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染发公式矩阵变换的解释

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 09:26
tags:向量平行公式

情诗短句-澳门科技大学招生网


1.1
三維旋轉矩陣實用算法

3D数学 ---- 矩阵和线性变换 < br>一般来说,方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线,但原点没有移动。线性变换保
留直线的同时,其他的几何性质如长度、角度、面积和体 积可能被变换改变了。从非技术意义上说,
线性变换可能“拉伸”坐标系,但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。
矩阵是怎样变换向量的
向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移,一般来说,任意向量v都能写成“扩展”形式:

另一种略有差别的形式为:

注意右边的单位向量就是x,y,z轴,这 里只是将概念数学化,向量的每个坐标都表明了平行于相应
坐标轴的有向位移。
让我们将上面的向量和重写一遍,这次分别将p、q、r定 义为指向+x,+y和+z方向的单位向量,
如下所示:
v = xp + yq + zr
现在,向量v就被表示成向量p,q,r的 线性变换了,向量p,q,r称作基向量。这里 基向量是
笛卡尔坐标轴,但事实上,一个坐标系能用任意3个基向量定义,当然这三个基向量要线性无关(也就是不在同一平面上)。以p、q、r为 行构建一个3 x 3矩阵M,可得到如下矩阵:

用一个向量乘以该矩阵,得到:
1

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量,那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换,如果aM=b,
我们就可以说,M将a转换到b。
从这点看,术语“转换”和“乘法”是等价的。
坦率地说,矩阵并不神秘,它只是用一种紧凑的方式来表达坐标转换所需的数**算。进一步,用线性
代 数操作矩阵,是一种进行简单转换或导出更复杂转换 的简便方法。
矩阵的形式:
基向量[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]乘以任意矩阵M:

用基向量[1, 0, 0]乘以M时,结果是M的第1行。其他两行也有同样 的结果,这是一个关键的发现:
矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。
这个强有力的概念有两条重要性质:
1、有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换。
2、有了反向建立矩阵的可能 ---- 给出一个期望的变换(如旋转、缩放等),能够构造一个矩阵代表
此变换。我们所要做的一切 就是计算基向量的变换,然后将变换后的基向量填入矩阵。
首先来看看2D例子,一个2 x 2矩阵:

这个矩阵代表的变换是什么?首先,从矩阵中抽出基向量p和q:
p = [2 1]
2
q = [-1 2]
图7.1以“原”基向量(x轴,y轴)为参考,在笛卡尔平面中展示了这些向量。

如图7.1所示,x基向量变换至上面的p向量,y基向量变换至q向量。所以 2D中想象矩阵的方法
就是想象由行向量构成的“L”形状。这个例子中,能够很清楚的看到,M代表的部分变换是逆时针旋 转
26度。
当然,所有向量都被线性变换所影响,不只是基向量,从“L”形状能够得到变换 最直观的印象,把基
向量构成的整个2D平行四边形画完整有助于进一步看 到变换对其他向量的影响,如图7.2所示:

平行四边形称作“偏转盒”,在盒子中画一个物体有助于理解,如图 7.3 所示:
3

很明显,矩阵M不仅旋转坐标系,还会拉伸它。
这种技术也能应用到3D转换中。 2D中有两个基向量,构成型;3D中有三个基向量,它们形成一
个”三脚架“。首先,让我们展示出一 个转换前的 物品。图7.4展示了一个茶壶,一个立方体。基向量
在”单位“向量处。

(为了不使图形混乱,没有标出z轴基向量[0, 0, 1],它被茶壶和立方体挡住了。)
现在,考虑以下3D变换矩阵:

4
从矩阵的行中抽出基向量,能想象 出该矩阵所代表的变换。变换后的基向量、立方体、茶壶如图7.5
所示:

这个变 换包含z轴顺时针旋转45度和不规则缩放,使得茶壶比以前”高“。注意,变换并没有影响到z
轴,因 为矩阵的第三行是[0, 0 , 1]。
我们可以通过让比例因子k按比例放大或缩小来缩放物体。 如果在各方向应用同比例的缩放,并且沿
原点“膨胀”物体,那么就是均匀缩放。均匀缩放可以保 持物 体的角度和比例不变。如果长度增加或减
小因子k,则面积增加或减小k^2。在3D中,体积将增加或 减小 k^3。
如果需要“挤压”或拉伸物体,在不同的方向应用不同的因子即可,这称作非均匀缩放 。非均匀缩放
时,物体角度将发生变化。视各方向缩放因子的不 同,长度、面积、体积的变化因子也各不相同。
如果|k|<1,物体将“变短”;如果|k|>1,物体将“变长”,如果k = 0,就是正交投影,如果k < 0就是镜
像。
应用非均匀缩放的效果类似于切变,事实上,非均匀缩放和切变和很难区分的。
沿坐标轴的缩放
最简单的缩放方法是沿着每个坐标轴应用单独的缩放因子,缩放是沿着垂直的 轴(2D中)或平面(3D
中)进行的。如果每个轴的缩放因子相同,就是均匀 缩放,否则是非均匀缩放。
2D中有两个不同的缩放因子,Kx和Ky,图8.13展示了应用不同缩放因子后的情况。
5

