速度与距离公式数学：2.1.5《向量共线的条件与轴上向量坐标运算》教案(新人教B版必修4)

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算
(首体院竞技校 夏兰天)
(一) 教学目标
1.知识与技能:
(1)理解掌握向量共线的条件(平行向量基本定理)及其应用;
(2)了解单位向量、轴上向量、基向量、轴上向量的坐标等概念;
(3)理解掌握轴上向量的坐标公式、数轴上两点间距离公式及公式的应用.
2.过程与方法:
(1) 借助几何直观引导学生理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标运算;
(2) 通过平行向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法;
(3) 通过解题实践,体会平行向量基本定理的应用.
3.情感、态度与价值观:
通过本节 课的学习,使学生体会到向量的深刻的几何背景,它是解决几何问题的有力工具,
从而激发学生的学习兴 趣.
(二) 教学重点、难点
教学重点是平行向量基本定理.
教学难点是平行向量基本定理的应用.
(三) 教学方法
在平行向量基本定理的教学中,利用几何直观让学生观察、抽象、概括的方式,得出定理;
在定理的运用中,引导学生分析思路,体验解题方法.
(四) 教学过程

教
学
环
节
复
习
提
问
定
理
形
成

教学内容

师生互动

设计意图
1 共线向量、零向量 学生回答
2 两个向量平行与几何中两
直线平行有何区别?
3 数乘向量的定义
4 零向量与任何向量平行吗?
引例:几何直观,教材中图2－
25,2－26
平行向 量基本定理:如果
a
=λ
b
,则
a
∥
b
; 反之,如果
a
∥
b
,且
b
≠0,则一定存在唯
一一 个实数λ,使
a
=λ
b

例1 如图2－28,M,N是△
ABC
的中位线,
求证:MN=
教师提问:通过 几何直观;
再由向量平行和数乘向量
的定义可得出什么呢?
学生思考,回答.教师完善
复习旧知识,引出
新知识
通过学生观察,比< br>较,抽象,概括得出
定理,让学生体会
由特殊到一般的思
维方法.
通 过分步设问,引
导学生体会解题思
路的形成过程,体
会平行向量基本定
应用
举例
1
BC
且MN∥
BC

2
教师提问 :此题是一道几何
题,同学们考虑可否用今天
学的有关向量知识解决呢?
学生思考,回答,师生共同
完成,并归纳解题方法
课堂练习
教
学
环
节
应用
举例
课堂练习
概
念
介
绍
练习
A
2

教学内容
学生独立完成

师生互动
理在解几何题中的
应用.
及时巩固所学知识

设计意图
例2 已知:
a
=3e,
b
=－2e,试问
向量
a
与
b
是平行?
并求∣
a
∣∶∣
b
∣
练习
A
1 < br>1单位向量:给定一个非零向
量
a
,与
a
同方向且长度等于1
的向量,叫作向量
a
的单位向
量.
2 轴:规定了方向和长度单位
的直线叫做轴(图2－29)
3 基向量.轴上向量的坐标 在轴l上取单位向量e,使e
的方向与l同方向,对轴上任
意向量
a
,一 定存在唯一实数
x
, 使
a
=
x
e,
x
叫 做
a
在l上的
坐标.当
a
与e同方向时,
x
是正数, 当
a
与e反方向时,
x
是负数;
e叫做轴l的基向量.
a
叫轴l
的轴上向量.
小结:实数与轴上的向量建立
起一一对应关系.于是可用数
值表示向量.

4 轴上两个向量相等的条件
轴上两个向量相等的条件是
它们的坐标相等;
轴上两个向量和的坐标等于
两个向量坐标的和.
公式(1)
AB
+
BC
=
AC





公式(2)
AB
=
x
2
－
x
1
(轴上向量
坐标公式)即轴上向量的坐标
等于向量终点的坐标减去始
教师提 问:根据刚学的定
理,如何判断两个向量平行
呢?引导学生做出此题.
学生独立完成
教师用几何直观讲解这些
概念


提问轴与数轴的区别










教 师提问:实数与数轴上的
向量建立了什么关系?学生
回答.向量可用什么表示?
学生回 答.
教师板书推理过程:
设
a
=
x
1
e,b
=
x
2
e;
如果
a
=
b
,则
x
1
=
x
2

反之, 如果
x
1
=
x
2
, 则
a
=
b

另外;
a
+
b
=x
1
e+
x
2
e=(
x
1
+
x
2
)e
教师采用几何直观按照教
材的方法推导出公式(1)
注意:
AB
的坐标又常用
AB
表示
教师采用几何直观讲解并
板书公式(2)的推导:
设e是轴
x
的基向量, 向量
巩固平行向量基本
定理的应用
及时巩固所学知识
几何直观讲解便于
理解.这些概念为
学习后面的三个公
式
做准备.











搞清实数与轴上向
量的关系.


利用前面学过的概< br>念定理推出新的结
论,说明向量是可
以进行推理运算
的.
为公式(2)的推导
做准备



体现本节课的重点
难点内容, 平行向
量基本定理的应
轴上向量
坐标 公式.
数轴上两
点间距离
公式
点的坐标


公式(3) |
AB
|=|
x
2
－
x
1
|
a
平行于
x
轴,以原点
O
为始用;还有公式(1)
点作
OP
=
a
,则点P的位置
被向量
a
所唯一确 定
则
OP
=
x
e(平行向量基本
定理)
的应用.
x
是点P的位置向量
OP
在
x
轴上的坐标;反之亦然. < br>在数轴
x
上,已知点
A
的坐
标为
x
1
,点
B
的坐标为
x
2
(如
图2－32)
由公式(1)得
AB
=
AO
+
OB

=－
OA
+
OB
=
x
2
－
x
1

公式应用 例3 已知数轴上三点
A
,
B
,
C
的坐标分别是4,－2,－6,求
教师提问:这个题目是不是
符合我们刚学过的公式.
学生完成题目.
教师小结:在用公式时,要
特别注意终点坐标减去始
点坐标
学生独立完成
轴上向量坐标公
式, 数轴上两点间
距离公式即公式
(2), 公式(3)的应
用.
AB
,
BC
,
CA
的坐标和长度(图2
－33)
课堂练习
归纳小结
练习
A
4 及时巩固所学知识
引导学生养成归纳
总结的习惯,体会
知识的形成,发展,
应用的过程.
巩固所学知识,养
成及时复习的好习
惯

本节课主要的内容 师生共同总结
1平行向量基本定理及应用
2轴上向量坐标公式, 数轴上
两点间距离公式即公式(2),
公式(3)的应用.
习题2－1
A
7, 8 学生独立完成

布置作业




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