余弦角公式三角函数半角公式

三角函数半角公式
复习重点:半角角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))

复习难点:半角公式的应用

复习内容:


倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次
公式，即， 进一步得到半角公式:


降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“ 降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式
在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决 于所在的象限.而半角的正切可用α的正
弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式 不存在符号问题，因此经常采用.
反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:
，，这组公式叫做“万能”公式.

教材中只要求记忆两倍角公式，其它 公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角
函数公式推出.


例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°

解:(1) csc10°-sec10°


(2) tan20°+cot20°-2sec50°


例4．求:sin20°+cos50°+sin30°sin70°

解:sin20°+cos50°+sin30°sin70°


例5．已知:.求: cosθ+sinθ的值.

解:∵,
∴ , 即，
即 ，∴ cosθ+sinθ


例6．求cos36°·cos72°的值.

解:cos36°·cos72°


例7．求:的值.

解:


上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目 要
求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.

例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.

方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴
∴ 或，∴ ,
44
44
22
22
∴ ,∴ 或 =2.

方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ， ∴ ,
∴ ,
∴ 或 ,∴ 或 =2.

例9．已知:，求:tanα的值.

解:∵，∴ ，
∵ 0≤α≤π, ∴ ,∴

(1)当时, ，
则有,∴， ∴ ， ∴ ，
∴ .

(2)当，则有 ，
∴ ， ∴，∴.

注意:1与sinα在一 起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公
式把1去掉.

例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求
证:2cos2α=cos2β.

证明:∵ ， ∴
∴ 4sinα=1+2sinβ ∴ 2-4sinα=2-1-2sinβ ∴ 2cos2α=cos2β.

课后练习:

1．若，则（ ）.
A、PQ B、PQ C、P=Q D、P∩Q=

2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（ ）.
A、 B、 C、 D、
2222

3．若，则sin2θ=（ ）.
A、 B、 C、 D、

4．若，则sinθ=（ ）.
A、 B、 C、 D、-

5．若，则=（ ）.
A、 B、 C、1 D、-1

6．若，则cosα=________.

7. 若θ为第二象限角，且，则=_____.

8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos.

参考答案:

6. 7. 6
2