凭直觉就可知道,基向量p,q由相应的缩放因子单独影响:
p' = Kxp = Kx [1 0] = [Kx 0]
q' = Kyq = Ky [0 1] = [0 Ky]
用基向量构造矩阵,结果如公式8.6所示:

对于3D,需要增加第三个缩放因子Kz,3D缩放矩阵如公式8.7所示:

沿任意方向缩放
我们可以不依赖于坐标系而沿任意方向进行缩放,设n为平行于缩放方向的单 位向量,k为缩放因子,
缩放沿穿过原点 并平行于n的直线(2D中)或平面(3D中)进行。
我们需要推导出一个表达式,给定向量v,可以通过v,n和 k来计算v'。为了做到这一点,将v分
解为两个分量,v|| 和v⊥,分别平行于n和垂直于n,并满足v =v|| + v⊥。v||是v在n上 的投影,
由 (v . n)n 可以得到 v||。 因为v⊥垂直于n,它不会被缩放操作影响。因此,v' = v||' + v⊥,剩下
的问题就是怎样得到v||'。 由于v||平行于缩放方向,v||'可以由公式kv|| 得出,如图8.14所示:
6

总结已知向量并进行代换,得到:

既然我们知道了怎样对任意向量进行 缩放,当然也就可以计算缩放后的基向量。这里只详细列出2D
中的一个基向量的求法,其余的基向量依 次类推。我们只 给出其结果(注意下面采用列向量形式只
是为了使等式的形式好看一些。)
7

通过基向量构造矩阵,得到以单位向量n为缩放方向,k为因子的缩放矩阵,如公式8.8所示:

3D中,基向量为:
8

以单位向量n为缩放方向,k为因子的3D缩放矩阵如公式8.9所示:

一般来说 ,投影意味着降维操作,有一种投影方法是在某个方向上用0作为缩放因子。这种情况下,
所有点都被拉 平至垂直的轴(2D)或平面(3D)上。 这种类型的投影称作正交投影(或者平行投影),
因为从原来的点到投影点的直线相互平行。
向坐标轴或平面投影
最简单的投影方式是向坐标轴(2D)或平面(3D)投影,如图8.15所示:
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向坐标轴或平面投影在实际变换中不常发生,大多数情况是向低维的变换赋值,且要抛弃维数 时。例
如,将3D点赋值给2D点,抛弃z分量,只复制x和 y。
通过使垂直方向上的缩放 因子为零,就能向坐标轴或平面投影。考虑到完整性,下面列出这些变换矩
阵,见公式8.10 - 8.14。

向任意直线或平面投影
10
也能向任意直线或平面投影 ,像往常一样,由于不考虑平移,这些直线或平面必须通过原点。投影由
垂直于直线或平面的单位向量n 定 义。
通过使该方向的缩放因子为0能够导出向任意方向投影的矩阵,2D中的情况如公式8.15所示:

记住这里n垂直于投影直线,而不是平行。3D中,向垂直于n的平面投影的矩 阵如公式8.16所示:

镜像
镜像(也叫做反射)是一种变换,其作用是将物体 沿直线(2D中)或平面(3D中)“翻折”,图8.16
展示了镜像的效果。

使 缩放因子为-1能够很容易地实现镜像变换,设n为2D单位向量,公式8.17所示的矩阵将沿通过
原 点且垂直于n的 反射轴来进行镜像变换。
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3D中,用反射平面代替直线。公式8.18中的矩阵将沿通过原点且垂直于n的平面来进行镜像变换:

注意一个物体只能“镜像”一次,如果再次镜像(当沿不同的轴或平面的时候),物体将翻回 “正面”(用
一张纸来想象),这和在原位置旋转物体的效果一 样。
切变
切变是 一种坐标系“扭曲”变换,非均匀地拉伸它。切变的时候角度会发生变化,但令人惊奇的是面积
和体积却 保持不变。基本思想是将某一坐标的乘积加到 另一个上。例如,2D中将y乘以某个因子然
后加到x上,得到 x' = x + sy,如图8.17所示:

实现这个切变变换的矩阵为:
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变换的组合
设想世界中有一个任意方向、任意位置的物体,我们要把它渲染到任意方向、任意 位置的摄像机中。
为了做到这一点,必须将物体的所有顶点从物体坐标系变 换到世界坐标系,接着再从世界坐标系变
换到摄像机坐标系。其中的数学变换总结如下:

