一结论。

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