矩阵乘法满足结合律,所以我们能用一个矩阵直接从物体坐标系变换到摄像机坐标系:
这样就能在渲染的循环外先将所有矩阵组合起来,使循环内作矩阵乘法的时候只需要和一个矩阵相乘
即可(物体有很多顶点,省一次矩阵乘法就会提高不少效 率),如下:
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所以矩阵组合从代数角度看是利用了矩阵乘法的结合律。矩阵的行向量就是变换后的基向量,这在多
个变 换的情况下也是成立的。考虑矩阵乘法AB, 结果中的每一行都是A中相应的行与矩阵B相乘
的结果。换言之,设a1, a2, a3为A的行,矩阵乘法能够写为:

这使得结论更加清晰,AB结果中的行向量确实是对A的基向量进行B变 换的结果。
变换分类
变换的类别并不是互斥的,也不存在一定的“次序”或“层次”使得某一类比另一类多或少一些限制。
当讨论一般意义上的变换时,我们将使用类似的术语:映射或函数。在最一般的意义上,映射就是一种简单的规则,接受输入,产生输出。我们把从a到b的F映 射记作F(a) = b。
线性变换
在数学上,如果满足下式,那么映射F(a)就是线性的:
F(a + b) = F(a) + F(b) 以及 F(ka) = kF(a)
如果映射F保持了基 本运算:加法和数量乘,那么就可以称该映射为线性的。在这种情况下,将两个
向量相加然后再进行变换 得到的结果和先分别进行变换再 将变换后的向量相加得到的结果相同。同
样,将一个向量数量乘再进行 变换和先进行变换再数量乘的结果也是一样的。
这个线性变换的定义有两条重要的引理:
(1) 映射F(a) = aM,当M为 任意方阵时,说映是一个线性变换,这是因为:
F(a + b) = (a + b)M = aM + bM = F(a) + F(b)

F(ka) = (ka)M = k(aM) = kF(a)
(2) 零向量的任意线性变换的结果仍然是零向量。(如果F(0) = a,a ≠ 0。那么F不可能是线性变换。
因为F(k0) = a,但F(k0) ≠ kF(0)), 因此线性变换不会导致平移(原点位置上不会变化)。
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在某些文献中,线性变换的定 义是平行线变换后仍然是平行线。大多数情况下它是对的,但有一个小
小的例外:投影(当一条直线投影 后变成一个点,能认为 这个点 平行于什么?)除了这点理论上的
例外,这种定义是正确的。线性变换 可能造成“拉伸”,但直线不会”弯折“,所以平行线仍然保持平行。
仿射变换
仿射变换是 指线性变换后接着平移。因此仿射变换的集合是线性变换的超集,任何线性变换都是仿射
变换,但不是所 有仿射变换都是线性变换。
任何具有形式 v' = vM + b 的 变换都是仿射变换。
可逆变换
如果存在一个逆变换可以”撤销“原变换,那么该变换是可逆的。换句话说,如果存 在逆变换G,使得
G(F(a)) = a,对于任意a,映射F(a) 是可逆的。
存在非 仿射变换的可逆变换,但暂不考虑它们。现在,我们集中精力于检测一个仿射变换是否可逆。
一个仿射变 换就是一个线性变换加上平移,显然,可以用 相反的量”撤销“平移部分,所以问题变为一
个线性变换是否可逆。
显然,除了投影以外,其 他变换都能”撤销“。当物体被投影时,某一维有用的信息被抛弃了,而这些
信息时不可能恢复的。因此 ,所有基本变换除了投影都 是可逆的。
因为任意线性变换都能表达为矩阵,所以求逆变换等价于求矩 阵的逆。如果矩阵是奇异的,则变换不
可逆;可逆矩阵的行列式不为0。
等角变换
如果变换前后两向量夹角的大小和方向都不改变,该变换是等角的。只有平移,旋转和均匀缩放是等
角变 换。等角变换将会保持比例不变,镜像并不是等角变 换,因为尽管两向量夹角的大小不变,但
夹角的方向改变了。所有等角变换都是仿射和可逆的。
正交变换
术语“正交”用来描述具有某种性质的矩阵。正交变换的基本思想是轴保持互相垂直 ,而且不进行缩放
变换。
平移、旋转和镜像是仅有的正交变换。长度、角度、面积和体积都保 持不变。(尽管如此,但因为镜
像变换被认为是正交变换,所以一定要密切注意角度、面 积和体积的准确定义)。
正交矩阵的行列式为1或者负1,所有正交矩阵都是仿射和可逆的。
刚体变换
刚体变换只改变物体的位置和方向,不包括形状。所有长度、角度、面积和体积都不 变。平移和旋转
是仅有的刚体变换,镜像并不被认为是刚体变换。刚体变 换也被称作正规变换,所有刚 体变换都是
正交、等角、可逆和仿射的,某些刚体变换旋转矩阵的行列式为1

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